2018年浦东区高三二模数学word版（附解析）

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

2n?1?

n???n?1x2. 不等式?0的解集为

x?13. 已知{an}是等比数列，它的前n项和为Sn，且a3?4，a4??8，则S5? 1. lim4. 已知f?1(x)是函数f(x)?log2(x?1)的反函数，则f?1(2)? 5. (x?)9二项展开式中的常数项为

1x??x?2cos?6. 椭圆?（?为参数）的右焦点坐标为

y?3sin????x?2y?4?2x?y?3?7. 满足约束条件?的目标函数f?3x?2y的最大值为

x?0???y?08. 函数f(x)?cos2x?3sin2x，x?R的单调递增区间为 29. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为 米

10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、

(1,1,0)，则该四面体的体积为

11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,??)上是增函数，如果对于任意

x?[1,2]，f(ax?1)?f(x?3)恒成立，则实数a的取值范围是

12. 已知函数f(x)?x2?5x?7，若对于任意的正整数n，在区间[1,n?]上存在m?1个 实数a0、a1、a2、???、am，使得f(a0)?f(a1)?f(a2)?????f(am)成立，则m的最大 值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

213. 已知方程x?px?1?0的两虚根为x1、x2，若|x1?x2|?1，则实数p的值为（ ）

5nA. ?3 B. ?5 C.

3，5 D. ?3，?5

14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）（2）|z1?z2|?|z1|?|z2|；|z1?z2|?|z1|?|z2|；（3）(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)，相应的在向量运算中，下列式子：（1）|a?b|?|a|?|b|；（2）|a?b|?|a|?|b|；（3）(a?b)?c?a?(b?c)，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 充分条件 C. 充要条件

B. 必要条件

D. 既非充分又非必要条件

16. 设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y?f(x)满足：（1）

Q?{f(x)|x?P}；（2）对任意x1,x2?P，当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，那么称这

两个集合构成“P?Q恒等态射”，以下集合可以构成“P?Q恒等态射”的是（ ） A. R?Z B. Z?Q C. [1,2]?(0,1) D. (1,2)?R

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为 圆心，D是AB的中点，且?BOC?（1）求圆锥的全面积；

（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

18. 在?ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.

?2.

2c(2a?b)sinA（1）若?0，求角C的大小； (2b?a)sinB1?sinC(2a?b)sinA（2）若sinA?

42?，C?，c?3，求?ABC的面积. 53

19. 已知双曲线C:x2?y2?1.

（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；

（2）若经过点P(0,?1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.

20. 已知函数y?f(x)定义域为R，对于任意x?R恒有f(2x)??2f(x). （1）若f(1)??3，求f(16)的值；

（2）若x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2，求函数y?f(x)，x?(1,8]的解析式及值域； （3）若x?(1,2]时，f(x)??|x?小值.

21. 已知数列{an}中a1?1，前n项和为Sn，若对任意的n?N*，均有Sn?an?k?k（k是常数，且k?N*）成立，则称数列{an}为“H(k)数列”. （1）若数列{an}为“H(1)数列”，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若数列{an}为“H(2)数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得

2|an?an?1an?1|?40对一切n?2，n?N*恒成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所

3|，求y?f(x)在区间(1,2n]，n?N*上的最大值与最2有可能值，如果不存在，请说明理由；

（3）若数列{an}为“H(k)数列”，且a1?a2?????ak?1，证明：an?2k?(1?

1n?k). 2k?1

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. lim2n?1?

n???n?1【解析】2

x?0的解集为 x?1【解析】x(x?1)?0?x?(0,1)

2. 不等式

3. 已知{an}是等比数列，它的前n项和为Sn，且a3?4，a4??8，则S5? 【解析】S5?1?2?4?8?16?11

4. 已知f?1(x)是函数f(x)?log2(x?1)的反函数，则f?1(2)? 【解析】log2(x?1)?2?f?1(2)?3

5. (x?)9二项展开式中的常数项为

3?84 【解析】C91x??x?2cos?6. 椭圆?（?为参数）的右焦点坐标为

??y?3sin?x2y2??1，右焦点为(1,0) 【解析】43?x?2y?4?2x?y?3?7. 满足约束条件?的目标函数f?3x?2y的最大值为

x?0???y?02516【解析】交点(,)代入最大，f?3x?2y?

