正弦稳态电路的分析

第九章 正弦稳态电路的分析

? 重点：

1． 阻抗与导纳的概念及意义 2． 正弦交流电路的相量分析方法 3． 正弦交流电路的功率分析 4. 串联谐振及并联谐振的特点及分析

9.1 阻抗与导纳

9.1.1 阻抗及导纳

一、阻抗

1．相量形式的欧姆定律

??R?I??Z?I?URRRR

??j?L?I??jX?I??Z?I?ULLLLLL ??1?I???jX?I??Z?I?UCCCCCCj?C

2．阻抗的定义

?UZR?R?R?IR ?UZL?L?j?L?IL?U1ZC?C??j?C IC

?，端口的电流相量为I?，不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为U + ? U _ ? I二 端 口 网 络 则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为

?UZ??|Z|???I

3． 几个概念

图11-1 阻抗的定义 Z?|Z|???R?jX

其中，R称为电阻，X称为电抗，而XL??L称为感抗，

XC?1/?C称为容抗

二、导纳 1．导纳的定义

?，端口的电流相量为I?，不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为U则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为

?IY??|Y|???U

2． 几个概念

Y?|Y|???G?jB

其中，G称为电导，B称为电纳，而BL?1/?L称为感纳，BC??C称为容纳

9.1.2 阻抗的意义

1．引入的意义

使得正弦电路电路的分析计算可以仿照电阻电路的计算方法进行。 2．阻抗参数的意义

Z?|Z|???R?jX

1）|Z|

其中|Z|表征端口电压与端口电流的幅值比，即表征了电路部分对正弦交流电流的阻碍作用。|Z|越大，对交流电流的阻碍作用越大——比如电容元件通高频、阻低频的特性分析：

|ZC|?1/?C，电感元件通低频、阻高频的特性分析：|ZL|??L。

2）?

其中?表征端口电压与端口电流的相位关系，即表征了电路端口电压超前端口电流的角度。

3．阻抗三角形与串联电路中的电压三角形

有如下所示的RLC串联电路

i(t) R C + + uR(t) - + uC(t) - + L u(t) uL(t)_ _ 图11-2（a） RLC串联的正弦交流电路

首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型：

I R 1/?C? + + U ? R - + U - + ?L?C?U U ? L_ _? 图11-2（b） RLC串联电路的相量模型 根据KVL：

??U??U??U??RI??j?LI??1I??(R?j?L?1)I?URLCj?Cj?C

则：

Z??U11?R?j?L??R?j(?L?)?R?j(XL?XC)?|Z|???j?C?CI

其中：

|Z|?R2?(XL?XC)2?R2?(?L?12)?C

1?L?? XL?XCU ?C? ?? R arctg R ? arctg ? ?U?UC |Z| 1 L ?L ??C ?I? ? UR 图11-3 RLC串联电路中的“三角形” 4．感性电路与容性电路

一个不含独立源的电路部分（二端口网络）的策动点阻抗为

?L?Z?|Z|???R2?(XL?XC)2arctg 当??0，即XL?XC（性，称该网络为感性负载； 当??0，即XL?XC（性，称该网络为容性负载；

例如： 1．RL串联

I ? R + + U ? - + ?LR?U ? LU_ _? 1?C

R?L?1?C）时，网络端口电压超前网络端口电流，网络呈现感1?C）时，网络端口电压滞后网络端口电流，网络呈现容

?L???????根据KVL：U?UR?UL?RI?j?LI?(R?j?L)I

?UZ??R?j?L?R?j?L?R?jXL?|Z|???I 则：

2222其中： |Z|?R?XL?R?(?L)

? U ? ? |Z| UL ?L ?U?R I ?

??arctg2．RC串联

I ? R + + U ? - + 1/?CR?U ? CU_ _? XL?L?arctgRR

? U ? R 1/?C |Z|

?I ?U?UC

??U??U??RI??j1I??(R?j1)I?URC?C?C 根据KVL：

?U11Z??R?j?R?j?R?jXC?|Z|????C?CI 则：

其中：

|Z|?R2?XC?R2?(?212)?C

??arctg?XC?arctgR1?C?arctg?1R?RC

3．RL并联

? ? I R ? U ? |Z| ? IL ?I ? I + + + ?L?? U ? ULUR_ _ R _? ? II? LR??U??U??RI??j?LI?URLRL

??UUR?IR??RR 则：

??UU?IL?L?j?Lj?L

??UU11????I?IL?IR???(?)URj?LRj?L 根据KCL： ?R(?L)2U1?LR2Z???2?j22?11R?(?L)R?(?L)2I?Rj?L 所以：

