反比例函数拓展训练

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反比例函数拓展训练

1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y＝?1图象的大致形状是（ ） x

A B C D

2．(2009年牡丹江市)如图，点A、B是双曲线y?

3

上的点，分别经过A、B两点向x轴、x

y轴作垂线段，若S阴影?1则S1?S2? ． ，y A S1 S2 O B x

3．如图，A、B是函数y?2的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴， x△ABC的面积记为S，则(s= )．

4．如图，点A、B是函数y＝x与y?1的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥xx轴于D，则四边形ACBD的面积为( )．

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1

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10．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C＝90°，

点D在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．

11．如图，A、B两点在函数y?m(x?0)的图象上． x

(1)求m的值及直线AB的解析式；

(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数．

12．如图，已知点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C(0，1)，若△ABC的面积是3，则反比例函数的解析式为____________．

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2

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13．如图，直线y＝mx与双曲线y?k交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，x连结BM，若S△ABM＝2，则k的值是( )．

14．如图，双曲线y?k(k＞0)经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形xODBC的面积为3，则双曲线的解析式为( )．

15．如图，直线y＝kx＋b与反比例函数y?k(x＜0)的图象交于点A，B，与x轴交于点C，x其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4．

(1)试确定反比例函数的关系式； (2)求△AOC的面积．

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3

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16．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y?图象的两个交点．

m的x

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

m?0的解(请直接写出答案)； xm?0的解集(请直接写出答案)． (4)求不等式kx?b?x(3)求方程kx?b?

17．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y?k的图象交于点A(3，2)． x

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

(3)M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

18．如图，已知点A，B在双曲线y?k(x?0)上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，xAC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，求k的值．

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19（2010 山东济南）如图,已知直线y?的横坐标为4.

（1）求k的值； （2）若双曲线y?积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y?1kx与双曲线y?(k?0)交A，B两点，且点A2xk(k?0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面xk(k?0)于P，Q两点（P点在第一象限），x若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

20（2010 河北）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为 （4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于 点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；

y D A M B N C 图13 E O m（2）若反比例函数y?（x＞0）的图象经过点M，求该

x反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；

x （3）若反比例函数y?围．

m（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范．．x 青蓝教育集团

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21．（2010四川）一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=

（－1，n）两点。

m的图象交于点A（2，1），Bx（1）求反比例函数的解析式 （2）求一次例函数的解析式 （3）求△AOB的面积

y

A O D

C

x

B 图10

2. （2011广东东莞，6，4分）已知反比例函数y?

k? ．

k

的图象经过（1，－2）．则x

【答案】－2

3. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m，－2)在反比例函数y?则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是___________. 【答案】x≤-2或x>0

4. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=k(k≠0)图象上一点A，分x4的图像上，x别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 . 【答案】6或﹣6.

5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数

y＝（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧x2

作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴

2

x 青蓝教育集团

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的正半轴上，则点P3的坐标为

【答案】（3＋1，3－1）

6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt?ABO,AB?x轴于点B，斜边AO?10，sin?AOB?3k,反比例函数y?(x?0)的图像经过AO的5x中点C，且与AB交于点D,则点D的坐标为 .

yICDOBx（第15题） 3（8，）【答案】

27. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点A(1,y1),B(2,y2)是双曲线y?

“=”）. y1 y2（填“>”,“<”【答案】>

3

上的点，则 x

8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐

k标系中，B(2，0)，∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，

x在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.

（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是

.

（2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .

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【答案】（1）(4，0)；（2）4≤t≤25或－25≤t≤－4

9. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________.

y A 3 O1 图1 x【答案】y?

3

x

10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（3，3），AB⊥x轴，

k（k>0）的图象与线段OA、AB分别交于x5点C、D.若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x

4垂足为B，连接OA，反比例函数y=

轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）

【答案】相交

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11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数y?则m的取值范围是 ． 【答案】x＞1

m?1的图象在第一、三象限，x12. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数

y?2k(k?0)满足：当x?0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图x象与直线y??x?3k都经过点P，且OP?7，则实数k=_________.

7【答案】.

313. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y?k经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（4?22）的圆内切x于△ABC，则k的值为 ．

【答案】4

14. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数y?

k? ．

k

的图象经过（1，－2）．则x

【答案】－2

15. (2011江苏南京，15，2分)设函数y?11b），则?的值为__________．

ab1【答案】?

