2012高中数学必做100题--数学选修1-1（16题）

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高中数学必做100题—选修1-1

时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：

（说明：《选修1-1》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-1》精选）

4?x1. 已知p:?2??2 , q:x2?2x?1?m2?0(m?0), 若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取

3值范围. （☆P6 9） 2. 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x? 425的距离的比是常数，求M的轨迹（◎.P41 例6）

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高中数学必做100题◆选修1-1 5x2y23. 双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，求此双曲线的方程. （◎P68 4）

294 4. 倾斜角 ?的直线l过抛物线y2?4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长. （◎P61 例4） 4在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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5. 当?从0?到180?变化时，方程x2?y2cos??1表示的曲线的形状怎样变换？（◎P68 5） 6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程； （2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？ 京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

高中数学必做100题◆选修1-1 7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（?22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长. 8. 在抛物线y2?4x上求一点P，使得点P到直线l:x?y?4?0的距离最短, 并求最短距离. 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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x2y29. 点M是椭圆??1上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60o，求△F1MF2的面积.

6436 F1 O M F2 10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）. （☆P21 例4）

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程； （2）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P?、F1'、F2'，求以F1'、F2'为焦点且过点P?的双曲线的标准方程。 京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

高中数学必做100题◆选修1-1 11. 已知函数f(x)?xex（e为自然对数的底）.

（1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 112. 设函数f(x)??x3?2x2?3x.

3（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值. 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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ax?6的图象在点M(?1,f(?1))处的切线方程为x?2y?5?0. x2?b（1）求函数y?f(x)的解析式；（2）求函数y?f(x)的单调区间. （☆P50 8）

13. （06年福建卷）已知函数f(x)? 14. 已知a为实数，f(x)?(x2?4)(x?a). （1）求导数f'(x)； （2）若f'(?1)?0，求f(x)在??2,2?上的最大值和最小值；

（3）若f(x)在(??,?2)和?2,???上都是增函数，求a的取值范围. （☆P45 例3） 京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

高中数学必做100题◆选修1-1 15.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? （☆P47 例1） 216.（2006年江西卷）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值，（☆P49 例2）

3（1）求a、b的值与函数f(x)的单调区间；（2）若对x???1,2?时，不等式f(x)?c2恒成立，求c的范围. 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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高中数学必做100题—选修1-1

班级： 姓名：

（说明：《选修1-1》部分共精选12题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.选修1-1》精选）

4?x1. 已知p:?2??2 , q:x2?2x?1?m2?0(m?0), 若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取

3值范围. （☆P6 9）

解：∵﹁p 是﹁q必要不充分条件， ∴ ?q??p，即p?q.……（3分）

4?x 解p:?2??2得?2?x?10，即：p:?2?x?10. ……（6分）

3解q:x2?2x?1?m2?0变形为[x?(1?m)][x?(1?m)]?0，解得1?m?x?1?m， 即q:1?m?x?1?m. ……（9分）

?1?m??2由p?q，则?，解得m?9.

1?m?10?所以实数m的取值范围m?9。 ……（12分）

2. 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x?解：设d是点M到直线l:x?（4分）

425的距离的比是常数，求M的轨迹（◎.P41 例6）

54?MF4?25????，……的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P??Md5?4???(x?4)2?y24x2y222?。将上式两边平方，并化简，得9x?25y?225。即?由此得 ?1。……（9分）

255259?x4所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。. ……（12分）

x2y253. 双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，求此双曲线的方程. （◎P68 4）

294x2y2解：椭圆??1焦点为F(?5,0)，根据题意得双曲线的焦点为F(?5,0)，……（3分）

94x2y2设双曲线的标准方程为2?2?1，且有c?5。……（6分）

abc5，得a?2，得b2?c2?a2?5?4?1，……（10分） ?a2x2所求双曲线的方程为?y2?1。……（2分）

4又由e?4. 倾斜角为P61 例4）

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，A,B到准线的距离分别为dA,dB，

由抛物线的定义可知AF?dA?x1?1,BF?dB?x2?1，于是AB?AF?BF?x1?x2?2。……（3分）

由已知得抛物线的焦点为F(1,0)，斜率k?tan?的直线l经过抛物线y2?4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长. （◎4?4?1，所以直线AB方程为y?x?1。……（6分）