4．RC并联

? I ? I ? + + + 1/?C |Z| I C?? 1/?L U ? UCUR_ _ R _ ??U?I? R IIC? ? R?U

??U??U??RI???j1I?URCRL?C

??UUR?IR??RR 则： ?U??IL?C?j?CU1j?C

???I??I??U?j?CU??(1?j?C)U?ICRRR 根据KCL：

?U1R2?CR2Z????j?11?(?RC)21?(?RC)2I?j?CR 所以：

9.1.3 入端阻抗的求取

应用“等效”的概念，可以得出阻抗串并联的等效阻抗，其计算方法与相应的电阻电路的计算方法相同。

1．串联

Z?2．并联

?ZI

Y?3．混联

直接根据阻抗的串并联关系求取。 4．其他

?YI

无法使用阻抗的串并联直接求解的混连情况，以及含有受控源的情况，均可根据入端阻抗的定义求取。（加源法，开路短路法）

9.2 正弦交流电路的计算

9.2.1 步骤

1．计算出相应的LC对应的感抗与容抗 2．绘制原电路对应的相量模型

3．按照KCL、KVL及元件的VCR计算待求量对应的相量 4．得出待求量对应的时域量

9.2.2 例题1——KCL、KVL

1．已知：有如下所示的RLC并联 i(t) iR(t) + + R + C + L u(t) uR(t) uC(t) uL(t)_ _ _ _

首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型： + + R + 1/?C + ?L _ _ _ _

根据KCL：

????I??I??I??U?U?IRLCRj?L?U1Z???11I(??j?C)Rj?L 则：

?U11??(??j?C)U1Rj?Lj?C

?1I1Y????j?C?Rj?LU 即：

?I ? ?IL?IC ??UIR ??U

9.2.3 例题2——阻抗的串并联

已知：电路如图所示，i?5sin2t A，R?1?，L?0.25H，C?1F。

Z R R i1(t) i1(t)?+? I + I21? 1/j?C j i(t) + +I?L ?? C L UU 12 u1(t) u2(t) _ _ _ _

求：u1(t)，u2(t)

??5?0oAI解： m 11ZC????0.5j(?)j?Cj?2?1 ZL?j?L?j?2?0.25?0.5j(?)

(?0.5j)(1?0.5j)Z?Z//Z??0.25?0.5j (?)12? I（?0.5j）?（1?0.5j）1

o??Z?I??(0.25?0.5j)?5?0?1.25?2.5j?2.795??63.4o(V)U1mm ? I20.5j??U??ZLU?(1.25?2.5j)??1.25?1.25?0o(V)2m1m?? UL ZR?ZL1?0.5jI

o所以： u1(t)?2.795sin(2t?63.4) V

? UR? U1u2(t)?1.25sin2t V

9.2.4 例题3——阻抗的定义及串并联

．已知：电路如图所示，

u(t)?220cos314t V

i1(t)?22cos(314t?45o) A i1(t)?112cos(314t?90o) A

求：1）各表的读数

2）R、L、C 解： 1）求各表的读数

A A1 + A2 u(t) V C L R _ ??220?0oV U??22??45oAI12

o??11?90AI2

??I??I??11?j11?11j?11?0o(A)I12

所以，伏特表读数为：220V，干路上的安培表读数为11A，安培表1的读数为15.6A，安培表2的读数为11A。

2）求R、L、C

?220?0o1UZC??j???20??90o?o??CI11?902

1?20?C 11C???159(?F)??20314?20 所以： ?U220?0oZ2?R?j?L???10?10j(?)o?I112??451

?R?10??10??L?10?L??0.318(H)?314? ?R?10???L?0.318H?C?159?F 所以： ?

9.2.5 例题4——相量图的应用

4-1．已知：电路如图所示，R1?1k?，R2 a i(t) + i1(t) i2(t) R1 R2 u(t) c + ucd - d_?2k?，L?1H

a I ??I1+ Z 2 1 R 1 RZ2?Uab c + - ?Ucd_ jX L jX C - b?I2 d L C b

求：1）画出电路对应的定性的相量图

2）调节电容C，使得Ucd?Uab，此时的C=？ 解： 1）画出相量图

a. 将输入电压作为参考相量； b.

??Z1为感性负载，I1滞后Uab一定的角度?1； ??RI???I111，I2?R2I2

??c. Z2为容性负载，I2超前Uab一定的角度?2

d.

????e. 画出Ucd：Ucd??I1R1?I2R2

??I?R?I??j?L?I?R?I??1Uab111222?j?C U f. 画出ab：

?I1?RI11?Ucd?UL?Uab?UC?RI22?I2

2）调节C

从几何上分析可见：欲使Ucd?Uab，只需Ucd、Uab均为一个圆的直径就可以了。

o这样 ?1??2?90

1tg?2 即：

1?Ltg?1?tg?2??CR1，R2 而：

1?L?C?RR2 代入前式子： 1L?R1R2 即： C

LC??0.5?FRR12 所以：

tg?1?tg(90o??2)?4-2．已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。

1?C，则Uab?0.5US，且uab超前uS90o。 证明：（1）如果

（2）改变电阻R的值，可以在不改变Uab的同时，改变uab对uS的相位差

R? + R r us a + uab - b_ r C

证明： 画出相量图

a. b.

