2017-2018学年北师大版高中数学必修五全册同步习题含解析

2017-2018学年北师大版高中数学

必修五全册同步习题

目录

第一章数列1.1数列1.1.1习题 第一章数列1.1数列1.1.2习题 第一章数列1.2等差数列1.2.1.1习题 第一章数列1.2等差数列1.2.1.2习题 第一章数列1.2等差数列1.2.2.1习题 第一章数列1.2等差数列1.2.2.2习题 第一章数列1.3等比数列1.3.1.1习题 第一章数列1.3等比数列1.3.1.2习题 第一章数列1.3等比数列1.3.2习题

第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用习题 第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1习题 第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2习题 第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题 第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例习题 第三章不等式3.1不等关系习题

第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1习题 第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2习题

I

第三章不等式3.3基本不等式3.3.1习题 第三章不等式3.3基本不等式3.3.2习题 第三章不等式3.4简单线性规划3.4.1习题 第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2习题 第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3习题

II

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

1.1 数列的概念

课后篇巩固探究

A组

1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是

A.①

B.①②

C.①②③ D.①②③④

解析:4个都构成数列. 答案:D

2.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为( )

A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0

D.2,0,2,0

解析:把n=1,2,3,4分别代入an=中,依次得到0,1,0,1.

答案:B

3.数列1,,?的一个通项公式是( )

A.an= B.an=

C.an= D.an=

解析:1=12,4=22,9=32,16=42

,1=231-1,3=232-1,5=233-1,7=234-1,故an=.答案:A

1

( )

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4.已知数列{an}的通项公式an=,若ak=,则a2k= ( )

A. B.99 C. D.143

解析:由ak=,于是k=6(k=-6舍去).

因此a2k=a12=.

答案:C

5.已知数列,?,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有( )

A.1个 C.3个

B.2个 D.以上都不对

解析:由已知可得该数列的一个通项公式an=.令an=0.98,解得n=49,令an=0.96,解得n=24,

令an=0.94,解得n=?N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.

答案:B

6.已知曲线y=x+1,点(n,an)(n∈N+)位于该曲线上,则a10= . 解析:由题意知an=n+1,因此a10=10+1=101. 答案:101 7.数列

,3,

,3

,?的一个通项公式是 .

,?,即

,?,每

2

2

2

解析:数列可化为

个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公

式为an=,n∈N+.

2

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答案:an=

8.已知数列{an}的通项公式an=,则-3是此数列的第 项.

解析:令-3,得-3,解得n=9.

答案:9

9.写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,? (2)

,?

(3),-1,,-,-,?

(4)3,33,333,3 333,?

解(1)各项是从4开始的偶数,所以an=2n+2.

(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成2,2,2,2,2,?,2,故所求数列的

1

2

3

4

5

n通项公式可写为an=.

n+1

(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)这个因式,忽略负号,将第二项

1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,?,均为正奇数,分子可化为

1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,?,故其通项公式可写为an=(-1)2

222222n+1

.

(4)将数列各项写为,?,分母都是3,而分子分别是

10-1,10-1,10-1,10-1,?,所以an=(10-1).

234n10.已知数列{an}的通项公式为an=3n-28n.

2

3

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(1)写出数列的第4项和第6项;

(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢? 解(1)a4=3316-2834=-64,

a6=3336-2836=-60.

(2)设3n-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.

2

设3n-28n=68,解得n=或n=-2.

2

∵?N+,-2?N+, ∴68不是该数列的项.

B组

1.数列2,-,4,-,?的通项公式是( )

A.an=2(n∈N+)

nB.an=(n∈N+)

C.an=(n∈N+) D.an=(n∈N+)

解析:将数列各项改写为,-,-,?,观察数列的变化规律,可得an=(n∈N+).

答案:C

2.已知数列{an}的通项公式an=,则an2an+12an+2等于( )

A. B. C. D.

解析:∵an=,an+1=,an+2=,

∴an2an+12an+2=.

4

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答案:B

3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有( )个点.

A.n-n+1 C.n

22

B.2n-n D.2n-1

2

解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,132+1,233+1,334+1,435+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n-n+1. 答案:A

4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

2

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .

解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,?,∴an=2n+1. 答案:an=2n+1

5.在数列,?中,有序数对(a,b)可以是 .

解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:133,234,335,436,?,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,?,

所以解得a=,b=-.

答案:

6.导学号33194000已知数列{an}的通项公式an=a22+b,且a1=-1,a5=-31,则

na3= .

5

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解析:由已知得解得

即an=-2+1,于是a3=-2+1=-7. 答案:-7

7.如图,有m(m≥2)行(m+1)列的士兵队列.

