2012年高考数学（理）真题精校精析（江西卷）（纯word

2012·江西卷(数学理科)

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1．[2012·江西卷] 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A．5 B．4 C．3 D．2

1．C [解析] 考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元素的互异性．当x＝－1，y＝0时，z＝－1，当x＝－1，y＝2时，z＝1，当x＝1，y＝0时，z＝1，当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.

2．[2012·江西卷] 下列函数中，与函数y＝1lnxA．y＝sinx B．y＝x sinx

C．y＝xex D．y＝x

2．D [解析] 考查函数的定义域解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所满足的条件，再通过解不等式达到目的．函数y＝13x

1

的定义域为{x|x≠0}．y＝sinx的定13x定义域相同的函数为( )

lnxsinx

义域为{x|x≠kπ}，y＝x的定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为，y＝x的定义域为{x|x≠0}，故选D.

2

?x＋1，x≤1，

3．[2012·江西卷] 若函数f(x)＝?则f(f(10))＝( )

?lgx，x>1，

A．lg101 B．2 C．1 D．0

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3．B [解析] 考查分段函数的定义对数的运算分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题．∵10>1，∴f(10)＝lg10＝1≤1，

∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故选B.

1

4．[2012·江西卷] 若tanθ＋tanθ＝4，则sin2θ＝( ) 1111A.5 B.4 C.3 D.2

4．D [解析] 考查同角三角函数的关系二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cosθ达tan2θ＋112sinθcosθ2tanθ

到化切目的．∵tanθ＋tanθ＝tanθ＝4，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2＝2＝sinθ＋cosθtan2θ＋121

4＝2，故选D.

5．[2012·江西卷] 下列命题中，假命题为( ) A．存在四边相等的四边形不是正方形 ．B．z1，z2∈，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数 C．若x，y∈，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1

01nD．对于任意n∈*，Cn＋Cn＋?＋Cn都是偶数

5．B [解析] 考查命题的真假的判断含量词命题真假的判断组合数性质以及逻辑推理能力等；∵菱形四边相等，但不是正方形，∴A为真命题；∵z1，z2为任意实数时，z1＋z2为实数，∴B为假命题；∵x，y都小于等于1时，x＋y≤2，∴C为真命题；∵

12nn*C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2，又n∈，∴D为真命题．故选B.

6．[2012·江西卷] 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则a10＋b10＝( )

A．28 B．76 C．123 D．199

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6．C [解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故选C.

7．[2012·江西卷] 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD|PA|2＋|PB|2

的中点，则|PC|2＝( )

A．2 B．4 C．5 D．10

7．D [解析] 考查向量基本定理向量的线性运算向量的数量积及其应用，考查化归转化能力．解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解． →＝1(CA→＋CB→)．→＝1(CA→＋CB→)，

方法一：∵D是AB中点，∴CD∵P是CD中点，∴CP

243→1→→→→1→3→→→→

∴AP＝CP－CA＝－4CA＋4CB，BP＝CP－CB＝4CA－4CB.

→·→＝0，∴AP→2＝9CA→2＋1CB→2，→2＝1CA→2＋9CB→2，CP→2＝1CA→2＋1CB→2，∵CACBBP

161616161616|PA|2＋|PB|2

∴|PC|2＝10.

→→＝2PD→，P→→＝BA→，∴P→→→＋PB→2

方法二：∵D是AB中点，∴PA＋PBA－PBA2＋2PA·PB→2，P→→→＋PB→2＝BA→2，∴2(|PA|2＋|PB|2)＝4|PD|2＋|AB|2.∵D是AB的中点，＝4PDA2－2PA·PB

22

|PA|＋|PB|

∴2|CD|＝|AB|.∵P是CD中点，∴|CD|＝2|PC|，∴|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故|PC|2＝

10.

方法三：以C为坐标原点，AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标

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22

9a2b29b2a210?a＋b??ab??ab?22

系，设A(a,0)，B(0，b)，则D?2，2?，P?，?，|PA|＋|PB|＝16＋16＋16＋16＝，

16???44?2222

a＋b|PA|＋|PB|

而|PC|2＝16，故|PC|2＝10.

8．[2012·江西卷] 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表：

黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )

A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50 8．B [解析] 考查二元一次不等式组表示的平面区域线性规划的实际应用数形结合思想，以及阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即①设出 xyz；②列出约束条件，确定目标函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最值，并回到原问题中作答．设种植黄瓜x亩，种植韭菜y?x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，亩，因此，原问题转化为在条件?

?x≥0，y≥0

下，求z＝0.55×4x

＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，?x＋y＝50，

当x，y取?的交点(30,20)时，z取得最大值．故选B.