将输入电压作为参考相量；

??Z1为容性负载，I1超前Uab一定的角度?1； ??RI???I111，I2?R2I2

??c. Z2为阻性负载，I2与Uab同相

d.

????e. 画出Uab：Uab??I1R?I2r

??I?R?I??1?I?(r?r)US112?j?CUS f. 画出：

?I1?RI1?Uab?UC?US?r?rII22

?I??从该相量图中可以看出，由于支路22中的两个电阻相等，因此相量Uab正好是从相量US

????

的中点出发的， 且相量UC与相量UR始终互相垂直，这样相量Uab就一定位于以相量US的中点为圆心，0.5US长为半径的位置上。证明（2）中的内容得证。

?I2???j1I?UC1?C 图中：

????从几何上分析，要相量Uab超前相量US90度，只需|UC|?|UR|既可，

?|?1|I?|?|U?|?R|I?||UC1R1?C

所以

证明（1）中的内容得证。

R?1?C即为满足（1）中要求的条件。

9.2.6 例题5——节点电压法

5-1．已知：电路如图所示，R1?R2?500?，C?0.5?F，L?1H，a?9，

us(t)?40cos(1000t?90o)V。

iC(t) a iC(t) R2 L C R1 + us(t) _ ? IC? 500I 9 C j1000 500 -2000 j + ?US _

求：节点电压u1

解： 1）绘制原电路的相量模型

??40???202j (V)US22其中

R1?R2?500?

ZL?j?L?j1000?1?1000j (?)

11ZC????2000j (?)j?Cj1000?0.5?10?6

由此可以绘出电路的相量模型如图（b） 2）列写节点电压方程

该电路仅有一个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：

?U1111??(???)U1?1?aIC1R1R2j?LR2j?C----------------------------------------（1）

(2?10?3?2?10?3?U11????)U1?1?9ICj1000?j2000500

补充受控源支路的方程：

??j?CU??j0.5?10?3U?IC11-------------------------------------------------------（2）

联立方程（1）和（2），可以解得：

??10??(V)U14

所以待求量为：

u1(t)?102cos(1000t?45o)V

5-2． 已知：电路如图所示，R1?1?，R2?0.707?，C1?C2?0.1F，L?0.05H， us(t)?102cos20t V，is(t)??102sin20t A。

i1(t) L i2(t) iC1(t) iC2(t)R1 is(t) C1 C2 R2+ us(t)_ j 1 10 -j j0 .-5 0 .-5j 0.707+ 10_

求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t) 解： 1）绘制原电路的相量模型

??102?0o?10 (V)US2其中，

??102??90o??j10 (A)ISoi(t)??102sin20t?102cos(20t?90) A2而s，所以 ZL?j?L?j20?0.05?j (?)

11ZC1?ZC2????0.5j (?)j?Cj20?0.1

由此可以绘出电路的相量模型如图（b） 2）列写节点电压方程

该电路有两个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：

??1U111???)U1?U2?S?(?1j?LR1?R1j?L?j?C1??(1?1?1)U??1U???I?21S?R21j?Lj?L?j?C2? 1?11??1U??10(??)U?1j?j0.51j21???(1?1?1)U??1U???(?j10)21?j?0.707j?j0.5

即：

??jU??10??(1?j)U12?????(2?j)U2?jU1?10j 解得：

??I1所以

??U?US??9.342?37.1o(V)U1

??3.575?120.4o(V)U2

1R1?10?9.342??37.1o?6.185?65.7o(A)

?U??I2?IS?2??j10?2?3.575?120.4o?6.193??114.4o(A)R2

oo??j?CU?IC111?j2?9.342??37.1?18.68?52.9(A)

??j?CU??j2?3.575?120.4o?7.15?210.4o?7.15??149.6o(A)IC222 ????U1?U2??j(9.342??37.1o?3.575?120.4o)?12.69??133.1o(A)ILj?L

所以待求量为：

i1(t)?6.1852cos(20t?65.7o)A i2(t)?6.1932cos(20t?144.4o)A

iC1(t)?18.682cos(20t?52.9o)A iC2(t)?7.152cos(20t?149.6o)A

iL(t)?12.692cos(20t?133.1o)A

9.2.7 例题6——回路法

6．已知：电路如图所示，R?10?，C1?50?F，

C2?50?F6，L1?20mH，L2?10mH

us(t)?1002cos(2000t?36.9o) V。

i3(t) C2 i5(t) L1 L2 i6(t) i1(t) + i4(t) i2(t) us(t) _ C1 R -j60 j40 j20 + _ -j10 10 80+j60

求：各个支路电流

解： 1）绘制电路的相量模型

??1002?36.9o?80?j60 (V)US2其中，

ZL1?j?L1?j2000?20?10?3?j40 (?)

