高考数学导数小题练习集（二）

2018年高考数学导数小题练习集（二）

e2x2?1e2x,g(x)?x，对任意x1,x2∈（0，+∞），不等式1.设函数f(x)?xeg(x1)f(x2)恒成立，则正数k的取值范围是（ ） ?kk?1A．[1，+∞） C．

1[,??)2e?1

B．（1，+∞） D．

1(,??)2e?1

?a.b?上可找到n个不同

2.函数y?f(x)的图象如图所示，在区间

f(x0)?f?(x0)的数x0，使得x0，那么n? （ ）

B．2

C．3

D．4

A．1

3.已知f(x)是函数f(x)，(x?R)的导数，满足f(x)=﹣f(x)，且f?0?=2，设函数

''g?x??f?x??lnf3?x?的一个零点为x0，则以下正确的是（ ）

A．C．

4.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f(x)?g(x),则f(x)与g(x)满足（ ） A．f(x)?g(x)

B．f(x)?g(x)为常数函数

''x0∈（﹣4，﹣3） x0∈（﹣2，﹣1）

B．D．

x0∈（﹣3，﹣2） x0∈（﹣1，0）

C．f(x)?g(x)?0 D．f(x)?g(x)为常数函数

''5.设函数f(x)，g(x)在?a,b?上均可导，且f?x??g?x?，则当a?x?b时，有（ ） A．f(x)＞g(x)

B．f(x)＜g(x)

C．f(x)+g?a?＜g(x)+f?a?

D．f(x)+g?b?＜g(x)+f?b?

/6.设f0(x)?cosx，f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1/(x)，……，fn?1(x)?fn(x)，

/ (n∈N)，则f2011(x) =（ ）.

A. sinx

B. ?sinx C. cosx

D. ?cosx

32f(x)?x?bx?cx?d的大致图7.如图所示的曲线是函数22x?x12象，则等于（ ）

x1

8 A.9

10B．9 5D．4

16C． 9

8.若两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线相同，就说明这两个函数有why

x?m??gx?e点，已知函数f?x??lnx和有why点，则m所在的区间为（ ）

A．（﹣3，﹣e） C．（?

B．（﹣e，?D．（?21） 8

2113，?） 862

13，﹣2） 69.如图所示，曲线y?x?1，x?2,x?0,y=0围成的阴影部分的面积为（ ） A．C．

??10.已知f(x)是奇函数f(x)的导函数，f(?1)?0，当x?0时，xf(x)?f(x)?0，则使得

??202|x2?1|dx

(x?1)dx

2B．|D．

?020(x2?1)dx|

20?(x1?1)dx??(1?x2)dx12

f(x)?0成立的x的取值范围是（ ）

A．(??,?1)(0,1) C．(?1,0)(0,1)

B．(?1,0)(1,??) D．(??,?1)(1,??)

11.设函数f(x)?x?2x,若f(x?1)?f(y?1)?f(x)?f(y)?0,则点P(x,y)所形成的区域的面积为 ( ) A.

24?3? 32B.

4?3? 32C.

2?3? 32D.

2?3? 3212.设函数f?x?是定义在???,0?上的可导函数，其导函数为f'?x?，且有

2f?x??xf'?x??x2，则不等式?x?2014?f?x?2014??4f??2??0的解集为

2A．???,?2012?

3B．??2012,0?

22C．???,?2016? D．??2016,0?

13.已知函数f?x??x?ax?bx?a在x?1处有极值10，则f?2?等于（ ） A．11或18

14.若函数f?x??lnx?x?ax?a?1为?0,???上的增函数，则实数a的取值范围是（）

2 B．11 C．18 D．17或18

A．(﹣∞，22]

15.给出以下命题： ⑴若

B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）

?baf(x)dx?0，则f(x)>0； ⑵?2?0sinxdx?4;

⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则

?a0f(x)dx??a?TTf(x)dx；

其中正确命题的个数为( ) A．1 B.2 C.3 D.0

16.已知f（x）为定义域为R的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，?x∈R都有f'（x）＞f（x），则不等式f（x）＜ex的解集为（ ） A．（﹣∞，1）

