多刚体系统的碰撞理论及应用（修复的）

多刚体系统的碰撞理论及应用现状

一、多体系统碰撞动力学建模理论

多体系统碰撞力学从力学本质上是一种非定常、变边界的高度非线性动力学过程，其中对碰撞过程的正确处理是解决多体接触碰撞动力学问题的关键。按照对碰撞过程假设的不同，可以将其建模方法分为以下3种类型:冲量动量法，连续碰撞力模型，基于连续介质力学的有限元方法。文献[1]对它们各自在理论建模和数值方法方面的优势和局限性进行了讨论。

碰撞问题作为持续时间很短的瞬态动力学过程，对于实验装置的响应速度要求很高。常用的碰撞测量传感器主要有应变传感器、压电传感器、激光传感器和高速摄影机。 二、具有摩擦的刚体碰撞

刚体碰撞是力学上的一个经典问题,但目前大都采用给定恢复系数进行分析的方法，文献[2]则直接从两刚体碰撞时Newton第二定律出发，建立了计及摩擦的两刚体碰撞基本理论。对于具有摩擦的刚体碰撞，两刚体接触点切线方向受到摩擦力的作用，影响了碰撞结果，而两刚体切线方向的运动状态(称碰撞状态)又与刚体质量分布、摩擦系数和初始接触状态等有关，呈现出多样性。具有摩擦的刚体碰撞过程两刚体在接触点的相对运动可分为单向滑动(Sliding)，反向滑动(Reversed sliding)和粘滞(Sticking)这三种现象。 1、两个刚体不受外力自由地运动,在某一瞬间发生碰撞,如图1所示。

假定：（1）假定在接触点,法线方向作用压缩力,切线方向作用摩擦力,且接触点不传递力矩；

（2）在碰撞过程中,碰撞接触时间极短,在碰撞过程中,刚体1和2的惯性矩阵以及雅可比矩阵可视为一定；

（3）是2维平面碰撞问题,其运动只在n和t构成的平面内产生。在接触点,刚体2作用刚体1的力的切向成分,滑动时按照库仑摩擦定律(干摩擦)。

在这3点假设的基础上，可以得到接触点的相对速度、两个刚体的相对运动和碰撞接触时的力传递模型和基本关系式。

2、碰撞状态的分类判别法、冲量和恢复系数

碰撞过程中,切线方向的相对运动如图2所示，能分成三类:单向滑动碰撞，其相对滑动方向在碰撞过程中是一定的不变的；反向滑动碰撞，其切向相对滑动速度减小，在时刻成为

零,其后相对速度方向相反运动；粘滞碰撞,其切向相对速度减小至零后不变，两刚体粘滞在一起，直至碰撞结束分开为止。

这三种碰撞状态可根据相关参数进行判断，总结碰撞状态的充分必要条件,可形成相应的碰撞状态分类法如表1所示。

三、偏心碰撞的能量损耗

碰撞可分为两大类：一类为对心碰撞，用质点模型就可以分析讨论。碰撞过程中的能量损耗也可以借助恢系数等方法简单表示出来；另一类为偏心碰撞，须用刚体模型，而偏心碰撞中的能量损耗的计算则比对心碰撞繁杂一些。在沿公切向和公法向的冲量及冲量矩的作用下，系统原来公切向自由度上的动能和公法向自由度上的动能都可能出现转移和耗散，除了一部分仍为物体系的平动自由度动能外，一部分转移为物体系的转动自由度动能，同时还有能量耗散（即：向物体内部自由度转移）。文献[3]通过对几例典型的偏心碰转的能量损耗给出有关的计算结果，然后在与对心碰撞的比照中归纳出相关的结论。

