高数复习题及答案(中山大学)

大学高等数学

一、选择题

1．lim

2n2 4n 1

n 3n2 5n 4

（ ）. A．0

B．

C．

23

2．函数

f x x在x 0处（ ）.

A．连续,可导 B．连续,不可导 C．不连续,可导 D．不连续,不可导 1

3．设函数

f(x) sin 3x x2，则

f x （ ）.

12x 1 B．3cos 3x 1 1

A．cos 3x2

2

x2

C．cos

3x 2x

1

2

D．3cos

3x 1 2x

2

4．

2

sinxdx （ ）.

2

A．0 B．1

C．

2

D．

2

5．函数

f(x)

1x

的不定积分为（ ）.

A．lnx B．lnx C C．ln

x

D．二、填空题

1

．函数

y ① ．

2．若 x cos4tdy

y t2

2，则dx 3．

y 2x3 6x2 18x 7在 1,3 内为单调4．函数f(x) ex2

ax,且f 0 2,则a ．

5．函数f(x)

3x

5 x

,dy ⑤ ． 6．

xe

x

dx

⑥ ．

7． 2x x2

4 2

dx=．

D．

32

lnx C

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三、计算题

1．求lim

x 0

x sinx

． 3

x

2x

k

2．求lim 1

x

x

e2x

3．设函数y

x

4．求函数

．

，求dy．

f x x3 6x2 15x 9的极值．

xxecosedx.

5．求不定积分

6．求定积分7．求曲线

20

(1 sinx)dx.

f(x) x2 2x 1在点 0,1 处的切线方程．

8．设平面图形D由曲线四 应用题

y x2,y x3围成，求D的面积．

将长度为100米的铁丝折成面积最大的矩形, 求该矩形的长和宽. 五 证明题

xs arcsixn 证明：arcco

一 选择题

1．lim

x 0

2

(x 1)

tan3x

（ ） x

B．1

C．2

D．3

A．0

2．下列函数为单调增函数的是（ ） A．

y 3x2 1

B．

y x lnx

C．

y ex

D．

y sin3x

3．设函数

f(x) ln 2x ，则f 1 （ ）

B．1

C．2

D．

A．0

12

4．

1 sinx dx （ ）

20

A．

1 2

B．

1 2

B． 1

C．1

2

D．

2

5．函数A．0

f(x) x2 2x 3的驻点为（ ）

C．1

D．2

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二 填空题

6n3 5n 7

． 1．极限lim

n 2n3 5n2 3

2．若

y ex sin3x，则dy ② ．

3．曲线4．函数5．函数6．若

y x3 2在点 1,3 处的切线方程为

f(x) x2 2x 2在区间 2,2 上的最小值为． f(x) x3 3x2 9x 4的单调减区间为．

⑥ ．

xxe dx u(x)dv(x)，则通常u(x)

x2

dx 7． 2

x 1

2

⑦ ．

8．

2

2xcosx dx 0

⑧ ．

三 计算题

1．求lim

x 0

cosx 1

．

x2

2x

3

2．求lim 1

x

x

3．设函数

2

．

y exarctanx，求y ．

3

dy x t 20094．设 ，求．

t

dx y e

5．求不定积分6．求不定积分

11x 5 sinx

2

10

dx．

cosxdx．

7．求定积分

cos 2x dx．

2

8．求函数四 应用题

求由曲线五 证明题

f(x) x3 3x的极值．

y x2和y x所围成的平面图形的面积.

3

x 1 0, )上只有一个实根． ( 1.证明方程 x 在

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2. 指出函数lnsinx在区间足罗尔定理的结论．

一、选择题

5 5

上满足罗尔定理的条件,验证函数lnsinx在区间,, 上满

66 66

1－5: C B B A D

二、填空题

①

1, ② 2sint4 ③ 减 ④ 2

dx 2

⑥

t

⑤

15

5 x

xex ex C ⑦

3121

x 4 C ⑧ 23

三、计算题

1．求lim

x 0

x sinx

． x3

x sinx1 cosxsinx1

lim lim 32x 0x 0x3x6x6

2x

解

lim

x 0

k

2．求lim 1

x

x

解

．

k lim1 e2k x

x

，求dy．

2x

2x

e2x

3．设函数y

x

解

2e2xx e2xey

x2

2x 1 ,所以

x2e2x 2x 1 dy dx

x2

4．求函数解

f x x3 6x2 15x 9的极值．

f x 3x2 12x 15 3 x 5 x 1 ,当f x 0,即 5 x 1时,函数为单调增

的, 当,即

f x 0,即x 5或x 1时,函数为单调减的,因此当x 5时,函数的极大值为

f 5 91,当x 1时,函数的极小值为f 1 17.