17.函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），则下列说法不正确的命题个数是（ ） ①当a＜0时，函数y=f（x）有零点； ②若函数y=f（x）有零点，则a＜0； ③存在a＞0，函数y=f（x）有唯一的零点； ④若a≤1，则函数y=f（x）有唯一的零点． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

B．（﹣∞，0）

C．（0，+∞）

D．（1，+∞）

?????3，?18.已知函数f(x)的定义域为，且f(6)?2．f(x)为

f(x)的导函数，f?(x)的图像如右图所示．若正数a,b满足

b?3f(2a?b)?2，则a?2的取值范围是（ ）

3(??,?)(3,??)2 A．

9(?,3) B．2

9(??,?)(3,??)2 C．

?3???,3?D．?2?

19.函数f(x)是定义域为R的函数，对任意实数x都有f(x)?f(2?x)成立．若当x?1时，不等式(x?1)?4b?f()f?(x)?0成立，设a?f(0.5)，3，c?f(3)，则a，

D．a?c?b

b，c的大小关系是 （ ）

A．b?a?c 20.记

B．a?b?c

C．c?b?a

f(1)(x)?[f(x)]'，

f(2)(x)?[f(1)(x)]'，…，

f(n)(x)?[f(n?1)(x)]'

(n?N?,n?2)．若f(x)?xcosx，则f(0)?f(1)(0)?f(2)(0)???f(2012)(0)的值为

（ ）

A．1006

3B．2012

2C．?2012 D． ?1006

21.若点P在曲线y?x?3x?3?3x?角α的取值范围是（ ） A．[0，C．[

22.设函数f?x??） ，π）

??3上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则4B．[0，D．[0，

）∪[）∪（

，π） ，

]

3cos?3sin?21????x?x?，其中θ∈??,?，则导数f′（1）的64tan??22?取值范围是（ ） A．（﹣，1]

23.已知函数f?x??ax?bx?cx?d的图象如图所示， y 32B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣，]

则 （ ）

A. b????,0? B. b??0,1? C. b??1,2?

24.过点P(2,?2)且与曲线y?3x?x相切的直线方程是（ ） 3D. b??2,???

A.y??9x?16 C.y??2

B.y?9x?20

D.y??9x?16或y??2

25.已知函数

f?x???x?x1??x?x2??x?x3?（其中

x1?x2?x3），

g?x??3x?s?i2xn?1?，且函数f?x?的两个极值点为?,??????．设

x?xx?x??12,u?23，则

22A．C．

26.设f?a??A.

27.已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)?f(5?x),(?x)f'(x)?0若x1?x2,x1?x2?5，则下列结论中正确的是（ ）

A．f(x1)?f(x2) B．f(x1)?f(x2)?0 C．f(x1)?f(x2)?0

28.已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（ ）

A．f（cosA）＜f（cosB） C．f（sinA）＞f（sinB）

29.如果函数f?x??

B．f（sinA）＜f（cosB） D．f（sinA）＞f（cosB）

D． f(x1)?f(x2)

1

B．D．

?0x2?a2dx，当a?0时，f?a?的最小值是（ ）

B.

2 31 4

C.?1 3 D.无最小值

5213x?a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）3|≤1恒成立，则a的取值范围是（ ） A．C．

?2

B．D．

30．若n?A．8

?0?2?????y?2sin?x??dx，则???的展开式中常数项为（ ） y4????

B．16

C．24

D．60

n

【解答】解：设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0）， 函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=

，

g（x）=ex+m有的导数为g′（x）=ex+m， 即有

=ea+m，lna=ea+m，

即为alna=1，

令h（a）=alna﹣1，可得h（即有

＜a＜2，

）∈（﹣

，﹣

），而﹣

＞﹣

，

）=

ln

﹣1＜0，h（2）=2ln2﹣1＞0，

则m=﹣lna﹣a=﹣（a+故选C．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，解题的关键是分离参数，确定函数的单调性，属于中档题． 9.A 10.B

f(x)??xf?(x)?f(x)?∵?，x?0时，xf?(x)?f(x)?0， ??2x?x?∴当x?0时，

f(x)f(x)为增函数，x?0时，为减函数， xx∵f(x)有奇函数， ∴

f(x)为偶函数， x∵f(?1)?0， ∴f(1)?0．

画出大致图象可得到f(x)?0时x?(?1,0)(1,??)． 11.D

12.