对心碰撞时损失的动能 相应偏心碰撞时损失的动能

四、有摩擦且滑动反向的刚体偏心碰撞中的能量损失

Stronge及Brach认为:当有摩擦的刚体偏心碰撞存在滑动反向(即速度方向突变)及在较大的恢复系数()情况下，会产生碰撞后系统能量增加的现象。Stronge并认为，这是牛顿碰撞定律本身存在的缺陷所致。进而Stronge提出了一个能量恢复系数的新概念。它的定义是:能量恢复系数的平方()为恢复阶段系统释放的弹性能对压缩阶段系统吸收的能量之比。并声称:这一新的理论将消除与能量守恒定律不统一的矛盾。Stronge得到这一结论的重要根据之一是:滑动反向前后，接触点处的速度(法向速度()或切向速度())与法向冲量()之间的关系是同一线性关系。但Stronge没有指出:速度方向突变的转披点(即滑动反向发生的时刻)如何求得，以及它与初始运动条件、物体的几何参数及摩擦系数之间的关系。而没有速度方向变化转挟点的求得，则滑动反向后的速度分布是很难确定的。在牛顿碰撞定律的基础上以及按作者提出的计算方法，文献[4]得到的滑动反向前后的速度关系线是不同的。它不是同一线性关系。在这个基础上，文献[4]推得的能量损失表达式表明:碰撞后系统不会出现负的能量损失(即能量增加)。但是，存在一临界摩擦系数()，摩擦系数()超过此临界值，将导致错误的结果:即随着的增大，系统的能量损失反而增加。这是荒谬的。但不会出现负的能量损失。的意义亦很清楚:当>时，实际上滑动反向不再存在，而是属于单向滑动或停止。

(停止即是指碰撞结束两物分离时，接触点处相对切向速度为零的情况。) 五、三维含摩擦多刚体碰撞问题的数值计算方法

由于三维含摩擦刚体碰撞问题的碰撞动力学方程通常很难得到封闭形式的解析解，因此寻求其有效的数值算法是可以作为研究的一个目标。文献[5] 基于Lagrange方法和Keller处理空间的两个刚体碰撞问题的思路，将多刚体系统单点碰撞问题描述为以法向冲量为独立变量的碰撞动力学方程，建立了处理空间多刚体系统碰撞问题有效的数值方法。利用搜索法给出了接触点切向速度流从黏滞点出发的方向。这种方法是建立在Bhatt和Koechling对黏滞点的奇异性研究的基础上的。然后，文献[5]利用两个算例表明了切向运动随法向冲量变化的演化过程。

六、多体系统碰撞动力学面临的新挑战

[1]

(l)刚体假定条件卜计及库仑干摩擦时，多体系统发生多点碰撞引起的数值和能量不协调问题及相互铰接情况下刚体碰撞假定的适应范围问题；

(2)连续碰撞力公式的合理选用和参数确定问题；

(3)从碰撞动力学机理出发，建立能够描述碰撞过程弹塑性变形、波传播等复杂现象的柔性多体碰撞动力学理论，完善与之适应的数值算法和建模仿真技术；

(4) 分析碰撞对变拓扑多体系统控制策略的鲁棒性和稳定性的影响，探索相关的最优控制策略，为多体系统非光滑变拓扑过程设计有效的控制策略。 七、参考文献

[1] 董富祥,洪嘉振. 多体系统动力学碰撞问题研究综述[J]. 力学进展,2009,39(3):352~358 [2] 郭吉丰,升谷保博,宫崎文夫. 具有摩擦的刚体碰撞[J]. 应用力学学报,2004,21(2) [3] 孙安媛，燕安,黄培天,王祖俭. 偏心碰撞的能量损耗[J]. 南方冶金学院学报,2002,23(4) [4] 肖麟玉. 有摩擦且滑动反向的刚体偏心碰撞中的能量损失[J]. 上海铁道大学学报(自然科学版),1997,18(2)

[5] 赵振,刘才山,陈滨. 三维含摩擦多刚体碰撞问题的数值计算方法[J]. 中国科学G辑,2006,36(1):72~88

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