2 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2

(1)写出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,?时队列中的士兵人数; (2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;

(3)若把(1)中的数列记为{an},求该数列的通项公式an; (4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.

解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;

当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,?. (2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.

(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.

前4项分别为6=233,12=334,20=435,30=536.因此an=(n+1)(n+2). (4)由(3)知a10=11312=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数. 8.导学号33194001在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函

n3

6

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数.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2 017;

(3)是否存在m,k∈N+,满足am+am+1=ak?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由. 解(1)设an=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,

解得

所以an=4n-2.

(2)a2 017=432 017-2=8 066.

(3)由am+am+1=ak,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2, 整理后可得4m=2k-1,

因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数, 故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成立, 即不存在m,k∈N+,使am+am+1=ak.

7

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1.2 数列的函数特性

课后篇巩固探究

A组

1.数列{n2

-4n+3}的图像是( ) A.一条直线

B.一条直线上的孤立的点 C.一条抛物线

D.一条抛物线上的孤立的点

解析:a2

2

n=n-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x-4x+3上一群孤立的点.答案:D

2.已知数列{an}的通项公式是an=,则这个数列是

A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列

D.常数列

解析:∵an+1-an=

=>0,

∴an+1>an,

∴数列{an}是递增数列.

答案:A

3.若数列{an}的通项公式an=,则在数列{an}的前20项中,最大项和最小项分别是(A.a1,a20

B.a20,a1

C.a5,a4

D.a4,a5

8

( )

)

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解析:由于an==1+,因此当1≤n≤4时,{an}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当

5≤n≤20时,an>0,且{an}也是递减的,即a5>a6>?>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4. 答案:C

4.已知{an}的通项公式an=n+3kn,且{an}是递增数列,则实数k的取值范围是( )

2

A.k≥-1 B.k>- C.k≥- D.k>-1

解析:因为{an}是递增数列,所以an+1>an对n∈N+恒成立.即(n+1)+3k(n+1)>n+3kn,整理得k>-,当n=1时,-取最大值-1,故k>-1.

22

答案:D

5.给定函数y=f(x)的图像,对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足

an+1>an(n∈N+),则该函数的图像是( )

解析:由an+1>an可知数列{an}为递增数列,又由an+1=f(an)>an可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方. 答案:A

6.已知数列{an}的通项公式是an=,其中a,b均为正常数,则an+1与an的大小关系是 .

解析:∵an+1-an=

=>0,

∴an+1-an>0,故an+1>an.

答案:an+1>an

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7.已知数列{an}的通项公式为an=2n-5n+2,则数列{an}的最小值是 .

2

解析:∵an=2n-5n+2=2

2

,

∴当n=1时,an最小,最小为a1=-1.

答案:-1

8.导学号33194002已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a 2

017

= .

解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,?,所以{an}是周期为3的周期数列,于是a2

017

=a67233+1=a1=.

答案:

9.已知数列{an}的通项公式为an=n-21n+20.

(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项? (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值. 解(1)令n-21n+20=-60,得n=5或n=16.

所以数列的第5项,第16项都为-60.

由n-21n+20<0,得1

22

2

(2)由an=n-21n+20=2

,可知对称轴方程为n==10.5.又n∈N+,故n=10或

n=11时,an有最小值,其最小值为112-21311+20=-90.

10.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).

(1)求证:an>-2;

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(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?

(1)证明由题意可知an=-2.

∵n∈N+,∴>0,∴an=-2>-2.

(2)解递减数列.

理由如下:由(1)知,an=-2.

∵an+1-an=

=<0,

即an+1

B组

1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是( ) A.递增数列 C.常数列

B.递减数列 D.不能确定

解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),

∴f(n+1)>f(n), ∴f(n)是递增数列.

答案:A

2.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )

A.(1,3)

B.(2,3) C. D.(1,2)

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答案:B

32??-2

3.{an}的( )

导学号33194003若数列{an}的通项公式为an=72 4

-32,则数列

A.最大项为a5,最小项为a6 B.最大项为a6,最小项为a7 C.最大项为a1,最小项为a6 D.最大项为a7,最小项为a6

解析:令t=,n∈N+,则t∈(0,1],且=t2.从而an=7t2-3t=7.

又函数f(t)=7t-3t在

2

上是减少的,在上是增加的,所以a1是最大项,a6是最

小项.故选C. 答案:C

4.若数列{an}的通项公式为an=-2n+13n,关于该数列,有以下四种说法:

2

①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;④-70是该数列中的一项.

其中正确的说法有 .(填序号)

解析:令-2n+13n>0,得0

正确;当n=3时,数列{an}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令

-2n2+13n=-70,得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.