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5．求不定积分解

e

x

cosexdx．

xxxxxecosedx cosede sine C.

6．求定积分

1 sinx dx．

2

解

20

1 sinx dx x cosx

20

1

2

.

7．求曲线解

f(x) x2 2x 1在 0,1 处的切线方程．

f x 2x 2,f 0 2,所以切线方程为y 1 2 x 0 ,即y 2x 1.

y x2,y x3围成，求D的面积．

0,x 1,因此D的面积为

8．设平面图形D由曲线

2

y x解 由 3

y x

得交点横坐标分别为x

11 1 1

. S x2 x3 dx x3 x4 1 004 12 3

四 应用题

将长度为100米的铁丝折成面积最大的矩形, 求该矩形的长和宽. 解 设折成的矩形的长为x,则宽为

100 2x

50 x,故矩形的面积为 2

,由

S x 50 x 5x x2

,

S 50 2xS 50 2x 0

解得长

x 25

,宽

50 x 25(米),所以该矩形的长和宽都为25米.

. 一 选择题

1、D 2、C 3、B 4、A 5、B 二 填空题

① 3 ② ⑤

ex(sinx3

) d ③ y 3x ④ 3 3coxs3x

[ 1,3]

⑥

x

⑦

x arctanx C ⑧ sin

2

4

三 计算题

1．求lim

x 0

cosx 1． 2

x

解

lim

cosx 1 sinx1

lim

x 0x 0x22x2

2x

3 2．求lim 1

x

x

．

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解

3 lim 1x

x

2x

e 6

3．设函数

y exarctanx，求y ．

2

2

解

y 2xexarctanx

e1 x2

x2

3

dy x t 20094．设 ，求．

t

dx y e

解

dyet

2dx3t

10

5．求不定积分

11x 5

10

dx．

解

11x 5

dx

111011

11x 5d11x 5 11x 5 C 11 121

2

6．求不定积分

sinx

cosxdx．

解

sinx

2

12

cosxdx sinx dsinx sin3x C

3

7．求定积分

cos 2x dx．

2

解

12 0 cos 2x dx sin2x 0

20

2

8．求函数解

f(x) x3 3x的极值．

f (x) 3x2 3 0,得x 1或x 1

f (x) 6x,由f ( 1) 6 0知, f( 1) 2为极大值,由f (1) 6 0知, f(1) 2为

极小值. 四 应用题

求由曲线

y x2和y x所围成的平面图形的面积.

y x y x

2

解 解方程组 形的面积为

,得交点坐标为( 1,1)和(1,1),因此由曲线

y x2和y x所围成的平面图

x2x3 12(x x)dx 23 06 1

五 证明题

1

1

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10, )上只有一个实根． ( 证明方程 x x 在

证 作函数

3

f(x) x3 x 1,则因f (x) 3x2 1 0,故f(x) x3 x 1在( , )上

3

单调增,于是方程x

因

x 1 0在( , )上最多只有一个实根.

f(0) 1 0,f(1) 1 0, 故由零点存在定理知, 存在x (0,1)使得f(x) 0,综上方程

x3 x 1 0在( , )上只有一个实根.

五 证明题

指出函数lnsinx在区间满足罗尔定理的结论．

证 函数lnsinx在区间

5 5

上满足罗尔定理的条件,验证函数lnsinx在区间,, 上

6666

5 5

上满足罗尔定理的三个条件，即函数lnsinx在区间,, 上

66 66

连续,在

5 1 5

lnsin lnsin ln内可导,且. , 66266

内存在一点

5

, 66

, 使得

f 0

. 事实上，由

(lnsinx)

cosx

0sinx

和

5

x , ，得x ， 因此，取

22 66

。 即有

f 0

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