：由

，则当

，时，

得：

，即

在

，即

是减函数，

，令

，

，

，

在是减函数，所以由，故选

得，，即

13.C

【考点】函数在某点取得极值的条件．

【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．

2

【解答】解：f′（x）=3x+2ax+b，

∴或

①当

2

时，f′（x）=3（x﹣1）≥0，∴在x=1处不存在极值；

②当∴x∈（∴故选C． 14. A

2

时，f′（x）=3x+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）

，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意． ，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

2

【分析】由函数f（x）=lnx+x﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，可得：f′（x）=+2x﹣

a≥0，化为：a≤+2x=g（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：f′（x）=+2x﹣a，

∵函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数， ∴f′（x）=+2x﹣a≥0，化为：a≤+2x=g（x），

g′（x）=2﹣==，

可知：x=时，函数g（x）取得极小值即最小值，

．

=2．

则实数a的取值范围是a≤2故选：A． 15.B 略 16. A

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据题意，令g（x）=

，结合题意对其求导分析可得g′（x）＞0，即函数g

=1，而不等式f（x）＜ex可以

（x）在R上为增函数，又由f（1）=e，可得g（e）=

转化为g（x）＜g（1），结合函数g（x）的单调性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，令

g（x）=

，其导数

g′（x）

==，

又由，?x∈R都有f'（x）＞f（x），则有g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数， 若f（1）=e，则g（e）=f（x）＜ex?

=1，

＜1?g（x）＜g（1），

又由函数g（x）在R上为增函数，

x

则有x＜1，即不等式f（x）＜e的解集为（﹣∞，1）；

故选：A． 17.B

【考点】利用导数研究函数的单调性；命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．

【分析】先将函数进行参变量分离，得到2a=，令g（x）=，转化成y=2a与

y=g（x）的图象的交点个数，利用导数得到函数的单调性，结合函数的图象可得结论．

22

【解答】解：令f（x）=x﹣2ax﹣2alnx=0，则2a（x+lnx）=x，

∴2a=，令g（x）=，

则g′（x）==

令h（x）=x+lnx，通过作出两个函数y=lnx及y=﹣x的图象（如右图） 发现h（x）有唯一零点在（0，1）上，

设这个零点为x0，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上单调递减，x=x0是渐近线，

当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（x0，1）上单调递减， 当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增， ∴g（1）=1，可以作出g（x）=

的大致图象，

结合图象可知，当a＜0时，y=2a与y=g（x）的图象只有一个交点， 则函数y=f（x）只有一个零点，故①正确；

若函数y=f（x）有零点，则a＜0或a≥，故②不正确； 存在a=＞0，函数y=f（x）有唯一零点，故③正确；

若函数y=f（x）有唯一零点，则a＜0，或a=，则a≤1，故④正确． 故选：B．

18.A 略 19.A

因为对任意实数x都有f(x)?f(2?x)成立，所以函数的图象关于x?1对称，又由于若

?当x?1时，不等式(x?1)?f(x)?0成立，所以函数在?1,???上单调递减，所以

4b?f()3?3?a?f?0.5??f????f?3?