22与y?x?1的图象的交战坐标为（a，x16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数y?k（k是常数，k≠0）的图像x经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________．

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2【答案】y??

x17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_____．

kx

【答案】12

18. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A在双曲线y?且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．

y k上，AB⊥x轴于B，xB O A 第4题图

x

【答案】－4

19. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=

的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 。 【答案】k<-1 41x20．（2011湖南常德，3，3分）函数y?_______________. 【答案】x?3

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1中自变量x的取值范围是x?310

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21. （2011湖南永州，7，3分）若点P1(1，m)，P（n）在反比例函数y?(k?0)22，的图象上，则m_____n(填“＞”、“＜”或“=”号）． 【答案】＜

22. （2011内蒙古乌兰察布，17，4分）函数y1?x(x?0) , y2?9(x?0)的图xkx象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当x?3时，

y2?y1 ③ 当 x?1时， BC = 8 ④当 x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是＿ .

y

y1＝x

y2＝

9x x

第17题图

【答案】①③④

23. （2011广东中山，6,4分）已知反比例函数y?k? ．

k的图象经过（1，－2）．则x【答案】－2

24. （2011湖北鄂州，4，3分）如图：点A在双曲线y?且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．

y k上，AB⊥x轴于B，xB O A 第4题图

x

11

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【答案】－4

25. （2010湖北孝感，15，3分） 如图，点A在双曲线y?

y?3上， x1

上，点B在双曲线x

且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 .

【答案】2

26. （2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线y?2(x?0)经过四边形OABCx的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .

【答案】2 27. 三、解答题

1. （2011浙江省舟山，19，6分）如图，已知直线y??2x经过点P（?2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y?（k?0）的图象上． （1）求a的值；

（2）直接写出点P′的坐标； （3）求反比例函数的解析式．

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kx12

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y P 1O 1P?y?x k xy??2x （第19题）

【答案】（1）将P（-2，a）代入y??2x得a=-2×(-2)=4; (2) P′（2，4）

（3）将P′（2，4）代入y?得4=式为y?

8． x

k2（x?0）xkx

k，解得k=8，∴反比例函数的解析22. （2011安徽，21，12分）如图，函数y1?k1x?b的图象与函数y2?的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）．

（1）求函数y1的表达式和B点的坐标； （2）观察图象，比较当x?0时，y1与y2的大小.

y C B A O

x

?2k?b?1,?k??1,【答案】（1）由题意，得?1 解得?1 ∴ y1??x?3;

?b?3.?b?3. 青蓝教育集团

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又A点在函数y2?k2k2上，所以 1?2，解得k2?2, 所以y2?;

xx2?y??x?3,?x1?1?x2?2?解方程组? 得 , ． 2??y??y1?2?y2?1?x?所以点B的坐标为（1, 2）． （2）当x=1或x=2时，y1=y2；

当1＜x＜2时，y1＞y2；

当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2． 3. （2011广东广州市，23，12分）

已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例

k3

函数y = 的图象上，且sin∠BAC= ．

x5（1）求k的值和边AC的长； （2）求点B的坐标．

【答案】（1）把C（1，3）代入y = 得k=3 设斜边AB上的高为CD，则 sin∠BAC=

kxCD3= AC5

∵C（1，3） ∴CD=3，∴AC=5

（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有： AD=52－32=4，AO=4－1=3 ∵△ACD∽ABC ∴AC=AD·AB AC225∴AB==

AD4

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2

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∴OB=AB－AO=

2513－3= 44

13

，0） 4

此时B点坐标为（

y C y C B O D A x A O D B x

图1 图2 当点B在点A左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 OB= AB－AO=

255－5= 44

5

此时B点坐标为（－，0）

4所以点B的坐标为（

135

，0）或（－，0）． 44

k

，x

4. （2011山东菏泽，17（1），7分）已知一次函数y?x?2与反比例函数y?其中一次函数y?x?2的图象经过点P(k，5)． ①试确定反比例函数的表达式；

②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标

【答案】解：因一次函数y=x＋2的图象经过点P(k，5)， 所以得5=k＋2，解得k=3 所以反比例函数的表达式为y?

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3x15

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?y?x?2 （2）联立得方程组?3 ?y??x? 解得??x?1?x??3 或?

y??1y?3?? 故第三象限的交点Q的坐标为(－3，－1)

5. （2011山东济宁，20，7分）如图，正比例函数y?x的图象与反比例函数

y?k(k?0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，x12已知?OAM的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为

y 1，在x轴上求一点P，使PA?P最小.