答案:②④

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5.若数列中的最大项是第k项,则k= .

解析:已知数列最大项为第k项,则有

即

由k∈N+可得k=4.

答案:4

6.已知数列{an}满足an=+?+.

(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?

(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.

(1)解因为an=+?+,

所以an+1=+?+

=+?+.

所以an+1-an=,

又n∈N+,所以.

所以an+1-an>0.

所以数列{an}是递增数列.

(2)证明由(1)知数列{an}是递增数列,所以数列的最小项为a1=,所以an≥a1=,即an≥对一

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切正整数恒成立. 7.导学号33194004已知数列{an}的通项公式为an=n-n-30.

2

(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项? (2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?

(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.

解(1)由an=n-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=2-2-30=-28,a3=3-3-30=-24.

设an=60,则n-n-30=60.

解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项. (2)令n-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).

2

2

2

2

2

∴当n=6时,an=0.

令n-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).

2

∴当n>6(n∈N+)时,an>0.

令n-n-30<0,解得-5

2

∴当0

(3)由an=n-n-30=2

-30(n∈N+),知{an}是递增数列,

且a1

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第1课时 等差数列的定义和通项公式

课后篇巩固探究

1.若{an}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是

( )

A.{

}

B.

C.{3an}

D.{|an|}

解析:设{an}的公差为d,则3an+1-3an=3(an+1-an)=3d是常数,故{3an}一定成等差数列.

,{|an|}都不一定是等差数列,例如当{an}为{3,1,-1,-3}时.

{},

答案:C

2.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,

∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.

答案:B

3.已知{an}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若an=2 018,则序号n等于( ) A.670

B.671

C.672

D.673

解析:∵a1=2,d=3,∴an=2+3(n-1)=3n-1.

令3n-1=2 018,解得n=673. 答案:D

4.等差数列{an}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是( )

B.-

C.-

D.-1

A.

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解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,?,公差为d,则a5=a1+8d,所以d==-=-.故选B. 答案:B

5.已知点(n,an)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{an}中有( ) A.a7+a9>0 C.a7+a9=0

B.a7+a9<0 D.a72a9=0

解析:∵(n,an)在直线3x-y-24=0,∴an=3n-24.

∴a7=337-24=-3,a9=339-24=3, ∴a7+a9=0.

答案:C

6.在等差数列{an}中,若a1=7,a7=1,则a5= . 答案:3

7.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是 . 解析:设此数列的首项为a1,公差为d,

由已知得

②-①,得7d>21,所以d>3.

答案:d>3

8.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(列{an}的通项公式为an= . 解析:由题意知

(n≥2),

为公差的等差数列, (n-1)=)在直线x-y-=0上,则数

∴{ ????}是以 ??1为首项,以∴

+(n-1)d=n.

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∴an=3n2.

答案:3n

9.已知数列{an},{bn}满足

是等差数列,且bn=n,a2=5,a8=8,则a9= .

2

2

解析:由题意得,

因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,

所以=-,所以a9=-513.

答案:-513

10.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第 项.

解析:设an=3n-1,公差为d1,新数列为{bn},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=an-an-1=3,d2=,则

bn=2+(n-1)=n+,b29=23,令an=23,即3n-1=23.故n=8.

答案:8

11.若一个数列{an}满足an+an-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{an}为等和数列,h为公和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则a2 016= .

解析:易知an=∴a2 016=-4.

答案:-4

12.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.

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解由已知,得

∴

解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9. 13.导学号33194005已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出

项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2; (2)求{bn}的通项公式;

(3){bn}中的第110项是{an}的第几项? 解(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n.

∵数列{an}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,?, ∴{bn}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.

(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项,即bn=am, 则m=3+4(n-1)=4n-1,

∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N+).

(3)b110=13-203110=-2 187,设它是{an}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439.

14.导学号33194006已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有

,设bn=,n∈N+.

(1)求证:数列{bn}为等差数列.

(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.

18

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

(1)证明当n>1,n∈N+时,-2=2+=4?bn-bn-1=4,且b1==5.

∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.

(2)解由(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.

∴an=,n∈N+.

∴a1=,a2=,∴a1a2=.

令an=,∴n=11,即a1a2=a11.

∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.

19

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

第2课时 等差数列的性质及应用

课后篇巩固探究

A组

1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是

( )

A.15

B.30

C.31

D.64

解析:∵{an}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,

∴a12=16-1=15.

答案:A

2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( ) A.-1

B.1

C.3

D.7

解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,

解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.

∵d=a4-a3=33-35=-2,

∴a20=a4+(20-4)d=33+163(-2)=1.