?2?20.D 21.B

【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．

【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．

2

【解答】解：∵函数的导数y′=3x﹣6x+3﹣

=3（x﹣1）2﹣

≥﹣，

∴tanα≥﹣∴0≤α＜故选 B． 22.A

，又 0≤α＜π， 或

≤α＜π，

【考点】63：导数的运算． 【分析】求导，当x=1时，f′（1）=），即可求得θ+的取值范围． 【解答】解：f（x）=f′（1）=

+

x3+=sin（θ+

x2+），

，f′（x）=

x2+

x，

∈（﹣

，

+

=sin（θ+

），由θ∈（﹣

，

），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）

由θ∈（﹣则sin（θ+

，），则θ+∈（﹣，），

）∈（﹣，1]，

∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]， 故选A．

23.A

24.D

3设点(a,b)是曲线上的任意一点，则有b?3a?a。导数y'?3?3x则切线斜率

2k?3?3a2，所以切线方程

2y?(3?2a3x?)a2?(3a?3b?)为

y?b?(3?3a2)(x?a)2，即

?a(33x?3，a)?整a3?理

a得?3a3y?(3?3a2)x?2a3，将点P(2,?2)代入得?2?2(3?3a2)?a23?a23?a6?，6即a3?3a2?4?0，即a3?1?3a2?3?(a3?1)?3(a2?1)?0，整理得(a?1)(a?2)2?0.

25.

D

26.B 27.D 略 28.D

【考点】函数的单调性与导数的关系．

【分析】根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减， 由△ABC为锐角三角形，得A+B单调性判断．

【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，

∵△ABC为锐角三角形，∴A+B∴0＜sin（

，0

﹣B＜A

，

，0

﹣B＜A

，再根据正弦函数，f（x）

﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1

﹣B）），

f（sinA）＞f（sin（

即f（sinA）＞f（cosB） 故选；D

【点评】本题考查了导数的运用，三角函数，的单调性，综合性较大，属于中档题． 29.A

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】由题意函数f（x2）|≤1恒成立，必有函数

满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）﹣

满足其最大值与最小值的差小于等于1，

由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函数的导数，用导数判断出最值，求出最大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值

22

【解答】解：由题意f′（x）=x﹣a

2

当a≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f（0）

=0，最小值为f（1）=﹣a2，故有

，解得|a|≤，故可得﹣≤a≤ 又

2

当a∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上增，在[a，1]上减，故最大值为f（a）=

f（0）=0，矛盾，a∈[0，1]不成立， 故选A． 30.C

【考点】DB：二项式系数的性质．

【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．

【分析】求定积分可得n的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于零求得r的值，可得展开式中常数项． 【解答】解：

=2（sinx+cosx）dx

=2（﹣cosx+sinx）=2（﹣cos=4， ∴

+cos0+sin

﹣sin0）

的通项公式为Tr+1=

?2r?y4﹣2r，

令4﹣2r=0，可得r=2，

∴二项式故选：C． 31.A 略 32.B 33.D

展开式中常数项是

?22=24．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，

设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数

值，即可得到b的最大值．

【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a， 函数g（x）的导数为

，

，运用导数求出单调区间和极值、最

由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），

则，

由于x0＞0，a＞0 则x0=a，因此构造函数

由h'（t）=2t（1﹣3lnt）， 当递减， 则故选D． 34.D

即为实数b的最大值．

时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当

时，h'（t）＜0即h（t）单调

，

22由题，A(x1,x1),B(x2,x2)，f?(x)?2x，则过A,B两点的切线斜率

1k1?2x1，k2?2x2，又切线互相垂直，所以k1k2??1，即x1x2??.两

422条切线方程分别为l1:y?2x1x?x1,l2:y?2x2x?x2，联立得

(x1?x2)[2x?(x1?x2)]?0，∵x1?x2，∴x?x1?x2，代入l1，解得 2y?x1x2??35.

14，故选D．

【知识点】导数的应用；构造函数法.B12

f?x?f??x?cosx?f?x?sinx?【答案解析】D 解析：设g?x??，则g?x??，

cosxcos2x因为y?f(x)对任意的x?(???,)满足f'(x)cosx?f(x)sinx?0，所以g??x??0在 22x?(????????,)上恒成立，所以g?x?是(?,)上的增函数，所以g?0??g??，即 2222?3?f(0)?2f().故选D.

