材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章

第5章 弯曲应力

思考题

5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?

答 不一定。最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。

5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？

答 若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；

若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。

5-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量Es

>Ew，则该梁沿高度方向正应力分布为图a，b，c，d中哪一种。

思考题5-3图

答 (b)

5-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？

思考题5-4图

答 (a)

5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值理性和经济性。比值请从

W

来衡量截面形状的合A

W

较大，则截面的形状就较经济合理。图示3种截面的高度均为h，A

W

的角度考虑哪种截面形状更经济合理？ A

思考题5-5图

答 (c)

5-6 受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。若各图中阴影部分面积相同，中空

部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？

思考题5-6图

答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）

*FSSz

5-7 弯曲切应力公式τ=的右段各项数值如何确定？

Izb

答 FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b为所求切应力所

在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。

5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？ 答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。

*

习 题

5-1 钢丝的弹性模量E=200GPa。比例极限σp=200MPa，将钢丝绕在直径为2 m的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多大？

解 由卷筒直径得钢丝曲率半径 ρ=1m

d

Edy

≤σp σ=Eε=E =E=

ρρ2ρ

2ρσp2×1×200×106

d≤==2×10 3m=2mm 9

E200×10

dmax=2mm

5-2 两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。若已知两横截面面积相等，且

d23

=。试计算它们的最大正应力之比。

D25

解

σ1max=

MmaxMmaxMmax

，σ===2max3

3W2W1πD1

πD2

3232

Mmax

4

d

2

1 D 2

43 d2 πD2

1 32 D2 σ1max （a）

=3

σ2maxπD1

32

3

由 A1=A2，d2D2=得

5

πD12π22

=D2 d2 44

d 2 4 2

22222

D1=D2 d2=D2 1 D = 5D2

2

()

D1=

4D2 5

代入式（a）得

σ1maxD12+d2217

== σ2maxD1+D210

5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。

(a）

(b)

解 ∑MA=0，FB=7.64kN↑ ∑Fy=0，FA

作弯矩图（b），危险截面分别为C，B，且 MC=1344N m，MB=900N m

()=3.36kN(↑)

MC32MC32×1344

==63.4MPa =

WCπ×603×10-9πD3

32MBMB32×900===62.0MPa σB=4

WBπD31 α4 45

π×603×10-9 1

60

故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为63.4MPa。

σC=

5-4 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。

解 对截面m-m及n-n，都给以坐标系如图所示。于是有 yA= yD= 0.150m； yB=0.100m,yC=0 截面m-m及截面n-n的弯矩分别是

Mm=20kN m； Mn=20 15×3= 25kN m 横截面对轴z的惯性矩

Iz=

131

bh=×0.180×0.3003=405×10 6m4 1212

20×10 3×( 0.150)6= σmD== 7.41×10N/m= 7.41MPa 6

405×10

y0.100=BσmA=×( 7.41)=4.94MPa yA 0.150=0

MDyA( 25×103)×( 0.150)==

Iz405×10 6

各点的正应力分别是

σmA

σmBσmC

σnA= σnD

σnB

=9.26×106N/m3=9.26MPa

y0.100=BσnA=×9.26= 6.18MPa，σnC=0

0.150yA

5-5 一外径为250mm，壁厚为10mm，长度l=12m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满水，如图(a)所示。铸铁的密度

ρ1=7.70×103kg/m3，水的密度

ρ2=1×103kg/m3。求管内最大拉、压正应力的数值。

(a) (b)

解 将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁，如图(b)所示。其中荷载集度q，为单

位长度水管自重与单位长度水柱重量的和，即

q=

ππ

[D2 (D 2δ)2ρ1g+(D 2δ)2ρ2g] 44π223=[0.250 (0.250 2×0.010)]×7.70×9.8×10 4

π

+×(0.250 2×0.010)2×9.8×103=0.976kN/m 4

均布荷载简支梁的危险截面在跨中，最大弯矩

11

Mmax=ql2=×0.976×122=17.6kN m

88

水管的弯曲截面系数

Wz=

π30.234D 2δ4π

]=×0.253×[1 (]=4.35×10 4m3 D[1 (

32320.25DMmax17.6×103===40.4MPa 4

Wz4.35×10

最大拉压正应力

σmax

5-6 由两根28a号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用，如图(a)所示。已知该梁材料

为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170 MPa。求梁的许可载荷F。

2

3

(a) (b)