A O M x

(第20题)

【答案】（1） 设A点的坐标为（a，b），则b?k.∴ab?k. a11∵ab?1,∴k?1.∴k?2.

222∴反比例函数的解析式为y?. ············ 3分

x?y???(2) 由??y???2?x?2,x 得? ∴A为（2，1）. ········ 4分 1?y?1.x2设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，?1）.

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令直线BC的解析式为y?mx?n.

?2?m?n,?m??3,∵B为（1，2）∴?∴?

??1?2m?n.?n?5.∴BC的解析式为y??3x?5. ·············· 6分

当y?0时，x?55.∴P点为（，0）.??????????7分 336. （2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，

12-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，

x若△OBM的面积为2。

（1）求一次函数和反比全例函数的表达式。

（2）在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

【答案】（1）∵直线y=k1x+b过A（0，-2），B（1，0）

???b=-2?b=-2?∴ ∴? ?k1+b=0?k1=2??

∴一次函数的表达式为y=2x-2 设M（m,n），作MD⊥x轴于点D ∵S△OBM=2

11∴OB·MD=2 ∴n=2 22∴n=4

将M（m，4）代入y=2x-2得：4=2m-2 ∴m=3

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∵4= ∴k2=12

k23所以反比例函数的表达式为y=

12 x(2)过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P ∵MD⊥BP ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO ∴tan∠PMD= tan∠MBD= tan∠ABO=OA2==2 OB1

∴在Rt△PDM中，

PD=2 ∴PD=2MD=8 MD∴PO=OD+PD=11

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0） 7. （2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数y1?k1（k1＞0）与一次x函数y2?k2x?1(k2?0)相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .

（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？

【答案】解（1）在Rt△OAC中，设OC＝m. ∵tan∠AOC＝

AC＝2， OC∴AC＝2×OC＝2m.

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∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1， ∴m2＝1

∴m＝1（负值舍去）. ∴A点的坐标为（1，2）. 把A点的坐标代入y1?k1中，得 x1212k1＝2.

∴反比例函数的表达式为y1?. 把A点的坐标代入y2?k2x?1中，得

2xk2＋1＝2， ∴k2＝1.

∴一次函数的表达式y2?x?1. （2）B点的坐标为（－2，－1）. 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.

8. （2011浙江省，18，8分）若反比例函数y?都经过点A（a,2）

k的解析式； xk(2) 当反比例函数y?的值大于一次函数y?2x?4的值时，求自变量x的

xk与一次函数y?2x?4的图象x(1)求反比例函数y?取值范围．

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【答案】(1)∵ y?2x?4的图象过点A（a,2） ∴ a=3

y?

6k

y?x过点A（3,2） ∴ k=6 ∴x

y?kx与一次函数y?2x?4的图象的交点坐标，得到方

∵

(2) 求反比例函数程：

2x?4?6x 解得：x1= 3 , x2= -1

∴ 另外一个交点是（-1，-6）

6?2x?4 x∴ 当x<-1或0

9. （2011浙江义乌，22，10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数

k1xy= （k>0）的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 .

k（2）点C（x，y）在反比例函数xy= 的图象上，求当1≤x≤3时函数值yk的取值范围； x（1）求k和m的值；

（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.

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O

A B

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【答案】（1）∵A(2，m) ∴OB=2 AB=m ∴S△AOB=

1111?OB?AB=×2×m= ∴m= 222211k1k∴点A的坐标为（2，） 把A（2，）代入y=，得=

22x22∴k=1

1 （2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=

31 又 ∵反比例函数y=在x>0时，y随x的增大而减小，

x1∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1。

3（3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为22。

10．（2011四川重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝

m (m≠0)的图象交于二、四象限内x的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x4

轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．

5(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC的面积．

4

【答案】(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝ ，OA＝5，

5∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝

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ADAD4 ＝＝ ， AO55

21

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∴AD＝4，DO＝OA2-DA2=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)， mm

将A的坐标为(－3，4)代入y＝ ，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的

x-3解析式为y＝－

12

， x

1212的图象上，∴n＝－＝－2，点B的坐标为(6，x6

∵点B在反比例函数y＝－

－2)，∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过A、B两点，

??k＝－，?－3k＋b=4，

3 ∴?，∴?

6k＋b＝－2???

?

2

? b＝2

2

∴该一次函数解析式为y＝－x＋2．

3

22

(2)在y＝－x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3，

33∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4，

11

∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6．

22

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