高中数学必修二：两条直线的位置关系

2019-2020学年高一数学必修二

第二节:两条直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组

?A1x＋B1y＋C1＝0，??的解． ??A2x＋B2y＋C2＝0

3．三种距离公式

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2 |Ax0＋By0＋C|d＝ A2＋B2d＝|C1－C2| A2＋B2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为

|kx0＋b|

.( ) 1＋k2(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

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2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为( ) A．－3 C．2

4

B．－

3 D．3

a2

解析：选D 直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，

23a2

因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.

23

3．(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为( ) A.2 C.2－1

B．2－2 D.2＋1

|a－2＋3|解析：选C 由题意知＝1，∴|a＋1|＝2，又a>0，∴a＝2－1.

24．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．

???2x－y＝－10，?x＝－9，?解析：由得? ?y＝x＋1???y＝－8.

即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)． 又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点， 2

所以－8＝－9a－2，解得a＝.

32

答案：

3

5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 6m14解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线

34－3之间的距离d＝

答案：2

考点一 两条直线的位置关系 ?基础送分型考点——自主练透?

[考什么·怎么考]

两条不同直线的位置关系有平行、相交?垂直是其中一种特殊情况?两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式命题，难度较易，属于基础题. |－3－7|＝2.

32＋42 第 2 页 共 23 页

1．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )

A．－10 C．0

解析：选A ∵l1∥l2，∴

B．－2 D．8

4－m

＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，m＋2

∵l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.

2．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．

解析：l1的斜率k1＝

3a－0

＝a.

1－?－2?

－2a－?－1?1－2a

＝.

aa－0

当a≠0时，l2的斜率k2＝

1－2a

因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·a＝－1，解得a＝1.

当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.

综上可知，实数a的值为1或0. 答案：1或0

3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使 (1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2；

(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

?m2－8＋n＝0，?

解：(1)由题意得?

??2m－m－1＝0，??m＝1，

解得?

?n＝7.?

即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．

2

??m－16＝0，

(2)∵l1∥l2，∴?

?－m－2n≠0，?

?m＝4，?m＝－4，??

解得?或?

??n≠－2n≠2.??

即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当2m＋8m＝0， 即m＝0时，l1⊥l2.

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n

又－＝－1，∴n＝8.

8

即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

[怎样快解·准解]

1．解题要“前思后想”

解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”

2．方法要“因题而定”

(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 ①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； ②两直线垂直?两直线的斜率之积等于－1. (2)由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程 l1与l2垂直的充要条件 l1与l2平行的充分条件 l1与l2相交的充分条件 l1与l2重合的充分条件 2l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B1≠0) 2l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B2≠0) A1A2＋B1B2＝0 A1B1C1＝≠(ABC≠0) A2B2C2222A1B1≠(AB≠0) A2B222A1B1C1＝＝(ABC≠0) A2B2C2222A1B1C1 [注意] 在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选

A2B2C2

择、填空题时，建议多用比例式来解答．

考点二 距离问题 ?重点保分型考点——师生共研?

距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离，多以选择题或填空题的形式考查，难度偏小，属于基础题. [典题领悟] 第 4 页 共 23 页

1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )

9

A. 529C. 10

18 B.

529 D.

5

34－12

解析：选C 因为＝≠，所以两直线平行，

685将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即

|－24－5|2929

＝，所以|PQ|的最小值为.

1062＋8210

2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．

解析：设点P的坐标为(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)． －3＋1

而AB的斜率kAB＝＝－1，

4－2

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上， ∴a－b－5＝0.①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴

|4a＋3b－2|

＝2，即4a＋3b－2＝±10，②

42＋32?a＝1，?

由①②联立解得?或

?b＝－4?

?

?8?b＝－7.

27a＝，7

278，－?. ∴所求点P的坐标为(1，－4)或?7??7278

，－? 答案：(1，－4)或?7??7

[解题师说]

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