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高中数学必做100题◆选修1-1 将y?x?1代入方程y2?4x，得(x?12)?x4，化简得x2?6x?1?0。由求根公式得

x1?3?22,x2?3?22，……（9分）

于是AB?x1?x2?2?8。所以，线段AB的长是8。……（12分）

5. 当?从0?到180?变化时，方程x2?y2cos??1表示的曲线的形状怎样变换？ 解：当??0?时，cos0??1，方程x2?y2?1表示圆心在原点的单位圆。……（3分）

当90????0?时，1?cos??0，方程x2?y2cos??1表示圆心在原点的单位圆。……（5分） 当??90?时，cos90??0，方程x2?1，得x??1表示与y轴平行的两条直线。……（7分） 当180????90?时，cos??0，方程x2?y2cos??1表示焦点在x轴上的双曲线。……（9分） 当??180?时，cos180???1，方程x2?y2?1表示焦点在x轴上的等轴双曲线。……（12分）

6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程； （2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？ 解：（1）设抛物线方程x2??2py.……（2分）

由题意可知，抛物线过点(26,?6.5)，代入抛物线方程，得

2 26?1p3， 解得p?52，

所以抛物线方程为x2??104y. ……（6分） （2）把x?2代入，求得y??而6.5?6?0.5?

7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（?22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.

1. ……（9分） 261，所以木排能安全通过此桥. ……（12分） 26x2y2解：设椭圆C的方程为2?2?1，由题意a=3，c=22，于是b=a2?c2=1. ……（3分）

abx2∴ 椭圆C的方程为＋y2＝1．……（5分）

9?y?x?2?2

联立方程组?x2，消y得10x＋36x＋27＝0， 2??y?1?9因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）

1891设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝?，故线段AB的中点坐标为（?,）．……（12分）

555

8. 在抛物线y2?4x上求一点P，使得点P到直线l:x?y?4?0的距离最短, 并求最短距离.

解：设与直线l:x?y?4?0平行，且与抛物线y2?4x相切的直线为x?y?k?0.……（3分）

?x?y?k?0由?2， 消x得y2?4y?4k?0.……（5分） ?y?4x∴ ??42?16k?0，解得k?1，即切线为x?y?1?0.……（7分）

在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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?x?y?1?0由?2，解得点P(1,2). ……（9分）

y?4x?∴ 最短距离d?

|4?1|12?12?32.……（12分） 2x2y29. 点M是椭圆??1上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60o，求△F1MF2

6436的面积.

x2y2解：由??1，得a=8，b=6，c?a2?b2?27.……（3分）

6436根据椭圆定义，有|MF1|?|MF2|?2a?16.……（5分）

在△F1MF2中，由余弦定理，得到

F1 O F2 |F1F2|2?|MF1|2?|MF2|2?2|MF1|?|MF2|?cos?F1MF2.

|MF2|?cos60?，……（7分） 即 (47)2?|MF1|2?|MF2|2?2|MF1|?112?|MF1|2?|MF2|2?|MF1|?|MF2|?(|MF1|?|MF2|)2?3|MF1|?|MF2|?162?3|MF1|?|MF2|，

解得|MF1|?|MF2|?48.……（10分） △F1MF2的面积为：S?11|MF1|?|MF2|sin?F1MF2??48?sin60??123.……（12分） 22

10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）. （☆P21 例4）

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P?、F1'、F2'，求以F1'、F2'为焦点且过点P?的双曲线的标准方程。

x2y2解：（1）设所求椭圆方程为2?2?1(a>b>0),其半焦距c=6，……（2分）

ab2a?PF1?PF2?112?22?12?22?65……（4分）

x2y2∴a?35,b=a-c=9. 所以所求椭圆的标准方程为??1． ……（6分）

459，，，

（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P(2，5)、F1(0，-6)、F2(0，6). ……（8分）

2

2

2

y2x2设所求双曲线的标准方程为2?2?1(a1?0,b1?0)，由题意知，半焦距c1=6，

a1b12a1?P?F1??P?F2??112?22?12?22?45，a1?25,b12=c12-a12=36-20=16. y2x2所以，所求双曲线的标准方程为??1．……（12分）

2016

11. 已知函数f(x)?xex（e为自然对数的底）.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 解：f(x)?xex?f?(x)?ex(x?1)，因此有……（3分）

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高中数学必做100题◆选修1-1 （1）令f?(x)?0?x??1，即函数f(x)的单调递增区间是(?1,??)；……（6分） （2）因为f(1)?e，f?(1)?2e，……（9分） 所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y?e?2e(x?1)，即2ex?y?e?0.……（12分）

112. 设函数f(x)??x3?2x2?3x.

3（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)的极大值和极小值.