ZL2?j?L2?j2000?10?10?3?j20 (?) ZC1?11???j10 (?)j?C1j2000?50?10?6

ZC2?1?j?C21??j60 (?)50j2000??10?66

由此可以绘出电路的相量模型如图（b） 2）使用网孔法，则网孔电流分别为I1、I2、I3

??? 即

?1?1???U?(j?L?)I?I2?j?L1I?113Sj?Cj?C11??1?1????0)I2?I1?j?L2I?(R?j?L2?3j?C1j?C1??1???j?LI?)I3?j?L2I?(j?L1?j?L2?211?0?j?C2?

??(?j10)I??j40I??80?j60?(j40?j10)I123????(?j10)I??j20I??0?(10?j20?j10)I213??????(j40?j20?j60)I3?20I2?j40I1?0

??j10I??j40I??80?j60?j30I123?????j20I??0?j10I1?(10?j10)I23??????j40I1?20I2?0

解得：

??2?2?0o(A)I1

o???4?4?180(A)I2

???1?j2?2.236?116.6o(A)I3 则可根据KCL求得：

??I??I??2?(?4)?6?6?0o(A)I412 ??I??I??2?(?1?j2)?3?j2?3.6??33.7o(A)I513

??I??I???4?(?1?j2)??3?j2?3.6??146.3o(A)I623

所以待求量为：

i1(t)?22cos2000t A i2(t)?42cos(2000t?180o) A i3(t)?2.2362cos(2000t?116.6o) A i4(t)?62cos2000t A

i5(t)?3.62cos(2000t?33.7o) A i6(t)?3.62cos(2000t?146.3o) A

9.2.8 例题7——戴维南定理

7．已知：电路如图所示

100 j200 + ?I 10 -j50 100 _ 求：I2

解： 1）将所求支路从原电路中划出

100 j200 + + 10 -j50?Uoc _ _ ?

? 2）求Uoc

??10?0o?Uoc?

?j50?j1??90ooo?10?0??10?0?100?j502?j2.24??26.6o10?1?(0o?90o?26.6o)2.24?4.47??63.4o(V) 3）求Zo

Zo?j200?100?(?j50)?j100?j200?100?j502?j1

?20?j160o(?) 100 j200 -j50 Zo

4）戴维南等效相量模型为

20+j160 ? + I ?-63.4o 100 4.47 _ 所以：

?U4.47??63.4o4.47??63.4o4.47??63.4ooc?I????R?Zo100?(20?j160)120?j160200?53.13o?0.0224??116.53o(A)

9.3 正弦交流电路的功率分析

9.3.1基本概念

在本节中我们研究如下所示的单口网络，其中单口网络的输入阻抗为Z，阻抗角为?，可设

i(t) + u(t) _ 网络 图11-4 单口网络 u(t)?Umcos(?t??)?2Ucos(?t??)i(t)?Imcos?t?2Icos?t

瞬时功率的定义

p(t)?dw?u(t)?i(t)dt?Umcos(?t??)?Imcos?tUmIm[cos(2?t??)?cos?]2?UI[cos(2?t??)?cos?] ?其意义为

时间间隔t0到t1之间，给予单口网络的能量：

t1w(t0，t1)??u(t)?i(t)dt?w(t)?w(t)

t010因此，瞬时功率的意义在于：如果u(t)、i(t)参考方向一致，则p(t)表征流入该单口网络的能量的变化率。此时若p(t)?0，表明能量的确流入该单口网络；若p(t)?0，表明能量流出该单口网络；