3333sin2x，x?R的单调递增区间为 2?1??【解析】f(x)?sin(2x?)?，∴单调递增区间为x?[k??,k??]，k?Z

62368. 函数f(x)?cos2x?9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为 米

2【解析】设y?ax，代入(4,?2)，∴a??，∴?3??x2?x?26，所以宽为46

181810. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、

(1,1,0)，则该四面体的体积为

11? 6311. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,??)上是增函数，如果对于任意

【解析】是一个边长为2的正四面体，体积为1?4?x?[1,2]，f(ax?1)?f(x?3)恒成立，则实数a的取值范围是

【解析】|ax?1|?3?x在x?[1,2]恒成立，|a?1|?2且|2a?1|?1，解得a?[?1,0] 12. 已知函数f(x)?x2?5x?7，若对于任意的正整数n，在区间[1,n?]上存在m?1个 实数a0、a1、a2、???、am，使得f(a0)?f(a1)?f(a2)?????f(am)成立，则m的最大 值为 【解析】(n?)min?5n5n9991953，∴在区间[1,]上最大值为f()?，最小值为f()?， 2224241931??6??????，即m的最大值为6 444

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知方程x2?px?1?0的两虚根为x1、x2，若|x1?x2|?1，则实数p的值为（ ） A. ?3 B. ?5 C. 【解析】由??0，排除B、C、D，选A

14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）（2）|z1?z2|?|z1|?|z2|；|z1?z2|?|z1|?|z2|；（3）(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)，相应的在向量运算中，下列式子：（1）|a?b|?|a|?|b|；（2）|a?b|?|a|?|b|；（3）(a?b)?c?a?(b?c)，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】① 正确，②③错误，选B

15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 充分条件 C. 充要条件

B. 必要条件

D. 既非充分又非必要条件

3，5 D. ?3，?5

【解析】不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，选A

16. 设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y?f(x)满足：（1）

Q?{f(x)|x?P}；（2）对任意x1,x2?P，当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，那么称这

两个集合构成“P?Q恒等态射”，以下集合可以构成“P?Q恒等态射”的是（ ） A. R?Z B. Z?Q C. [1,2]?(0,1) D. (1,2)?R

【解析】根据题意，定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，D符合，故选D 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为 圆心，D是AB的中点，且?BOC?（1）求圆锥的全面积；

（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

【解析】（1）圆锥的底面积S1??r2?4? ……………3分 圆锥的侧面积S2??rl?410?……………3分 圆锥的全面积S?S1?S2?4(1?10)?……………1分 （2）Q?BOC??2.

?2??CDO是直线CD与平面AOB所成角 ……………1分

?OC?OB 且OC?OA，OC?平面AOB ……………2分

在RtVCDO中，OC?2,OD?10, ……………1分

1010,??CDO?arctan ……………2分 5510所以，直线CD与平面AOB所成角的为arctan……………1分

5tan?CDO?

18. 在?ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.

2c(2a?b)sinA（1）若?0，求角C的大小； (2b?a)sinB1?sinC(2a?b)sinA（2）若sinA?42?，C?，c?3，求?ABC的面积. 53【解析】（1）由题意，2csinC??2a?b?sinA??2b?a?sinB；……………2分 由正弦定理得2c2??2a?b?a??2b?a?b，∴c?a?b?ab，……………2分

222?a2?b2?c21?，∴C?；……………2分 ∴cosC?2ab234ac8?（2）由sinA?，c?3，且，∴a?；…………2分

5sinAsinC52?3由a?c?A?C?，∴cosA?,…………2分

5333?4∴sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?；…………2分

10 ∴S?ABC?118?83casinB?…………2分 22519. 已知双曲线C:x2?y2?1.

（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；

（2）若经过点P(0,?1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.

【解析】（1）F2(2,0)…………1分 渐近线 x?y?0………1分

R?1…………2分 (x?2)2?y2?1………………2分

（2）设经过点B的直线方程为y?kx?1,交点为M(x1,y1),N(x2,y2)………………1分

?k2?1,??0?x?y?1??(1?k2)x2?2kx?2?0…1分 则?x1?x2?0?1?k?2…2分 ??y?kx?1?xx?0?1222?k?111k，…1分 得中垂线MN的中点为(,)l:y???(x?)…1分 22221?k1?k1?kk1?k?22令x?0得截距t???2………………2分 221?kk?1即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是(2,??).

20. 已知函数y?f(x)定义域为R，对于任意x?R恒有f(2x)??2f(x). （1）若f(1)??3，求f(16)的值；

（2）若x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2，求函数y?f(x)，x?(1,8]的解析式及值域； （3）若x?(1,2]时，f(x)??|x?小值.

