数学建模泄洪修建计划

题B 泄洪修建计划

参赛号： 015 队 员： 林 超

王小玲 黄阿毅

泄洪设施修建计划

摘要

本题主要研究修建新泄洪河道的最优方案，使得在满足安全泄洪的前提下，花费的总费用最少。由修建泄洪河道的费用的计算公式P?LQ（其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示新泄洪河道的长度（公里））可知，要使整个方案的总费用P最少，即新泄洪河道的泄洪量Q尽量的小，且新泄洪河道的长度L尽量短。根据这一原则，应用数据结构编写程序得到六种方案，由于泄洪量要求最小，因此最终得到两种方案，再通过计算最终获得最优方案使得修建河道的费用最少。本题程序具有通用性优势，为一般的数学模型。

对于维护人员在各村留宿的概率是否稳定的问题，维护人员从一个村移动到与之相连的一个村，符合马氏链，因此建立了马氏链模型。通过分析得出，该马氏链是正则链，因此维护人员在各村之间留宿的概率是稳定的。应用Matlab编程，求的维护人员在各村之间留宿的概率。

由于各村之间的新泄洪河道最终都将引入村⑧，再经村⑧引出到主干河流中，这样会导致洪水由村⑧流入主干河流时，泄洪量非常大。因此优化模型，将十个村分为三个村落进行分流，通过计算及拟合最终由村⑤、村⑦、村⑧和主干河流连接，同时用第一题的求解方法求的三个村落各自的新泄洪河道的路径从而得出最优泄洪模型。

关键词：数据结构编程 Matlab编程 马氏链 最优泄洪模型

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目录

一、问题重述 ···································3 二、模型假设 ···································3 三、模型建立与问题求解 ·························3

3.1 问题一：确定各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案·······3 3.1.1 方案一：以“最短路径2”设计 ···················4 3.1.2 方案二：以“最短路径4”设计 ···················5 3.1.3 结论 ·········································6 3.2 问题二：分析维护人员在各村留宿的概率的稳定性 ········6 3.2.1 建立马氏链模型 ······························6 3.2.2 判断该马氏链是否是正则链 ······················7 3.2.3 求解极限状态概率 ·····························8 3.3 问题三：提出修建新泄洪河道的改进方法 ·············9 3.3.1 问题分析 ····································9 3.3.2 最优模型的分析与建立 ·························9

·参考文献 ·····································13 ·附录1 各村落相对地理位置 ··················· 14 ·附录2 各村之间修建新泄洪河道的距离 ··········14 ·附录3 3.1程序 ······························ 14 ·附录4 3.2.1 MATLAB程序 ····················· 22 ·附录5 3.2.3 MATLAB程序 ······················23 ·附录6 马尔可夫链的基本原理 ···················24

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一、 问题重述

位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。

为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为P?LQ（万元），其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），。 L表示新泄洪河道的长度（公里）

要求通过数学建模方法解决以下问题：

（1）该村共有10个村落，分别标记为①—⑩，它们大致的相对地理位置见附录1。十个村落的海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的趋势，其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，要求完成后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时以上的泄洪能力。

附录2给出各村之间修建新泄洪河道的距离，根据各村之间修建新泄洪河道的距离，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道的合理方案，以使得整个方案的总费用尽量节省。

（2）新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？

（3）是否能够为该乡提出一个更加合理的修建新泄洪河道的办法？

23二、 模型假设

1、村子①—⑩的海拔高度自西向东逐渐降低，因此在制定的新泄洪河道方案，从村A→村B的新泄洪河道，村A的海拔高度大于村B；对此本小组假设各村子海拔高度梯度为1。

2、从村A→村B的新泄洪河道，村B的新泄洪河道能够承载村A及上游所有新泄洪河道的泄洪量；

3、两个相交叉的新泄洪河道，假设其互不影响各自的水流及泄洪量。

三、模型建立与问题求解

3.1 问题一：确定各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案

由修建新泄洪河道的费用的计算公式P?LQ(其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示新泄洪河道的长度（公里）)可知，要使整个方案的总费用P最少，即新泄洪河道的泄洪量Q尽量的小，且新泄洪河道的长度L尽量短。

根据新泄洪河道必须满足自西向东流（海拔由高到低）和最短路径的条件，

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23应用数据结构的方法编写程序（程序见附录3）得到六种新泄洪河道的修建方案。

由该结果可知：六种新泄洪河道修建方案的泄洪河道总长度均相同。其中最短路径2及最短路径4的总泄洪量相等且相比于其它四种路径最少。因此最优方案取最短路径2或最短路径4。现分别分析最短路径2及最短路径4所花费的总费用。

3.1.1 方案一：以“最短路径2”设计

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