其中从t???到时间t1时给予单口网络的能量为

w(t1)????t1??tou(t)?i(t)dtu(t)?i(t)dt?t1t0???u(t)?i(t)dtt0t1?w(t0)??u(t)?i(t)dt

如果单口网络中仅为电阻元件，则流入的能量将转换成其他形式的能量（热能、光能等）被消耗掉，因此不再可能流出端口，这样pR(t)不可能为负数。

如果单口网络中为动态元件，则流入的能量将转换为其他形式的能量（如电磁能、电场

1212CuC(t)LiL(t)22能等）被存储起来（、），因此可能再次流出端口，这样pR(t)可能为正，

也可能为负，而动态元件的储能可以增加或减少，但是只可能为正值。

9.3.2平均功率、视在功率与功率因数

一、平均功率 1．定义

瞬时功率在一个周期内的平均值，其数学表达式为

P?2．单位

瓦特或千瓦，W或kW 3．平均功率的计算

1T?p(t)dt

0T根据平均功率的定义：我们计算上一节谈到的单口网络的平均功率，从而分析仅含电阻、电感和电容元件及一个一般性的单口网络的平均功率。

1P?T此：

UmIm12?[cos(2?t??)?cos?]dt?UI[cos(2?t??)?cos?]dt022?0

可以注意到，该积分式中的第一项由于频率为2?，因此在0~2?内积分结果为零；因

?1p(t)dt?02?T?2??UmImcos??UIcos?2 1）当单口网络呈阻性（仅含一个电阻的等效模型）时，??0

P?PR?UmImcos0?UIcos02UI?mm?UI2U22?IR?R

o2）当单口网络呈纯电感性（仅含一个电感的等效模型）时，??90

UmImcos90o?UIcos90o2?0

o3）当单口网络呈纯电容性（仅含一个电容的等效模型）时，???90

PR?

PR?4．平均功率的意义

UmImcos?90o?UIcos?90o2?0

“平均功率”又称“有功功率”，表征单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化为其他形式的并且消耗掉的能量。

二、视在功率4 1．视在功率 1）定义

单口网络的端口电压与端口电流的有效值的乘积

1S?UI?UmIm2 2） 单位

伏安或千伏安，VA或kVA

3） 意义

一般用来表征变压器或电源设备能为负载提供的最大有功功率，也就是变压器或电源设备的容量。电机与变压器的容量可以根据其额定电压与额定电流来计算：SN?UNIN。

二、功率因数? 1．定义

定义单口网络的功率因数??cos?

注意：其中的角度?为单口网络的阻抗角，即单口网络的端口电压超前端口电流的相角大小。

2．意义

提高感性负载的功率因数。（为什么？请同学查阅资料进行分析）

1） 提高功率因数的意义

? 充分利用能源——P?Scos?，其中S为发电设备可以提供的最大有功功率，

但是供电系统中的感性负载（发电机、变压器、镇流器、电动机等）常常会使得cos?减小，从而造成P下降，能量不能充分利用。 ? 增加线路与发电机绕组的功率损耗 由于P?UIcos?，所以

cos?越小，输电电流越大。

I?PUcos?，即在输电功率与输电电压一定的情况下，

2而当输电线路电阻为r时，输电损耗?p?Ir，因此提高cos?，可以成平方倍地降低输电损耗。这对于节能及保护用电设备有重大的意义。

2）提高功率因数的条件

在不改变感性负载的平均功率及工作状态的前提下，提高负载的功率因数。

3）方法

在感性负载两端并联一定大小的电容。

4）实质

减少电源供给感性负载用于能量互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负载上，

转化为其他形式的能量（机械能、光能、热能等）

5）相量分析

I? ? + IL R?U -jXC _ jXL 感性负载?IC? IC ?2 ?1 ?U?I?IC?IL

图

由相量图可以看到，感性负载的电压、电流、有功功率均未变化。 但是线路电流有变。

IC?ILsin?1?Isin?2??而：

PPsin?1?sin?2Ucos?1Ucos?2

P(tg?1?tg?2)UIC?所以：

U??CUXC

C?ICP?(tg?1?tg?2)?U?U2

9.3.3无功功率

一、无功功率的定义

我们在看一看瞬时功率的表达式：

p(t)?UIcos??UIcos(2?t??)?UIcos??UIcos?cos2?t?UIsin?cos2?t?UIcos??(1?cos2?t)?UIsin??cos2?t

前面我们分析了该式中的第一项，它总是大于零的，从而推出了有关有功功率的概念及计算。现在我们来看第二项。该分量以角频率2?在横轴上下波动，其平均值为零，振幅为

UIsin?。

这样我们定义电路部分的无功功率Q：

Q?UIsin?

二、单位

乏或千乏，var或kvar 三、意义

由于在电路中，电源的能量一部分用来消耗在电阻元件上，转化为其他形式的能量；另外还有一部分用来与阻抗中的电抗分量进行能量交换。

无功功率正是用来表征电源与阻抗中的电抗分量进行能量交换的规模大小的物理量。当

Q?0时，表示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或电磁能存储起来；当Q?0时，表

示电抗向电源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放出来。

关于无功功率的理解：可以用运输过程中的有用功与无用功来类比。

四、计算 电容：

QC?UCICsin?ZC?UCICsin?90o??UCIC

电感：

QL?ULILsin?ZL?ULILsin90o?ULIL

五、功率三角形 与P、Q的关系：

S?P2?Q2，P?Scos?，Q?Ssin?