答案:B

3.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有

(①{an+3} ②{

} ③{an+1-an} ④{2an} ⑤{2an+n} A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析:根据等差数列的定义判断,若{an}是等差数列,则{an+3},{an+1-an},{2an},{2an+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.

答案:D

4.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+?+a101=0,则有 (A.a1+a101>0

B.a2+a100<0

20

)

)

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

C.a3+a100≤0 D.a51=0

解析:由题设a1+a2+a3+?+a101=101a51=0,得a51=0. 答案:D

5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( ) A.an=2n-5

B.an=2n-3

C.an=2n-1 D.an=2n+1

解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,

∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0. ∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2. ∴an=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.

答案:B

6.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= . 解析:由等差数列的性质,

得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8), 即39+(a3+a6+a9)=2333, 故a3+a6+a9=66-39=27. 答案:27

7.若lg 2,lg(2-1),lg(2+3)成等差数列,则x的值是 . 解析:由题意,知2lg(2-1)=lg 2+lg(2+3),

则(2-1)=2(2+3),即(2)-422-5=0,

x2

xxxxxx2x∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.

答案:log25

8.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 .

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2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

答案:1,3,5或5,3,1

9.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式. 解∵a1+a7=2a4=a2+a6,

∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5, ∴a2+a6=10,a2a6=9.

∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根. ∴

若a2=1,a6=9,则d==2,∴an=2n-3.

若a2=9,a6=1,则d==-2,∴an=13-2n.

∴数列{an}的通项公式为an=2n-3或an=13-2n.

10.已知f(x)=x-2x-3,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:

2

(1)x的值; (2)通项an.

解(1)由f(x)=x-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)-2(x-1)-3=x-4x,a3=x-2x-3,

又因为{an}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x-4x+x-2x-3,解得x=0或x=3.

2

2

2

2

2

2

(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,

此时an=a1+(n-1)d=-(n-1);

当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,

22

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

此时an=a1+(n-1)d=(n-3).

B组

1.在数列{an}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于( )

A. B. C. D.

解析:令bn=,则b2=,b6==1.

由题意知{bn}是等差数列,

∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.

∴b4=b2+2d=+23.

∵b4=,∴a4=.

答案:A

2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )

A. B.± C.- D.-

解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.

∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.

答案:D

3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )

23

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

A.1升 B.升 C.升 D.升

解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

由题意得

解得所以a5=a1+4d=.

答案:B 4.导学号33194007在等差数列{an}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程

x2+(a4+a6)x+10=0( )

A.无实根

B.有两个相等实根

D.不能确定有无实根

C.有两个不等实根

解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.

又a4+a6=2a5=6,

∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4310<0,∴无实数解.

答案:A

5.已知logab,-1,logba成等差数列,且a,b为关于x的方程x-cx+d=0的两根,则

2

d= .

解析:由已知,得logab+logba=-2,即

=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg

,即ab=1.

故由根与系数的关系得d=ab=1. 答案:1 6.导学号33194008已知方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为

2

2

24

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

的等差数列,则|m-n|= .

解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.

可得=2,∴d=.

∴这4个根依次为.

∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.

答案:

7.两个等差数列5,8,11,?和3,7,11,?都有100项,那么它们共有多少相同的项? 解在数列{an}中,a1=5,公差d1=8-5=3.

∴an=a1+(n-1)d1=3n+2.

在数列{bn}中,b1=3,公差d2=7-3=4,

∴bn=b1+(n-1)d2=4n-1.

令an=bm,则3n+2=4m-1,∴n=-1.

∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),

又

解得0

∴0<3k≤75,∴0

8.导学号33194009已知数列{an}中,a1=,anan-1+1=2an-1(n≥2,n∈N+).数列{bn}

25

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

中,bn=(n∈N+).

(1)求证:{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式,并求其最大、最小项. (1)证明由anan-1+1=2an-1,得anan-1-an-1=an-1-1,

∴=bn,又bn-1=,

∴bn-bn-1==1(n≥2,n∈N+).

∵b1==-,

∴数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.

(2)解由(1)知bn=n-3.5,

又由bn=得an=1+=1+.

点(n,an)在函数y=+1的图像上.

显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且

y<1.

因此,当n=4时,an取得最大值3;当n=3时,an取得最小值-1.

26

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

第1课时 等差数列的前n项和

课后篇巩固探究

A组

1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )

A.13 B.35

C.49

D.63

解析:S7==49.

答案:C

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为

(A. B.1 C.2 D.3

解析:∵S5==5a3,

∴a3=S5=310=2.