?1.2x＋0.9y＝54

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9．[2012·江西卷] 样本(x1，x2，?，xn)的平均数为x，样本(y1，y2，?，yn)的平均数为y(x≠y)．若样本(x1，x2，?，xn，y1，y2，?，yn)的平均数z＝αx＋(1－α)y，1

其中0<α<2，则n，m的大小关系为( )

A．nm C．n＝m D．不能确定

9．A [解析] 考查平均数的计算不等式的性质等；解题的突破口是利用样本平均数的计算公式，建立m，n，α之间的关系后求解．∵z＝

1n(nx＋my)＝ xn＋mn＋mn?n1n1?1－??y，∴＝α，∵0<α<，∴0<<，∴n

图1－1

10．[2012·江西卷] 如图1－2，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上下两部分，记SE＝x(0

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图1－2

10．A [解析] 考查空间中的线面位置关系的转化空间几何体体积的计算函数的表示法导数的几何意义等，考查分类讨论思想化归转化思想数形结合思想函数与方程思想等；解题的突破口是将所求几何体的体积通过“割补法”求解．设AC，BD交于O，当1E为SC中点时，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE，∴SE⊥面BDE.当x＝2时，截面为三角形EBD.

21又∵SA＝SC＝1，AC＝2，SO＝2. 当2≤x<1时，设截面交CD于H，交CB于1?121?2

I，∴V(x)＝VE－CHI＝3?2×?2－2x?2?2(1－x)＝ 3(1－x)3；当0

??于F，交SB于G，交AD于H，交AB于I，连接SH，SI，由于S五边形EFHIG＝S三角形EFG2

＋S矩形FHIG＝2x＋22x(1－2x)＝ 22x －32x ，V(x)＝VS－CDHIB－VS－EFHIG＝6(1－

2

2

12

2x2)－ 3( 22x －32x2)x＝ 2x3－2x2＋6，故选A.

11．[2012·江西卷] 计算定积分?1－1(x2＋sinx)dx＝________.

?

2

11.3 [解析] 考查定积分的计算诱导公式，以及运算能力；解题的突破口是通过基

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本初等函数的导数公式的逆向使用确定被积函数的原函数.?1－1(x2＋sinx)dx＝

?

3

2?x??11?1?

?3－cosx??－1＝－cos1－?－3?＋cos(－1)＝.

33?????

12．[2012·江西卷] 设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

12．35 [解析] 考查等差数列的定义性质；解题的突破口是利用等差数列的性质，将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系求解．

方法一：设cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn}是等差数列，设其公差为d，则c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得d＝7，因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填35.

方法二：设cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn}是等差数列，

∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，即42＝7＋(a5＋b5)，因此a5＋b5＝42－7＝35.故填35.

x2y2

13．[2012·江西卷] 椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．

5

13.5 [解析] 考查椭圆的定义和性质等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a，c的齐次等式，然后转化为离心率e的方程求解．由椭圆的定义知，|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，∵|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此4c2＝(a－c)(a＋c)，5

整理得5c＝a，两边同除以a得5e＝1，解得e＝5.

2

2

2

2

14．[2012·江西卷] 如图1－3为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．

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图1－3

14．3 [解析] 考查算法框图诱导公式特殊角的三角函数值；解题的突破口是列出π

每一次循环后各变量的结果．当k＝1时，此时sin2＝1>sin0＝0成立，因此 a＝1，Tπ

＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2，k<6成立，再次循环；因sinπ＝0>sin2＝1不成立，因此a＝0，3π

T＝1＋0＝1，k＝2＋1＝3，此时k<6成立，再次循环；因sin2＝－1> sinπ＝0不成立，3π

因此a＝0，T＝1＋0＝1，k＝3＋1＝4，此时k<6成立，再次循环；因sin2π＝0>sin2＝5π

－1成立，因此a＝1，T＝1＋1＝2，k＝4＋1＝5，此时k<6成立，再次循环；因sin2＝1> sin2π＝0成立，因此a＝1，T＝2＋1＝3，k＝5＋1＝6，此时k<6不成立，退出循环，此时T＝3.

15．[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．

15．(1)ρ＝2cosθ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，因此x2＋y2－2x＝0的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

???33(2)?x?－2≤x≤2???

??

? ??

[解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的

1

突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x>2

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3131

时，原不等式可化为2x－1＋2x＋1≤6，解得x≤2，此时2

式可化为－2x＋1－2x－1≤6，解得x≥－2，此时－2≤x<－2；当－2≤x≤2时，原不等11?33?式可化为1－2x＋2x＋1≤6，解得x∈，此时－2≤x≤2.综上，原不等式的解集为?－2，2?.

??

1

16．[2012·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋kn(其中k∈*)，且Sn的最大值为8.