对于RLC串联的电路，可以用以下三个“三角形”来表明其阻抗、电压相量及功率的大小及相位关系。

S ? U ? Q |Z| ?1?UL?U ?C ?L ?C ? R R P 图11-3 RLC串联电路中的三个“三角形”?U

9.3.4复功率

一、复功率的定义

?? 设U?U??u， I?I??i，???u??i

?*?I????的共轭复数Ii 而相量I??* 因为：UI?U??u?I???i?UI?(?u??i)?UIcos??jUIsin??P?jQ

~我们定义复功率S：

~??*S?UI?P?jQ

二、计算 电阻：

~2?I?*SR?URR?RIR

电容：

~?I?*??j1I2SC?UCCC?C

电感：

~2?I?*SL?ULL?j?LIL

三、意义

复功率的引入，可以简化几种功率的计算。即可以通过复功率的计算直接得出有功功率、无功功率及视在功率的结果。

~~S 复功率的守恒——如果电路各个部分的复功率为i，则电路总的复功率为S为

~n~S?Si?0i?1 复功率的守恒意味着有功功率与无功功率分别守恒：

nnnn~n~S?Si?Pi?jQi?0Pi?0Qi?0i?1i?1i?1，即：i?1及i?1。

??????9.3.5正弦电流电路的最大功率传递

一、复习——直流电路的最大功率传递

在第四章中我们讨论过电阻负载从具有内阻的直流电源获得最大功率的问题：

当RL?Ro时，负载从电源获得最大的功率。 说明：

1．该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。

2．线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。也就是说，由等效电阻Ro算得的功率并不等于网络内部消耗的功率。关于该命题的理解可以用以下一个简单的电路来看：

+ Ro i Uoc RL _ + 4 i iL 24 4 2 _ i1

+ 2 i 12 _ 2

(a) (b)

IRL?3A，I1?1.5A，IS?4.5A，因此，电源发出的功率

22PS?USIS?24?4.5?54W，而负载上获得的功率PRL?IRLRL?3?2?18W，功率传递的

图(a)中，

效率为33%；图(b)中，

I'RL?3A，I'S?3A，因此：电源发出的功率：

22P'S?U'SI'S?12?3?36W，而负载上获得的功率：P'RL?I'RLRL?3?2?18W，功率传

递的效率为50%；

负载可变获得最大传输功率的效率较低，因此，实际中仅在传输功率较小的情况下（某些通讯系统及电子线路）中用到该定理。

二、正弦稳态电路的最大功率传递定理 分析方法与前面的相同。

含 + 源? 二 U L 端 网 _ 络 ?IZL Z S + +?I?? U S U L _ _ZL

设对于负载阻抗ZL?RL?jXL而言，含源二端网络可以进行戴维南等效，其中等效的

?交流电源为US，电源内阻抗为ZS?RS?jXS。

下面我们给定电源及其内阻抗的条件下，分别讨论负载的电阻即电抗均可独立变化以及负载阻抗角固定只是模可变的两种情况下，获得最大功率传递的公式。

1．负载的电阻及电抗均可独立变化——共轭匹配

??I 电路电流：

?US(RS?RL)?j(XS?XL)

I? 电量的有效值：

US(RS?RL)2?(XS?XL)2

2US2PL?IR?RL(RS?RL)2?(XS?XL)2

因此负载电阻的功率：

下面我们就要求出RL及XL在什么情况下，PL最大？

由于在功率表达式中，XL只出现在分母中，且以(XL?XS)的平方项出现，因此当

2USRLP?L(RS?RL)2； XL??XS时，(XL?XS)2最小为零，此时PL才能最大为

US2RL2接下来我们来看式子(RS?RL)在RL取何值时最大。

22USRLd2(RS?RL)?2(RS?RL)RL[]?US?0dRL(RS?RL)2(RS?RL)4

由此可得：RL?RS

因此，当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得最大功率的条件是：RL?RS，

XL??XS，即：ZL?RL?jXL?RS?jXS?Z*S，也就是说，在这种情况下，负载阻抗与

电源内阻抗互为共轭复数时，负载获得最大功率：

US2PLmax?4RS

2．负载的阻抗角固定而负载的模可变——负载与内阻抗匹配

ZL?RL?jXL?|ZL|???|ZL|cos??j|ZL|sin? 设负载阻抗为：

??I 电路电流：

?US(RS?|ZL|cos?)?j(XS?|ZL|sin?)