3【思路点拨】根据已知条件，构造函数g?x???f?x?，利用导数确定函数在cosxg?x?(?36.C

??,)上的单调性，从而得到正确选项. 22【考点】定积分． 【分析】由函数图象得值．

【解答】解：∵函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC， ∴∴=（﹣

﹣x）

=+（

）

，

，由此能求出

的

=（﹣=0．

）+（）

故选：C．

37.A

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据题意可设f（x）=

，然后代入计算判断即可．

【解答】解：∵f（x）+2f′（x）＞0， 可设f（x）=∴f（1）=∴f（1）＞故选：A． 38.B 略 39.D

【考点】利用导数研究函数的极值．

x

【分析】先求f′（x）=2esinx，这样即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f为f（x）π2π

的极大值，并且构成以e为首项，e为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f

，

0

，f（0）=e=1，

，

（x）的各极大值之和即可．

x

【解答】解：：∵函数f（x）=e（sinx﹣cosx），

∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx； 令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；

∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增， 当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减； ∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值， 此时f（2kπ+π）=e

2kπ+π

[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；

又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是极值点，

∴函数f（x）的各极大值之和为： eπ+e3π+e5π+…+e2015π=故选：D． 40.B

【考点】利用导数研究函数的单调性．

3

【分析】构造函数h（x）=xf（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即

，

可．

3

【解答】解：令h（x）=xf（x）﹣2x， 2

则h′（x）=x[3xf（x）+xf'（x）﹣2]，

2

若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+xf'（x）＜2，

则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立， 故h（x）在[0，+∞）递减，

33

若xf（x）+xf（﹣x）=0，

则h（x）=h（﹣x），

则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，

32

不等式xf（x）﹣8f（2）＜x﹣4， 32

即不等式xf（x）﹣x＜8f（2）﹣4，

即h（x）＜h（2），

故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：B．

【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．

41.答案：C

42.C

【考点】利用导数研究函数的单调性．

2

【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调

性，然后推出不等式得到结果．

2

【解答】解：∵f（x）=2x﹣f（﹣x），

∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，

设g（x）=f（x）﹣x，则g（x）+g（﹣x）=0， ∴函数g（x）为奇函数．

2

∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x， g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，

故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数， 故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数， 若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，

22

则f（m+2）﹣（m+2）≤f（﹣m）﹣m，

即g（m+2）＜g（﹣m）， ∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1， 故选：C． 43.B

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．

【分析】令y=xe，则y'=（1+x）e，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe图象，

x2

利用图象变换得f（x）=|xe|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m﹣tm+1=0两

x

x

x

根分别在

x

，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．

x

【解答】解：令y=xe，则y'=（1+x）e，由y'=0，得x=﹣1， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减， 当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函

x

数y单调递增．作出y=xe图象，

x

利用图象变换得f（x）=|xe|图象（如图10），

令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m﹣tm+1=0 两根分别在

满足g（x）=﹣1的x有4个，由

．

时（如图11），

，

2

解得故选：B．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用． 44.D

【考点】函数恒成立问题．

【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥范围．

【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴函数f（x）为偶函数，

∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减， ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立， 即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立． ∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立， 即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立， 即2m≥令g（x）=

max=

且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的

且2m≤对x∈[1，3]恒成立．

，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）

，则 g′（x）=

．

，h′（x）=，

]．

＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=

．

令h（x）=综上所述，m∈[故选D．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题． 45.B

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】分别求出x≤0时，x＞0时，函数f（x）的值域，再由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0），即为

+a=（x0﹣1）3+1有解，运用参数分离和构造函数，求出导数，判

断符号，可得单调性，即可得到f（x）的值域，再由不等式恒成立思想，可得b的范围．

【解答】解：函数f（x）=当x≤0时，f（x）=

+a≥a；

，

3

当x＞0时，f（x）=（x﹣1）+1递增，可得f（x）＞0．

由?x0∈[2，+∞）使得f（﹣x0）=f（x0）， 即为

+a=（x0﹣1）3+1有解，

，

，x0∈[2，+∞），

＞0在x0∈[2，+∞）恒成立，

3

即为a=（x0﹣1）+1﹣3

由y=（x0﹣1）+1﹣

导数为3（x0﹣1）﹣

2

即为函数y在x0∈[2，+∞）递增， 即有a≥2﹣

＞0，

则函数f（x）的值域为（0，+∞）． 由任意的x∈R，f（x）＞b恒成立， 可得b≤0． 故选：B． 46.D

【考点】KE：曲线与方程．

【分析】求出y0的范围，证明f（y0）=y0，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围． 【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴显然f（x）=