【解析】（1）Qf(1)??3且f(2x)??2f(x)

3|，求y?f(x)在区间(1,2n]，n?N*上的最大值与最 2?f(2)??3?(?2)……………1分 ?f(22)??3?(?2)2……………1分

?f(23)??3?(?2)3………1分 ?f(16)?f(24)??3?(?2)4??48……1分

（2）

xf(2x)??2f(x)?f(x)??2f()，

2x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1，f(x)?(1,2]……………1分 xx1x?(2,4]时，f(x)??2f()??2[(?1)2?1]??(x?2)2?2，……………1分

222f(x)?[?4,?2)……………1分

x1x1x?(4,8]时，f(x)??2f()??2[?(?2)2?2]?(x?4)2?4，……………1分

2224f(x)?(4,8]……………1分

??(x?1)2?1,x?(1,2]??12得：f(x)???(x?2)?2,x?(2,4]，值域为[?4,?2)（1，2](4,8]……………1分

2??1(x?4)2?4,x?(4,8]??4x（3）f(2x)??2f(x)?f(x)??2f()

2x32当x?(1,2]时，f(x)??x?得：当x?(2,2]时，f(x)??2f()?x?3……1分

22xn?1n当x?(2,2]时，n?1?(1,2]，

2xxxx3f(x)??2f()?(?2)2f(2)?L(?2)n?1f(n?1)??(?2)n?1n?1??(?1)nx?3?2n?222222……………2分

2n当x?(2,2]，n为奇数时，f(x)??x?3?2?[?,0]

42nn?1nn?2当x?(2,2]，n为偶数时，f(x)?x?3?2?[0,]

41综上：n?1时，f(x)在(1,2]上最大值为0，最小值为?……………1分

22n2nnn?2，n为偶数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为?……………1分

482n2nnn?3，n为奇数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为?……………1分

84n?1nn?2

21. 已知数列{an}中a1?1，前n项和为Sn，若对任意的n?N*，均有Sn?an?k?k（k是常数，且k?N*）成立，则称数列{an}为“H(k)数列”. （1）若数列{an}为“H(1)数列”，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若数列{an}为“H(2)数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得

2|an?an?1an?1|?40对一切n?2，n?N*恒成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所

有可能值，如果不存在，请说明理由；

（3）若数列{an}为“H(k)数列”，且a1?a2?????ak?1，证明：an?2k?(1?【解析】（1）数列?an?为“H?1?数列”，则Sn?an?1?1，故Sn?1?an?2?1，

1n?k). 2k?1两式相减得：an?2?2an?1， …………………1分

又n?1时，a1?a2?1，所以a2?2?2a1，………………1分 故an?1?2an对任意的n?N*恒成立，即

an?1?2（常数）， ann?1故数列?an?为等比数列，其通项公式为an?2,n?N*；………………1分

Sn?2n?1,n?N*………………1分

（2）?

?Sn?an?2?2?an?1?an?3?an?2?an?3?an?2?an?1(n?N*)

S?a?2n?3?n?1

2?an?2?an?1?an(n?2,n?N*)………………1分

*当n?2,n?N时，an?1?anan?2?an?1?an?an?1?an??an?1(an?1?an)?an22

*22*因为an?1?an?an?1,(n?3,n?N)，则an?1?anan?2?an?1an?1?an,(n?3,n?N)；

则an?12?anan?2?an2?an?1an?1,(n?3,n?N*)………………2分

则an2?an?1an?1?a32?a2a4(n?3,n?N*)，因为a4?a3?a2

222*a?aa?a?aa?a(n?3,n?N)………………1分 n?1n?13232则n因为S1?a3?2,a1?1?a3?3，则9?3a2?a22?40，且n?2时，a22?3?40，

解得：a2?0,?1,?2,?3,?4,?5,?6………………2分

??an?k?Sn?k*?a?a?a(n?2,n?N)…………1分（3）?n?kn?k?1n* ??an?1?k?Sn?1?k(n?2,n?N)ak?1?S1?k?0，由归纳知，ak?2?0,L,?an?0，…………1分

a1?a2?L?ak?1,ak?1?k?1，由归纳知，an?an?1,(?n?N*)，…………2分

*则an?k?an?k?1?an?an?k?1?an?k?1?2an?k?1(n?2,n?N)

an?k?2an?k?1(n?2,n?N*)…………1分

111an?k?1?2an?k?2?L?k?1an?2k?1,(n?N*)…………1分 2221*于是an?2k?an?2k?1?an?k?(1?k?1)an?2k?1,(n?N) 21n?1*于是an?2k?(1?k?1)a2k,(n?N)…………1分

2111a2k?Sk?k?2k，∴an?2k?(1?k?1)n?1?2k?(1?k?1)n?k?1,(2k?(1?k?1)?k)…1分

222?an?k?结论显然成立.

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