I? 电量的有效值：

US(RS?|ZL|cos?)2?(XS?|ZL|sin?)2

2US|ZL|cos?)PL?(RS?|ZL|cos?)2?(XS?|ZL|sin?)2

dPL?0d|ZL|

因此负载电阻的功率：

下面我们就要求出|ZL|在什么情况下，PL最大？

22由此可得：|ZL|?RS?XS

因此，当负载仅改变模，而不改变阻抗角时，负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等于电源内阻抗的模。这样，在负载为一个电阻RL时，负载获得最大功率的条件就与直流

22电源时的情况有所不同，为RL?RS?XS。在电子线路中，我们常常使用理想变压器使

负载获得最大功率，这正是本部分所描述的情况

另外要注意：这种情况下获得的最大功率并非最大可以获得的功率，当负责的阻抗角也可以变化时，负载可以获得更大的功率。

9.4 谐振

有关“谐振”的物理性质可以用运动学中的“共振”来对应理解。

谐振的定义：如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为零，认为该单口网络在此频率情况下发生谐振。

谐振电路是一种具有频率选择性的电路，它可以根据频率去选择某些需要的信号，而排

I? R 1/j?C ? - + ? - + j?L + U+RUC ? U ? UL _ ? _ U 图12-1 RLC串联电路的相量模型 除其他频率的干扰信号。

9.4.1串联谐振

1．串联谐振的条件

我们来看下面这个RLC串联的电路：

前面我们分析过RLC串联电路的复阻抗情况，Z?|Z|??，其中

12X?XC)??arctgL?arctg?C，RR

11j?L???j?C，即：LC时，按照谐振的定义：当

1?L? X?X? U ??arcLtgC?arct?gC?0 RR。此时 1 ? ??U?0I |Z|?R2?(XL?XC)2?R。这里，我们称LC（或?|Z|?R2?(XL?XC)2?R2?(?L?L?L?1?C RU ?U ? UC 图12-2 RLC串联谐振相量图 f0?12?LC）为谐振频率。

谐振时的电压相量图为12-2。

2．串联谐振发生时的电路特性 1）电路阻抗最小——U不变时，I最大

|Z| |Z| R O I f0 fU/R R O I f0 fU/R O f0 f图12-3（a） O f0 f图12-3（b）

2）电路呈阻性——电源供给电路的能量全部消耗在电阻R上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。 3）串联谐振为电压谐振——

UC?IXC?XCX?UUL?IXL?L?URR， 当X??R时，UX??U。

电力系统中，常常尽量避免谐振，以免击穿电路设备（L、C等）；而电子线路中，常用此方法获得高压。

4）选频特性与品质因数Q

电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数。Q越大，网络选频的选择性越强。

1U?L?C1LUQ?C?L?0?0?UURRRC

9.4.2并联谐振

? 情况1

? ???IIIIR C L + + R + 1/?C + ?L??U? U?CUULR_ _ _ _ 图12-4 RLC并联谐振电路一

|Z| R O I f0 f U/R O f0 f 图12-6 该RLC并联电路的复阻抗

111Y???j?CY?Rj?LR时，电路发生谐振。此时电路呈，当现阻性，阻抗为

Z?|Z|???1Y，而

Z?1?RY。

可见发生并联谐振的条件仍然为：

? I C ? IR?I ?U ? IL 图12-5 并联谐振相量图一 LC（或电源频率等于谐振频率

谐振时的电流相量图为12-5：

2．并联谐振发生时的电路特性

?0?1f0?12?LC）。

1）电路阻抗最大——I不变时，U最大见图12-6

2）电路呈阻性——电源供给电路的能量全部消耗在电阻R上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。 3）串联谐振为电流谐振——

IC?RR?IIL??IXCXL， 当R??X时，IX??I。

4）选频特性与品质因数Q

定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数。Q越大，网络选频的选择性越强。

? ? ?I IC + IL R U? -jXC _ jXL 感性负载 图12-7 RLC并联谐振电路二 Q?? 情况2

ICILRC????0CR?RII?0LL

实际上的并联电路往往是以下这种模型 该RLC并联电路的复阻抗

Z?|Z|???1Y，

即

I? C ? I R ?I ? I C? I L ?U1j?CR?j?LZ??11?j?RC??2LC(R?j?L)?j?C

(R?j?L)?Z?j?L1?11?j?RC??2LCRC?j(?C?)L?L

图12-8 并联谐振相量图二 当R???L时

电路发生谐振时，电路呈现阻性，阻抗为

Z?LRC。

?0?1LC（或可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率

1f0?2?LC）。

谐振时的电流相量图为12-8，这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐振情况相同。

9.5 频率特性

在前面的内容中，我们着重讨论固定频率（同一频率）情况下正弦交流电路的稳态响应。这一节中，我们开始研究在电路其他参数不变的前提下，仅改变电路（电源）的频率时的电

路响应的情况。

所谓频率特性，正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律。

在前面的内容中，我们曾经提到过电容元件通高频阻低频、电感元件通低频阻高频的性质，其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现。

9.5.1幅频特性与幅频特性曲线

以网络函数中的策动点阻抗为例。前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义：?UZ??|Z(j?)|??(?)?I，其中|Z(j?)|为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关系，即表征了在相同电流源大小的情况下，在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小与