(1)确定常数k，并求an；

??9－2an??(2)求数列?n?的前

?2???

n项和Tn.

111

16．解：(1)当n＝k∈＋时，Sn＝－2n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－2k2＋k2＝2k2， 故k2＝16，因此k＝4，

979从而an＝Sn－Sn－1＝2－n(n≥2)，又a1＝S1＝2，所以an＝2－n. 9－2ann

(2)因为bn＝2n＝n－1，

2

n－123n

Tn＝b1＋b2＋?＋bn＝1＋2＋22＋?＋n－2＋n－1，

22

n＋211n1n

所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋2＋?＋n－2－n－1＝4－n－2－n－1＝4－n－1. 22222

π

17．[2012·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝4，?π??π?

bsin?4＋C?－csin?4＋B?＝a.

????

π(1)求证：B－C＝2；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

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?π??π?

＋C?－csin?4＋B?＝a，应用正弦定理，得 17．解：(1)证明：由bsin?4?????π??π?

sinBsin?4＋C?－sinCsin?4＋B?＝sinA，

????

2?2??2?22

sinB?sinC＋cosC?－sinC?sinB＋cosB?＝2. 22?2??2?整理得sinBcosC－cosBsinC＝1， 即sin(B－C)＝1，

3π

由于0

π3π5ππ

(2)由(1)知B－C＝2，又B＋C＝π－A＝4，因此B＝8，C＝8. πasinB5πasinCπ

由a＝2，A＝4，得b＝sinA＝2sin8，c＝sinA＝2sin8， 15ππππ1所以△ABC的面积S＝2bcsinA＝2sin8sin8＝2cos8sin8＝2. 图1－4

18．[2012·江西卷] 如图1－4，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．

(1)求V＝0的概率；

(2)求V的分布列及数学期望EV.

318．解：(1)从6个点中随机取3个点总共有C6＝20种取法，选取的3个点与原点

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1233在同一个平面内的取法有C13C4＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝. 205

1124

(2)V的所有可能取值为0，6，3，3，3，因此V的分布列为 V P 0 35 16 120 13 320 23 320 43 120 由V的分布列可得 3111323419

EV＝0×5＋6×20＋3×20＋3×20＋3×20＝40.

19．[2012·江西卷] 如图1－5，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.

(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长； (2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值． 图1－5

19．解：(1)证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1 于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1.

因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC. 因为AB＝AC，OB＝OC，所以AO⊥BC， 所以BC⊥平面AA1O. 所以BC⊥OE，

所以OE⊥平面BB1C1C，又AO＝AB2－BO2＝1，AA1＝5，

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AO25

得AE＝AA＝5. 1

(2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，－2,0)，A1(0,0,2)，

2?1→?4→，0，由AE＝5AA1得点E的坐标是?5， 5???

2??4→，0，?由(1)得平面BB1C1C的法向量是OE＝5，设平面A1B1C的法向量＝(x，y，5???z)，

→＝0，??·AB?－x＋2y＝0，

由?得?

→?y＋z＝0，?A?n·1C＝0

令y＝1，得x＝2，z＝－1，即＝(2,1，－1)，所以 →·OEn30→

cos〈OE，〉＝＝. 10→|OE|·|n|

30

即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是10.

20．[2012·江西卷] 已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x，→＋MB→|＝OM→·→＋OB→)＋2. y)满足|MA(OA

(1)求曲线C的方程；

(2)动点Q(x0，y0)(－2

→＝(－2－x,1－y)，MB→＝(2－x,1－y)，得

20．解：(1)由MA

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→＋MB→|＝?－2x?2＋?2－2y?2，

|MA

→·→＋OB→)＝(x，y)·OM(OA(0,2)＝2y， 由已知得?－2x?2＋?2－2y?2＝2y＋2， 化简得曲线C的方程：x2＝4y. (2)假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件，

t－11－t

则直线PA的方程是y＝2x＋t，PB的方程是y＝2x＋t.

x2x0x20?0?

曲线C在Q处的切线l的方程是y＝2x－4，它与y轴交点为F?0，－4?.

??x0由于－2

①当－1

t－1x01－tx0②当t≤－1时，2≤－1<2，2≥1>2，所以l与直线PA，PB一定相交． t－1??y＝2x＋t，

分别联立方程组?x0x20y＝x－??24，

1－t

??y＝2x＋t，?x0x2

0y＝x－??24， 解得D，E的横坐标分别是

x2x20＋4t0＋4t

xD＝，x＝，

2?x0＋1－t?E2?x0＋t－1?x20＋4t

则xE－xD＝(1－t)2.

x0－?t－1?22

1－t?x2x210＋4t?0又|FP|＝－4－t，有S△PDE＝2·|FP|·|xE－xD|＝8·.