解 由已知结构载荷对称，得图(b)。

33

F×2=3F，MC=F×4 F×2=4F 22

Mmax=4F

M4Fσ=max=≤[σ]=170×106 6

W2×340.328×10F

≤28.9×103N=28.9kN

MB=

5-7 一重量为P的均质钢条，长度为l，截面宽为b，厚为t，放置在刚性平面上如图。当在钢条一端用力F=

P

提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离a及钢条内的最大正应力。 3

12PPqa=0，F=，q= 23l

Pa1P22

即 a=0，a=l

32l3

12PP2

（2）M(x)=Fx qx=x x

232lPP2

M′(x)=0， x=0，x=

3l3

解（1）∑MC=0,Fa

Pl l Pl1P l

M = =

3332318l

l

M Pl

3 ==Pl

σmax=

Wbt236t2

6

2

5-8 ⊥型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力[σt]=40MPa，压缩许用应力[σc]=160MPa，截面对形心轴zC的惯性矩

IzC=10180cm4，h1 =9.64 cm，求该梁的许可载荷F。

(a)

(b)

解 MA=0.8F

σAc=

IzC[σc]10180×10 8×160×106

F≤==132.6kN 3

0.8h20.8×153.6×10MAh10.8Fh1

σAt==≤[σt]

IzCIzCIzC[σt]10180×10 8×40×106

F≤==52.8kN 3

0.8h10.8×96.4×10Mh0.6Fh2

σCt=C2=≤[σt]

IzCIzCIzC[σt]10180×10 8×40×106

F≤==44.3kN 3

0.6h20.8×153.6×10

比较以上结果得

[F]=44.3kN

MAh20.8Fh2

=≤[σc] IzCIzC

5-9 一铸铁梁如图a所示。已知材料的拉伸强度极限σb=150 MPa，压缩强度极限

σbc

=630 MPa。求梁的安全因数。

(a) (b)

解 弯矩图(b)。

求横截面形心主惯性轴Oz的位置，以下底边为参考轴有

b=

160×200×100 140×160×120

=53.2mm

160×200 160×140

11

×160×2003+160×200×(100 53.2)2 ×140×1603 1212

横截面对轴z的惯性矩

Iz=

140×160×(80 13.2)2=2.90×107mm4=2.90×10 5m4

（1）求可能危险截面C所需的安全因数nC。

截面C在正弯矩MC=12kN m作用下，上部受压，下部受拉，其中

ycmaxytmax

=

200 53.2

=2.76

53.2

σbc630

==4.20>2.76 σb150σCtmax=

MCytmax

Iz

≤[σt]=

(σb)t

nC

所以，截面C将由于拉应力先达到强度极限间破坏。因此强度条件是

Iz(σb)t2.90×10 5×150×106

==6.82 nC≤

MC ytmax12×103×0.0532

（2）求可能危险截面B，所需的安全系数nB。

截面B在负弯矩作用下，横截面上部受拉，下部受压，易知此截面因上部边缘最大拉应力先达到材料强度极限而破坏。因此，强度条件是

σB,t,max=

所以

MByB,t,max

Iz

≤[σt]=

(σb)t

nB

(σb)tIz150×106×2.90×10 5

=nB≤=3.70 3

8×10×0.147MByB,t,max

比较nB和nC，得此梁的安全系数为n≤3.70。

5-10 图(a)所示梁的截面由两个槽钢组成，跨度为l=3m，承受集中力偶M=7.5kN m，均布载荷q=5kN/m。若已知许用应力[σ]=120MPa，试选择槽钢的型号。

(a)

(b)

解 ∑MA=0,FB=10kN ↑； ∑Fy=0，FA=5kN ↑ FS=FA qx=0，x=1m Mmax=M(1)=M+FA×1

作弯矩图如图（b）所示。Mmax σmax=

()()

1

q×12=7.5+5 2.5=10kN m 2

=10kN m

Mmax

≤[σ] 2W

Mmax10×103 633

==41.67×10m W≥=41.67cm 6

2σ2×120×10

若选10号槽钢，W10=39.7cm3

Mmax10×103

σmax===125.9MPa

2W102×39.7×10 6

σ [σ]125.9 120 max=×100%=4.9%<5%

120σ误差在工程允许范围内，故可选10号槽钢。

5-11 图示结构中FB为圆杆，直径d=30mm，梁AE为T字形截面，尺寸如图，C为形心，截面惯性矩Iz=7.46×10

6

m4。材料的许用拉应力[σt]=40MPa，许用压应力

[σc]=60MPa。试校核该结构的强度。

(a)

(b)

解 ∑MB=0,FA=3kN ↑； ∑Fy=0，FB=11kN ↑ MD=FA×1=3kN m，MB= 4×1= 4kN m

作弯矩图（b）。 截面D

()()

