北工大--数学建模作业

学号：G201xxxxxxx 姓名：xx

联系方式：13xxxxx @126.com

1．椅子放平问题

依照1.2.1节中的“椅子问题’的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。

答：模型假设 1.椅子四脚一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。 2．地面高度是连续变化的，即地面视为连续曲面。 3.对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只 脚与地面同时着地。 首先用变量表示椅子的位置，以长方形一对角线 AC为 X 轴，BD为 Y。设X模型构成 轴 Y轴间夹角为θ。当椅子绕中心 O 旋转角度θ’后。长方形 ABCD 转至 A’B’C’D’的位置，所以对角线 AC 与 X 轴的夹角θ’表示了椅子的位置。

记A，C，两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。(f(θ’)，g (θ’)>=0)。由假设2，f,g是连续函数。由假设3，椅子在任何时候至少有三只脚着地，所以对任何θ’，f(θ’)和 g(θ’)中至少有一个为0。当θ’=0时不妨设f(θ’)=0，g(θ’)>0.这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下命题:

已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数，对任意θ’，f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0，g(0)>0.证明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.

模型求解 : 将椅子旋转θ，对角线AC与BD互换。由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。

令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。由f,g的连

续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。

最后，因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0. 2．过河问题

依照1.2.2节“商人安全过河’的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量地少．

答：人带鸡先过河，把鸡放对岸；回来把猫带过去，把猫放对岸；同时，把鸡带回来，把鸡放下，带米过河，把米放在对岸，最后回来，把鸡带到对岸。

3．购房贷款问题（续）

在1.2.3节“购房贷款’的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式，现进一步讨论此问题，某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按0.6%／月计算），他们帮你提前三年还清贷款．但条件如下：

(1)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2;

(2)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金，

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 答：小王夫妇正常还款，总共的还款额为：

1574.70×12×20＝377928.00元。

如果请这家借贷公司帮助还款，提前三年还完则为 17 年还完贷款。因此总的还款额是：

1574.70×0.5×17×12×2+200000×10%＝341238.60 元 明显341238.60元<377928.00 元。

所以，小王夫妇应该请这家借贷公司帮助还款。

4．冷却走律与破案

按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (To

答：首先根据 Newton 冷却定律列出其方程：

（1）

（1）的通解为：

=

+

早上6点时t=0， T(0)=26℃， 早上8点时t=2， T(2)=18℃.假设死者死亡时体温正常T()=37℃，

由通解表达式可知：

==即：

++=

+26 =18

。

求解得，C=16，k≈-0.35。

T()=37℃代入上式，解得 =-1.49，因此推断死亡时间约在四点三十分。

5锻炼想象力、洞察力和判断力的问题

（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？

答:假设是同一天，两个不同的人相向而行，两人必然相遇，相遇点就是同一时刻同一地点。

（2）甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站，问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？

答:因为发车间隔10分钟，乘车人到车站后10分钟内必然有车到达。90天到甲站，10天到乙站，说明遇到往甲站方向的车的概率是乙站的9倍， 10分钟分成10份正好1分钟，假设从甲出发的车到丙站的时间是1，可以归纳如下： 乘车人到达丙站的时间 目的地 从甲发的车到丙站 1 乙 2 3 4 5 6 从乙发的车到丙站 7 甲 8 9 10 乙 乙 乙 甲 甲 甲 甲 甲 总结：到甲站6次，乙站4次 乘车人到达丙站的时间 目的地 从甲发的朝乙发车 车到丙站 到丙站 1 乙 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 甲 总结：到甲站9次，乙站1次 可以看出，从甲站出发的车比乙站正好早九分钟。

思考：解题是以到达丙站的时间为基准的，前提是假设发车时间和到达丙站时间一一对应，如果车辆不是匀速运动，或者存在上下坡的问题该如何作答呢？冒昧建议将此题改为：从车站有两趟车分别走甲乙路线到达目的地，其他不变。

(3)张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车

于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家，一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家，到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？

答:假设张先生步行的距离为S，则妻子比往常少开了张先生所走距离的2倍，即2S。因为提前10分钟到家，所以妻子开车行驶2S距离的时间为10分钟。 妻子今日在距离火车站S距离的地方遇到张先生，这个距离需要开车5分钟,所以妻子遇到张先生的时间为17:55分，张先生17：30到达，由此计算出张先生已经步行25分钟。 (4) 男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家，一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程，如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？

答：男孩和女孩回家的时间都是半小时，狗的速度是6公里/小时，所以当他们返回家中，狗跑了3公里。

设S为初始状态时小狗与家的位移，S1’表示孩子到学校时小狗最终位移，i表示小狗与人的相遇次数，ti为第i次小狗与人相遇时所经历的总时间，v1，v2，v3分别表示小狗、男孩、女孩的运动速率，Si表示小狗第i次与孩子相遇时小狗的位移。小狗初始状态S位于家与女孩学校之间（﹣1≤S＜0），当t=0时，小狗与女孩相向而行，i=1，之后变为小狗追男孩，在于男孩相遇（i=2）之后再追女孩，如此往返，i为奇数时小狗与女孩相遇，i为偶数时小狗与男孩相遇。 S=0时，即小狗、男孩、女孩同时从家出发，设小狗先向女孩运动，假设小狗最后停在Si’处，可以得到方程：

当i为无穷多次时，由定理可得S=0，对任意的Si’，S≡0；即当S=0时，小狗的最终位置Si’可以为[-1,2]中的任意数。

所以孩子到学校时小狗的最终位置不确定。

6 、加分实验（公平投票问题）

某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度，许多单位昀优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比．

(1)为了公平性，评委对本单位选手不给分；

(2)每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；

(3)评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、?，依次类推．

(4)评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推，本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平，

问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？

当i为无穷多次时，由定理可得S=0，对任意的Si’，S≡0；即当S=0时，小狗的最终位置Si’可以为[-1,2]中的任意数。

所以孩子到学校时小狗的最终位置不确定。

6 、加分实验（公平投票问题）

某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度，许多单位昀优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比．

(1)为了公平性，评委对本单位选手不给分；

(2)每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；

(3)评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、?，依次类推．

(4)评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推，本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平，

问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/alf6.html