解：∵ f′(x)=－x2+4x－3=－(x－3)(x－1), ……（2分）

（1）由f′(x)>0，解得：13， 则函数f(x)的单调递增区间为（1, 3），单调递减区间为（－∞，1）和（3，+∞）. ……（6分） （2）由f′(x)=0，解得：x=1或x=3. 列表如下：……（9分）

x f′(x) f(x) (－∞，1) — 单调递减↘ 1 0 －(1, 3) + 3 0 (3,+ ∞) — 单调递增单调递减 4 0 ↗ ↘ 34∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－.……（12分）

3

ax?613.（06年福建卷）已知函数f(x)?2的图象在点M(?1,f(?1))处的切线方程为x?2y?5?0.

x?b（1）求函数y?f(x)的解析式；（2）求函数y?f(x)的单调区间. （☆P50 8）

a(x2?b)?2x(ax?6)ax?6解：（1）?f(x)?2，?f?(x)?.……（2分） 22(x?b)x?b又?函数f(x)的图象在点M(?1,f(?1))处的切线方程为x+2y+5=0， ……（4分）

1??1?2f(?1)?5?0,即f(?1)??2,f?(?1)??.解得a?2,b?3,(?b?1?0,b??1舍去)

22x?6.……（6分） ?所求函数解析式为f(x)?2x?3?2x2?12x?6.?令f?(x)?0,解得x1?3?23,x2?3?23. ……（8分） （2）?f?(x)?22(x?3)当x?3?23或x?3?23时，f?(x)?0; 当3?23?x?3?23时，f?(x)?0.

?f(x)?分）

2x?6在(??,3?23)和(3?23,??)内是减函数，在(3?23,3?23)内是增函数. ……（12x2?314. 已知a为实数，f(x)?(x2?4)(x?a)，（1）求导数f'(x)； （2）若f'(?1)?0，求f(x)在??2,2?上的最大值和最小值；

（3）若f(x)在(??,?2)和?2,???上都是增函数，求a的取值范围. （☆P45 例3） 解：（1）因为f(x)?(x2?4)(x?a)=x3?ax2?4x?4a，所以f'(x)?3x2?2ax?4.……（3分） （2）由f'(?1)?0，得a?11 ， 此时有f(x)?(x2?4)(x?), 所以f'(x)?3x2?x?4……（5分） 2248

在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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44509或x??1,又因为f()??,f(?1)?,f(?2)?0,f(2)?0， 33272950所以f(x)在??2,2?上的最大值为，最小值为?.……（8分）

227（3）?f'(x)?3x2?2ax?4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.

由f'(x)?0，得x??4a?8?0由条件得f'(?2)?0,f'(2)?0, 即?，解得?2?a?2. 所以a的取值范围为??2,2?.……（12

8?4a?0?分）

15. （ 2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? （☆P47 例1）

解：设容器的高为x，容器的体积为V，……（1分） 则V=（90-2x）（48-2x）x，（0

32

=4x-276x+4320x ∵V′=12 x2-552x+4320

令V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36. ……（8分） ∵令V′>0得x>36或x<10 ；令V′<0得10

?函数在(0,10)上递增，在(10,24)上递减. ?当x=10时，V有极大值V(10)=19600.

又V(0)=0，V(24)=0， 所以当x=10时，V有最大值V(10)=19600cm3.……（12分）

216.（2006年江西卷）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值，（☆P49 例2）

3（1）求a、b的值与函数f(x)的单调区间.

（2）若对x???1,2?时，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围. 解：（1）?f(x)?x3?ax2?bx?c，?f'(x)?3x2?2ax?b.……（3分） 21241由f'(?)??a?b?0，f'(1)?3?2a?b?0得a＝－，b＝－2

3932?f'(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)，?当x变化时，f'(x)、f(x)的变化情况如下表：

x f'(x) 2(??,?)3 ?23 22 272(?,1)3 1 0 极小值c?(1,??) ＋ 0 极大值c?－ ? ＋ 3 ? 222；递减区间是（－，1）. ……（6分） ?函数f(x)的递增区间是（－?，－）和（1，＋?）

331（2）?f(x)＝x3－x2－2x＋c x???1,2?，……（8分）

222231又?f(?)＝c?，f(1)?c?，f(?1)?c? ，f(2)＝c+2.

32722? f(2)＝c+2为最大值. ……（10分）

f(x) ? 要使f(x)?c2在x???1,2?恒成立，只需c2?f(2)＝c+2，解得c?－1或c?2. ……（12分）

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高中数学必做100题◆选修1-1 , 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔

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在数学的领域中

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