MD3×103×88×10 3 3

σt=×88×10==35.4MPa<[σt] 6

Iz7.46×10

截面B

MB3×103×52×10 3 3

σt=×52×10==27.9MPa<[σt]

Iz7.46×10 6MB4×103×88×10 3 3

σc=×88×10==47.2MPa<[σc] 6

Iz7.46×10

结构强度满足。

5-12 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN，a=1.5m，

[σ]=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比

小直径d。

h

，以及梁所需木料的最b

解 由圆木锯成的矩形截面的弯曲截面系数

121b

bh=b(d2 b2)=(d2 b2) 666

dWzd2b2

=0，有 =0 将Wz对b求导，并令db62

d时，弯曲截面系数取得极大值。 因此当，b=3

Wz=

截面的高

h=截面的高宽比

当b=

1d2 b2=d2 d2=d

33

h

=b6d/3

= d/3

d时，求得 3

31b2132

d(d2 d2)=d Wz,max=(d b)=

273636

由题知梁AB的CD段处于纯弯曲状态，其

Mmax=Fa 由弯曲正应力的强度条件，有 σmax=

Mmax27Fa

=≤[σ] 3

Wz,maxd

d≥9Fa

σ=

9×5×103×1.5

σ=0.227m=227mm

由此可见，所需木材的最小直径为227mm。

5-13 当载荷F直接作用在跨长为l=6 m的简支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过

许可值30%。为了消除过载现象，配置了如图所示的辅助梁CD，求辅助梁的最小跨长a。

解 未配辅助梁时，梁AB的危险截面在跨中点，其最大弯矩 M1=

梁上的最大正应力

Fl 4

σ1=

M1Fl/4

= WzWz

当配置辅助梁后，由于结构与荷载对称，梁AB在C，D处分别承受集中荷载AB的CD段是处于纯弯曲状态，最大弯矩

M2=对应的最大正应力

F

，梁2

F1F

(l u)=(l a) 224

σ2=

据题意有σ2=[σ]，及

M2F(l a)/4= WzWz

σ1 σ2

×100%=30% σ2

将σ1,σ2的值代入，得

Fl/4F(l a)/4

WzWz

=0.3

Fl aWz

整理得

a=

0.3

l=0.231l=0.231×6=1.39m 1.3

因此，辅助梁应有的最小跨长为：1.39m。

5-14 图(a)所示No.30a工字梁承受均布载荷作用，跨度l=6m。已知许用应力[σ]=140MPa。为提高梁的承载能力，试确定外伸臂a的合理长度及相应的许可载荷。

D

12qa (a) ql2

8

(b)

解 用叠加法作弯矩图(b)。 根据题意应有

MC=MA=MB

将弯矩值代入上式得

121212ql qa=qa 822

求得

a=

2

l=×6=2.12m 44

梁的最大弯曲正应力表达式是

其中

σmax

MAqa2== Wz2Wz

Wz=402×10 6m3,σmax=140MPa

于是，得许可载荷集度

2Wzσmax2×402×10 6×140×106

q===25000N/m=25kN/m 22

a2.12

5-15 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布载荷作用，其横截面尺寸为

b,h,长度为l。

（1）试证明在离自由端为x处的横截面上切向内力元素τdA的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。

（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力τ′沿梁长

度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？

解 （1）假定切应力τ沿横截面宽度均匀分布，所以整个横截面切应力τ的合力沿对称轴y。

矩形截面切应力沿高度分布为

*FSSzFb3FS22

τ==S (h2 4y2)=(h 4y) 3

bIzbIz82bh

整个横截面的切应力构成的合力为

∫τdA=2b∫

A

h

20

τdy

h20

根据静力平衡有

3FS

(h2 4y2)dy=FS 3A2bh

我们知道x横截面上的剪力等于qx。所以τdA的合力等于该截面上剪力。

My

。整个截面的σdA对中性轴的矩是 正应力沿横截面高度分布为σ=Iz

MM2

ydA= Iz=M ∫AσydA=∫A

IzIz

qx=

∫τdA=2b∫

根据静力平衡

12

qx=∫AσydA=M 2

于是证得法向内力元素σdA的合力偶之矩等于该截面的弯矩。

（2）对此悬臂梁任意x截面的剪力

FS(x)=qx。

矩形截面的中性层处的横向剪应力

3FS3qx

=。 2bh2bh

根据切应力互等定律，得截开面上切应力τ沿梁长度的变化规律为

3qx

τ′=τ=2bh

τ=

其总的水平剪力

3qx3ql2

bdx=∫dx= FS′=∫τ′dA′=∫τ′

A′002h4h

水平剪力FS′由根部横截面下半部的正应力σ组成的x方向的合力来平衡。

l

l

5-16 一桥式起重机梁跨l=10.5m，横截面为36a工字钢。已知梁的许用应力[σ]=140MPa，电葫芦自重12 kN，当起吊重量为50 kN时，梁的强度不够。为满足正应力强度要求，在梁中段的上、下各焊一快钢板，如图。求加固钢板的最小长度

l0

。

(a)