?t－1?2－x20

4－x2x21?00??1－4?＝又S△QAB＝2·4·

2， ??

222

S△QAB4?x0－4?[x0－?t－1?]于是＝· 2S△PDE1－t?x20＋4t?

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4222

4x0－[4＋?t－1?]x0＋4?t－1?＝·. 421－tx0＋8tx20＋16t

2

?－4－?t－1?＝8t，S△QAB

对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，则t要满足? 22S△PDE?4?t－1?＝16t，

解得t＝－1，此时

S△QAB

＝2， S△PDE

故存在t＝－1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.

21．[2012·江西卷] 若函数h(x)满足 ①h(0)＝1，h(1)＝0；

②对任意a∈[0,1]，有h(h(a))＝a； ③在(0,1)上单调递减．

?1－x?1则称h(x)为补函数．已知函数h(x)＝?p?(λ>－1，p>0)． 1＋λx??p(1)判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；

1(2)若存在m∈[0,1]，使h(m)＝m，称m是函数h(x)的中介元．记p＝n(n∈*)时h(x)1

的中介元为xn，且Sn＝?xi，若对任意的n∈*，都有Sn<2，求λ的取值范围；

ni＝1

p

(3)当λ＝0，x ∈(0,1)时，函数y＝h(x)的图像总在直线y＝1－x的上方，求p的取值范围．

21．解：(1)函数h(x)是补函数，证明如下： ?1－0?1?1－1?1

?＝1，h(1)＝??＝0； ①h(0)＝?

?1＋0?p?1＋λ?p

1－ap

?1－1＋λap?pp

1－a???1??1??1＋λ?a?1??＝a； ②对任意a∈[0,1]，有h(h(a))＝h??＝?p??＝1－ap?p?1＋λ?p??1＋λa?p??

?1＋λ1＋λap?③令g(x)＝(h(x))p，

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－pxp－1?1＋λxp?－?1－xp?λpxp－1－p?1＋λ?xp－1

有g′(x)＝＝. ?1＋λxp?2?1＋λxp?2因为λ>－1，p>0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，

故函数h(x)

在(0,1)上单调递减．

121

(2)当p＝n(n∈*)，由h(x)＝x，得λxn＋2xn－1＝0，(*) ?1?n

(i)当λ＝0时，中介元xn＝?2?；

??1

(ii)当λ>－1且λ≠0时，由(*)得xn＝1??n

?. 得中介元xn＝?

?1＋λ＋1?

1??n?(n∈*)． 综合(i)(ii)：对任意的λ>－1，中介元为xn＝??1＋λ＋1?于是，当λ>－1时， 1??i?? 有Sn＝i∑ ＝1?1＋λ＋1?n111

∈(0,1)或xn＝?[0,1]；

1＋λ＋11－1＋λ

1??n?1?1

?1－???<＝，

1＋λ＋1????1＋λ1＋λ

1??n1

?无限接近于0，Sn无限接近于当n无限增大时，?，

?1＋λ＋1?1＋λ1

故对任意的n∈*，Sn<2成立等价于

1?1?1

(3)当λ＝0时，h(x)＝(1－xp)，中介元为xp＝?2?.

p??p1?1?11

(i)当0

??

所以点(xp，h(xp))不在直线y＝1－x的上方，不符合条件；

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≤2，即λ∈[3，＋∞)． 1＋λ

2012·江西卷(数学理科)

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(ii)当p>1时，依题意只需(1－xp)p>1－x在x∈(0,1)时恒成立， 也即xp＋(1－x)p<1在x∈(0,1)时恒成立， 设φ(x)＝xp＋(1－x)p，x∈(0,1)， 则φ′(x)＝p[xp－1－(1－x)p－1]，

1?1??1?

由φ′(x)＝0得x＝2，且当x∈?0，2?时，φ′(x)<0，当x∈?2，1?时，φ′(x)>0，

????又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x∈(0,1)时，φ(x)<1恒成立． 综上：p的取值范围是(1，＋∞)．

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(ii)当p>1时，依题意只需(1－xp)p>1－x在x∈(0,1)时恒成立， 也即xp＋(1－x)p<1在x∈(0,1)时恒成立， 设φ(x)＝xp＋(1－x)p，x∈(0,1)， 则φ′(x)＝p[xp－1－(1－x)p－1]，

1?1??1?

由φ′(x)＝0得x＝2，且当x∈?0，2?时，φ′(x)<0，当x∈?2，1?时，φ′(x)>0，

????又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x∈(0,1)时，φ(x)<1恒成立． 综上：p的取值范围是(1，＋∞)．

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