答案:C

3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-37,则Sn取最小值时n的值为( ) A.17 B.18

C.19

D.20 解析:由

≤n≤.

∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.

答案:B

4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,?),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是( ) A.S17

B.S18

C.S15

D.S14

27

)

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.

答案:C

5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足( ) A.

B.

C.

D.

(n∈N+),则

的值是

解析:因为,

所以.

答案:C

6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为 . 解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,

∴

解得d=-2,a1=20,

∴S10=10a1+d=200-90=110.

答案:110

7.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则

= .

解析:S17=17a9,S9=9a5,

28

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

于是33=.

答案:

8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于 .

解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3. 答案:3

9.若等差数列{an}的公差d<0,且a22a4=12,a2+a4=8. (1)求数列{an}的首项a1和公差d; (2)求数列{an}的前10项和S10的值.

解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.

(2)S10=103a1+d=-10.

10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前

6项均为正,从第7项开始变为负. 求:(1)此等差数列的公差d; (2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值; (3)当Sn是正数时,求n的最大值.

解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,

∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-

(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.

又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,

29

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

即S6=6323+3(-4)=78.

(3)Sn=23n+3(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0

B组

1.设数列{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=( ) A.18

B.20

C.22

D.24

解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+103(-2)=0,所以a1=20. 答案:B

2.(2017全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1

B.2

C.4

D.8

解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得

①33-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.

答案:C

3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( ) A.S7

B.S8

C.S13

D.S15

解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,

∴S13==13a7为常数.

答案:C 4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,

则数列的前11项和为 ( 30

)

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

A.-45 解析:∵Sn=B.-50 ,∴C.-55 D.-66

=-n,

∴的前11项和为-(1+2+3+?+11)=-66.故选D.

答案:D

5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= . 解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n-1)d,

∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0. ∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.

又a4=1+33,ak=1+(k-1)d,

由ak+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.

答案:10

6.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为 .

解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又

<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.

所以S19=193=19a10>0,S20=203=10(a10+a11)<0,

故满足Sn>0的n的最大值为19. 答案:19 7.和.

31

导学号33194012在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

解数列{an}的公差d==3,

∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)33=3n-63.

由an<0得3n-63<0, 解得n<21.

∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.

设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,

当n≤20时,Sn'=-Sn=-=-n2+n;

当n>20时,Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+33-23n2-n+1 260.

∴数列{|an|}的前n项和

Sn'=

8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式; (2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差

数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由. 解(1)设等差数列{an}的公差为d,

因为a5+a13=34,S3=9,

所以

32

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

整理得解得

所以an=1+(n-1)32=2n-1,

Sn=n31+32=n2.

(2)由(1)知bn=,

所以b1=,b2=,bm=.

若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列, 则2b2=b1+bm,

所以,

即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t), 整理得(m-3)t-(m+1)t=0,

因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t=2

=1+.

又因为m≥3,m∈N, 所以m=4或5或7, 当m=4时,t=5; 当m=5时,t=3; 当m=7时,t=2.

所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.

33

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

第2课时 an与Sn的关系及裂项求和法

课后篇巩固探究

A组

1.已知数列{an}的前n项和Sn=,则a5的值等于( )

A.

B.-

C.

D.-

解析:a5=S5-S4==-.

答案:B

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前100项和为(A. B. C. D.

解析:∵S5==15,∴a1=1,

∴d==1,

∴an=1+(n-1)31=n, ∴.

设的前n项和为Tn,

则T100=+?+

=1-+?+=1-.

34

)

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

答案:A

3.设{an}(n∈N+)是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5

D.S6和S7均为Sn的最大值

解析:由S5

又S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0,故B正确; 同理由S7>S8,得a8<0, 又d=a7-a6<0,故A正确;

由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0, 可得2(a7+a8)>0.

而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;

∵S5S8,∴S6与S7均为Sn的最大值,故D正确.故选C.

答案:C 4.数列

的前n项和Sn为( )

A.

B.

C.

D.

35

2017-2018学年北师大版高中数学必修五同步习题

解析:,

于是Sn=

.

答案:C

5.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95

B.97

(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为( ) C.105

D.192

解析:∵f(n+1)=f(n)+,

∴f(n+1)-f(n)=. ∴f(2)-f(1)=,

f(3)-f(2)=,

??

f(20)-f(19)=,

∴f(20)-f(1)=又f(1)=2,∴f(20)=97. 答案:B

=95.

6.已知数列{an}的前n项和Sn=n-9n,第k项满足5

解析:an=Sn-Sn-1=(n-9n)-[(n-1)-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以

2

2

2

an=2n-10.

令5<2k-10<8,解得

36

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