(b)

解（1）不计梁重时，梁的受力如图（b）

P=(12+50)kN FA=

P

(l x) ，MC=FAx=Plx x2 ll

63

查型钢表 WC=875×10m

()

MCPlx x2

σC===[σ]

WClWC

10.5x x2=10.5×140×106×875×10 662×103)=20.75 x2 10.5x+20.75=0 x1=2.59m，x2=7.91m l0=x2 x1=5.22m

（2）校核加固部分强度

()

lx x2=l[σ]WCP

l Pl

=62×103×10.5=162.75kN m Mmax=M =

2 4

bh32 + Aa Iz=Iz1+2× 12

=1.58×10 4+2×(100×163×10 12+100×16×1882×10 12)=2.71×10 4m4

Mmax162.75×103×(180+16)×10 3

σmax=ymax==118MPa<[σ]，安全。 4

Iz2.71×10

5-17 简支梁由4块相同的木板胶合而成，尺寸如图。已知F=3kN，木材的许用正

应力[σ]=7MPa，胶合面的许用切应力

[

τ]=3MPa。试校核该梁的强度。

(a)

(b)

解∑MA=0,FB= Mmax

0.3

F=1.8kN，FSmax=1.8kN 0.5

=MC=FB×0.2=0.36kN m

Mmax0.36×103×6

σmax===6.75MPa<[σ] 2 9

W50×80×103FSmax3×1.8×103

==0.675MPa<[τ] τmax= 6

2A2×50×80×10

故强度满足。

5-18 由4块木板粘接而成的箱型截面梁，其横截面尺寸如图a。若已知某截面上沿铅

垂方向的剪力

FS=3.56kN，求粘接接缝A

，B两处的切应力。

(a) (b) (c)

解 Iz=

*SzA

1

(25+127)(25+229)3 (127 25)(229 25)3=1.354×108mm4 12127229=( 12.5)×25×=1.460×105mm3

22

[]

δIz

*53

SzB=76×25×114.5=2.176×10mm

**FSSzASzB

=0.154×*=0.229MPa τB=δIzSzA

τA=

*FQSzA

3.56×103×1.46×10 9==0.154MPa

25×1.354×10 7

横截面上切应力流走向如图c。

5-19 支承楼板的木梁可视为如图(b)所示简支梁，跨度为l=6m，两木梁间的距离

a=1m，楼板承受均布载荷p=3.5kN/m2。若木梁截面为矩形，宽高比为

b2

=，许用h3

正应力[

σ]=10MPa

，许用切应力[τ]=3MPa，试设计木梁的横截面尺寸。

（a） （b）

解 木梁受力图(b)，其中q=pa

ql1

=pal 22

l1l1

Mmax=FA q(2=pal2

22281

pal2

Mmax9pal2==≤[σ] σmax=3

W8hh h26

9pal29×3.5×103×1×62

==0.242m= 242 mm h≥8[σ]8×10×106

FA= 取h = 242 mm b=

2

h=161mm 3

5-20 工字钢截面外伸梁AC承受载荷如图所示，Me=40kN m，q=20kN/m。材料的许用弯曲正应力[σ]=170MPa，许用切应力[τ]=100MPa。试选择工字钢的型号。

40

A

解 支座约束力

∑MA=0

A

FB=

20×2×1 40

=0

3

M

∑Fy=0，FA=40kN

绘剪力图，弯矩图如右图所示。

FSmax=40kN，Mmax=40kN m

σmax=

Wz≥

Mmax

≤[σ] Wz

Mmax

σ40×103 43

==2.35×10m6

170×10

20a号工字钢的弯曲截面系数

Wz=2.37×10 4m3>2.35×10 4m3，满足正应力强度条件。

进而校核它是否满足切应力强度条件，其

*

Iz/Sz=0.172m,d=1.14×10 2m。 FSmax40×10362===20.4×10N/m=20.4MPa<100MPa * 2

Iz/Sz d0.172×1.14×10

τmax

满足切应力强度条件。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/akre.html