UU|Z(j?)|??mIIm 电源频率之间的关系。

幅频特性曲线——在以频率为横轴，|Z(j?)|为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应

I ?? ? ? III C R L + + R + 1/?C + ?L ? ? ? UU? C UULR_ _ _ _ 的幅频特性曲线。

9.5.2 相频特性与相频特性曲线

其中?(?)表征端口电压与端口电流的相位关系随着频率变化的规律。

相频特性曲线——在以频率为横轴，?(?)为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的相频特性曲线。

9.5.3 示例

以前面讲到的RLC并联电路为例

Z?111??j?CRj?L?111?j(?C?)R?L |Z(j?)| R Q =50 Q =100 Q =200 幅频特性曲线 1 ?/?0 ?(?) Q =200 90o Q =100 Q =50 60o o 30 R)?L RQ???0CR?L0前面我们已经得出：，所以：

1?j(?CR?Q?0?RCR? 0o ?/?0 o -30 o -60 这样，阻抗对应的幅频特性为：

R|Z(j?)|???021?Q2(?)?0?

??0?(?)??arctgQ(?)??0 相频特性为：

R?Q?0L，，代入上式：RZ(j?)???01?jQ(?)?0?

相频特性曲线 o -90 因此，该电路的网络函数——策动点阻抗对应的

图12-9 RLC并联电路的频率特性曲线 幅频特性曲线及相频特性曲线如下，当电路的品质因数变化时，相频特性的变化规律同时见图12-9。

|Z(j?)| R 0.707 R 9.5.4 通频带

在上述电路中，如果电路入端阻抗的模不低于

1谐振时阻抗模的2（=0.707）的频率范围。称为“通频带”。通频带的宽度决定了幅频特性曲线的尖锐程度——通频带越窄，幅频特性曲线越尖锐，Q 幅频特性曲线 1 ?/?图12-10频率特性的通频带 值越高，选择性越好；但是通频带太窄，传送信号

时越容易产生波形失真。因此，在利用网络的频率特性进行选频的时候，往往要综合考虑选择性与通频带这两个方面的问题。见图12-10。

0 9.5.5 滤波器

低通、高通、带通、带阻、全通。实际上，产生谐振时，电路的幅频特性即为一种带通的滤波性质。这里只介绍一阶滤波器（在网络函数部分将介绍二阶滤波器）

1．RC串联电路的低通滤波器

11??U??j?C?U??Uoii11?j?RCR?j?C图中，，所以其电压放大函数为：

?U1H(j?)?o??1?j?RCUi，

H(?)?

其中，网络函数的幅频特性为：?(?)??arctg(?RC)

其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-12。

11?(?RC)2，网络的相频特性为：

H(?) 1 R + + C ?U U ? oi - - 0.707 ? O ?/?0 ?(?) O -45o 图12-11 RC低通滤波器 -902．RC串联电路的高通滤波器12-13

o 图12-12 低通滤波器频率特性

H(?) 1 0.707 C + + R U? ?Uio - - 图12-13 RC高通滤波器

? O ?/?0 ?(?) o 90 45o 0 图12-14 高通滤波器频率特性

??U??UoiR?在图中

R1j?C???Uij?RC1?j?RC，因此，其电压放大函数的表达式为：

H(j?)?j?RC?RC??[90o?arctg(?RC)]1?j?RC1?(?RC)2

1?(?RC)，相频特性为：?(?)?90o?arctg(?RC) 其中，幅频特性为：

其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-14

3．超前滞后网络

在电子技术中，该网络常常用在正弦波振荡器（文氏电桥振荡器）中作为选频部分（几个Hz到几百kHz）——参见《模拟电子技术》或高频电子技术，而在《自动控制理论》中，常常利用其相位超前及滞后的特点。

R CH(?)??RC2 + + C R U ? ?Uoi - -图12-15 超前滞后网络在图中，所求的网络函数的表达式为：

1//R?Uj?Cj?RCH(j?)?o????111(j?RC)2?j3(?RC)?1Ui(//R)?(?R)?Rj?Cj?Cj?C1?(?R)1j?C?Rj?C

?j?CH(j?)??2?1?()?j3()?1?C???RC，该网络函数变为 CC令

1?Rj?C1?Rj?C?jk3k2?jk(1?k2)k?H(j?)??2??k?j3k?1(1?k2)2?9k2 C，则该网络函数变为 其中若

?RCH(?)?1?(?RC)2，网络的相频特性为：其中，网络函数的幅频特性为：

1?k2?(?)?arctg3k

由该相频特性可见，该网络可以因为电源频率的不同，使得输出电压超前或者滞后于输入电压（在自控理论中常用）。

2特别地，在满足一定条件时，两者还可以同相，分析如下。当k?1即k?1时，

3k2?jk(1?k2)1H(j?)??(1?k2)2?9k23

这说明，该网络的输入电压与输出电压同相，且输出电压为输入电压的三分之一，满足

?1k??1????C?CRC。 该性质的网络要求电压的输入频率为，即

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