第1章1.3.3知能优化训练

1．函数y＝f(x)在[a，b]上( ) A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值

解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．

3

2．函数f(x)＝x－3x(|x|<1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值

解析：选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.

3．函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．

4

解析：由y′＝12x2－16x＝0，得x＝0或x＝.

3

4128

当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝－；

327

当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0. 比较可知ymax＝0，ymin＝－64. 答案：－64 0

1

4．已知函数f(x)＝x3－4x＋4.求：

3

(1)函数的极值；

(2)函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0， 得x1＝－2，x2＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) 0 0 f′(x) ＋ － ＋ 284f(x) ↗ ↘ ↗ － 3328从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为；而当x＝2时，函数有极小

3

4

值，且极小值为－. 3

1

(2)f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，

3128f(4)＝×43－4×4＋4＝，

33

284

与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是，最小值是－.

33一、选择题

1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)

C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4， ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0， 故f(x)在[3,5]上单调递减，

故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．

2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A．－2 B．0 C．2 D．4

2

解析：选C.f′(x)＝3x－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)， 当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0

ln x

3．函数y＝的最大值为( )

x

－

A．e1 B．e

10

C．e2 D.

3

?ln x?′x－ln x·x′1－ln x

解析：选A.令y′＝＝＝0.解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x

x2x2时，y′>0.

11

y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.

ee

π?4．函数y＝x－sin x，x∈??2，π?的最大值是( )

π

A．π－1 B.－1

2

C．π D．π＋1

ππ

，π?时，y′>0，则函数y在区间?，π?上为增函解析：选C.因为y′＝1－cos x，当x∈??2??2?

数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.

5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22

2

解析：选B.f′(x)＝3x－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由f′(x)＝0得x＝3，－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.

15

6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )

4

31A．－ B.

22113C．－ D.或－

222

解析：选C.当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1

1513

f(a)最大，－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去)．

422

二、填空题

7．函数y＝xex的最小值为________． 解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1. 当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.

1

∴ymin＝f(－1)＝－.

e

1

答案：－

e

8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

m

解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝. 2

m

由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．

2

答案：[－4，－2]

9．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.

解析：y′＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0， x1＝0，x2＝2，x3＝－2，

又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b， f(2)＝b－4a，f(0)＝b，f(－2)＝b－4a. ??b－4a＝－5，∴?∴a＝2. ?b＝3，?

答案：2 3 三、解答题

10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求： (1)实数a的值；

(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0. ∵f′(x)＝3x2＋2ax，

∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3. (2)由(1)知a＝－3，

∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x. 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.

当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 －1 (－1,0) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 2 2 －2 ↗ ↘ －2 ↗ 从上表可知f(x)在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2. ex

11．(2011年高考安徽卷)设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax24

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

2

x1＋ax－2ax解：对f(x)求导得f′(x)＝e.① ?1＋ax2?24

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

331

解得x1＝，x2＝.结合①，可知

22111333x (－∞，) (，) (，＋∞) 2222220 0 f′(x) ＋ － ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

31

所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

22

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值． 解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，

31

?x＋x??min＝3(当x＝1时取最小值)． ∴a＜??2?∵x≥1，

∴a＜3，a＝3时亦符合题意， ∴a≤3.

(2)f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，

∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.

1

令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．

3

当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0， 即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9. 又f(1)＝－1，f(5)＝15，

∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9， 最大值是f(5)＝15.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/al93.html