8专题32 线性规划问题的求解策略（解析版） - 王彦文 - 图文

专题八：线性规划问题的求解策略

【高考地位】

线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来，高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

类型一 线性目标函数问题

使用情景：求目标函数的最值

解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；

第二步 平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解； 第三步 得出结论.

?x≥0，?例1 已知实数x,y满足不等式组?y≥?2,则2x?y的最大值是___________．

?2x?y?2≤0,?【答案】6

考点：简单的线性规划问题．

【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件．

?x?2y?3?0?例2 错误！未找到引用源。已知x、y满足不等式组 ?x?3y?3?0，则z?2x?y的最大值是 ．

?y?1?【答案】6

1

目标函数为z?2x?y，当x?3,y?0时，z?2x?y取得最大值是6. 考点：简单的线性规划． 【名师点睛】简单的线性规划问题，首先要作出可行域，作直线l:ax?by?0，把z?ax?by中转化为y??易知

azx?，bbz是直线的纵截距，因此当b?0时，直线向上平移，z增大，在b?0时，直线向下平移，z增大，这样我们把zb的值与直线纵截距联系起来，可容易求得最优解．

?y?2?【变式演练1】已知变量x,y满足约束条件?：?x?y?1，若?表示的区域面积为4，则z?3x?y的最大值为

?x?y?a?___________. 【答案】7

试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因AC?BC且AC?BC,故区域的面积为S?11?a(a?3)(2?)?4,解22之得a?1,平移动直线y?3x?z,结合图形可以看出当动直线经过点B(3,2)时,动直线y?3x?z的截距?z最小,z最大,zmax?9?2?7,故应填7.

yA(-1,2)x-y=aB(2+a,2)y=2C(Oa+11-a,)22xx+y=1考点：线性规划的有关知识及运用．

?x?k?【变式演练2】已知约束条件?x?y?4?0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（ ）

?x?y?0?A．0 B．1 C.1或3 D．3 【答案】B

2

B A C 考点：1、线性规划；2、三角形的面积.

类型二 非线性目标函数问题

使用情景：求非线性目标函数的最值

解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；

第二步 借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率

问题、两点的距离的平方等；

第三步 得出结论.

?x?0,y?1?例3 已知不等式组?x?y?0,则z?的最大值为 ．

x?1?4x?3y?12，?【答案】3

考点：线性规划

【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

?3x?y?6?0?例4 在平面直角坐标系xOy中,M 为不等式组?x?y?2?0所表示的区域上一动点, 已知点A??1,2?,则直线

?x?0,y?0?AM斜率的最小值为（ ）

A．?24 B．?2 C．0 D． 35【答案】B

试题分析：可行域为一个四边形OBCD及其内部,其中B(0,2),C(2,0),D(4,6)，因此直线AM斜率的最小值为直线AO斜率，为?2，选B. 考点：线性规划

3

?x?y?2?0?例5 若x,y满足?x?y?4?0，则z?y?2|x|的最大值为（ ）

?y?0?A．-8 B．-4 C．1 D．2 【答案】D

考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

?x?y?4?0y2?【变式演练3】已知实数x,y满足?y?1?0，则z?的最大值是（ ）

x?x?1?0?A．

1 B．9 C．2 D．11【答案】B 3

考点：线性规划.

?x?2y?0y1?【变式演练4】若变量x，y满足约束条件?x?y?0，且z?仅在点A(?1,)处取得最大值，则实数a的

x?a2?x?2y?2?0?4

取值范围为（ ）

A．[?2,?1) B．(??,?1) C．(?2,?1) D．(?1,1) 【答案】C

试题分析：由约束条件画出可行域如图所示，z?y表示的几何意义是:点?x,y?与?a,0?连线的斜率的取值范围.x?a当a?0时,通过图象旋转可知,不可能在A??1,?处取到最大值,舍去；当a?0时,若?1?a?0,则必然存在x?a与可行域有交点,此时无斜率,可以理解为斜率趋向于正无穷,故无最大值；当?2?a??1时,在点A处取到最大值,在

??1?2?O处取得最小值,符合题意,故选C.

考点：线性规划.

【变式演练5】已知实数x,y满足??x?2y?1?02x?y?2，则z?的取值范围为（ ）

x?y?1?0x?A．?0,?10??10??10??10? B． C． D．??,2,??2,??,0,???????? ??????3??3??3??3?【答案】D 【解析】

考点：简单的线性规划问题．

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