是增函数，

的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e，

（1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾； （2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾； ∴f（y0）=y0，

∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解， 由f（x）=x得m=x﹣x﹣lnx，

2

令g（x）=x﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，

2

则g′（x）=2x﹣1﹣=∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，

=，

∴g（x）在[1，e]上单调递增，

∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1， ∴0≤m≤e2﹣e﹣1． 故选D．

【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题． 47.B

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】推出f'（x）的表达式，当x=2时，f（2）=

，构造辅助函数，求导，由g′

（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．

23x

【解答】解：由2xf（x）+xf'（x）=e，

当x＞0时，

故此等式可化为：f'（x）=

，且当x=2时，f（2）=

，

f'（2）==0，

22

令g（x）=e﹣2xf（x），g（2）=0， 222

求导g′（x）=e﹣2[xf′（x）+2xf（x）]=e﹣

=（x﹣2），

当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0， 则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增， g（z）的最小值为g（2）=0， 则f'（x）≥0恒成立， ∴f（x）的最小值f（2）=故选：B． 48.A

【考点】3T：函数的值． 【分析】令F（x）=

，令G（x）=

，根据函数的单调性分别求出F（x）的最小

，

值和G（x）的最大值，求出a的范围即可．

【解答】解：由??＜a＜，

令F（x）=，则F′（x）=＜0对x∈（1，2）成立，

∴F（x）在（1，2）递减， ∴F（x）min=F（2）=ln2， 令G（x）=

，则G′（x）=

＞0对x∈（1，2）成立，

∴G（x）在（1，2）上递增， ∴G（x）max=G（2）=

，

若存在x0∈（1，2），使得f（x0）g（x0）＜0， 则ln2＜a＜故选：A． 49.D

【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

【分析】将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可． 【解答】解：当x＞0时，f（x）=

，函数的导数f′（x）=

=

，

时，满足题意，

当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x=1时 函数取得极小值f（1）=e，

当x＜0时，f（x）=﹣＞0恒成立， 此时函数为增函数，

作出函数f（x）的图象如图：

设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根， 当t=e时，t=f（x）有2个根 当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根， 当t≤0时，t=f（x）有0个根，

，函数的导数f′（x）=﹣

=﹣

，此时f′（x）

则f（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根，

2

等价为t﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2个相异的实数根，

2

其中0＜t＜e，t＞e， 设h（t）=t﹣2at+a﹣1，

2

则，即，即，

即a＞，

即实数a的取值范围是（故选：D

，+∞），

50.C

【考点】2H：全称命题．

【分析】由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k；

构造函数H（x）=f（x）+kg（x），利用导数H'（x）判断H（x）的单调性， 求出H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出k的取值范围． 【解答】解：由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立， 等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k①； 设函数H（x）=f（x）+kg（x），

x

则H'（x）=（x+1）（e+2k）； x

（1）设k=0，此时H'（x）=e（x+1），

当x＜﹣1时H'（x）＜0， 当x＞﹣1时H'（x）＞0，

故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增， 故H（x）≥H（﹣1）=﹣e﹣；

1

而当x=﹣1时h（x）取得最大值2，并且﹣e﹣＜2，

1

故①式不恒成立； （2）设k＜0，注意到

，

，故①式不恒成立；

x

（3）设k＞0，H'（x）=（x+1）（e+2k），

此时当x＜﹣1时H'（x）＜0， 当x＞﹣1时H'（x）＞0，

故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增， 故

；

而当x=﹣1时h（x）max=2，故若使①式恒成立， 则解得

． ，

【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/akgo.html