求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法

一. 教学内容：

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值

二. 学习目标

1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；

3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；

4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；

5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三. 知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题所给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间

变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示； 2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”； 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集； 6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值

1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N； 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】

考点一：求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。 解：由4x2－9y2＝36可解得：

?2x2?9,x? 3??2x2?9?3y????3?2x2?9 ,x??3?3?。

2x2?9y??3说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。

2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

y?解：设

kx，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为

y?

780,x?0x。

3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

x?1x2?x?1f()?xx2例3. 已知，试求f(x)。 x?11t?x?2f(t)?t?t?1，t≠1。故得：xt?1解：设，则，代入条件式可得：

f(x)?x2?x?1,x?1。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出

另一个方程，联立求解。

1f(x)?2f()?3x2?4x?5x例4. （1）已知，试求f(x)；

2f(x)?2f(?x)?3x?4x?5，试求f(x)； （2）已知

1111f()?2f(x)?32?4?5xxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，消

?1?284x5f??f?x??2??x2??x??x3x33。 去，则得：

2f(?x)?2f(x)?3x?4x?5，与条件式联立，消去（2）由条件式，以－x代x则得：

，则得：

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

f??x?f?x??x2?4x?53。

例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；

2y?x?1； 当x∈（1，2）时：

当x∈（2，3）时：

故综上所述，有

y??3?x?2?1；

?x, x??0,1???y??x2?1, x?(1,2]?23?x?1, x?(2,3]????

考点二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

y?x?2?例6. 求

x?3x?4的定义域。

??x?2?0?x?4??解：由题意知：，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例7. 已知函数由下表给出，求其定义域 X 1 2 3 4 35 Y 22 3 14 解：{1，2，3，4，5，6}。

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

5 －6 6 17

例8 已知f(x)?x?3,g(x)?xx?4x?32,求y?f(g(x))的定义域.x

由f(x)?x?3?x?3?g(x)?3?解：

又由于x2－4x＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：

x?4x?32?3 ?

9?339?33?x?1或3?x?44?9?33??9?33?故所求定义域为?x|?x?1或3?x??44????

例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。

－－

解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：21≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［21，2］，

?2,4??。 2?x?4故log2x∈［2，2］，解得，故定义域为?－1

4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值

的不同而不同。

例10. 求函数f(x)?ax?1的定义域。 解：若a?0，则x∈R；

1a1若a?0，则x??；

a若a?0，则x??； 故所求函数的定义域：

当a?0时为R，当a?0时为?x|x???，当a?0时为?x|x???。

说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。

考点三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法

??1?a???1?a?y?例11. 求函数

2x?3x?1的值域。

y?解：

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配方法

例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。

解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。

3、判别式法

2x?32?x?1??111?0??2?x?1x?1x?1，因为x?1，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。

x2?2x?3例13. 求函数y?的值域。 24x?5x?6x2?2x?3y?24x?5x?6可变形为：解：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：?26?6326?63?y??,?7171??。

说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两

点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法 例14. 求函数y??2?3，x∈［4，5］的值域。 x?2513y??3x解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝2；当x＝5时，ymax＝5，所

?513?,??以函数的值域为?25?。

5、换元法

例15. 求函数y?2x?41?x的值域。

解：令t?1?x?0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

?x,x?[1,2]?2例16. 求函数y??x,x?(2,3]的值域。

?2x?1,x?(3,4]?解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈(2，3］时，y∈(4，9］；当x∈(3，4］时，y∈(5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪(3，9］。

［本讲所涉及的主要数学思想方法］

1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。 2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。

3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。

【模拟试题】(答题时间：30分钟)

一. 选择题

1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（ ） A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］

2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（ ）

A. y＝20－2x（x≤10） B. y＝20－2x（x<10） C. y＝20－2x（4≤x<10） D. y＝20－2x（5

A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］ 5、函数y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（ ） A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］

x2?2y?23x?4x的值域是（ ） 6、函数

A.[??3?17?3?17??3?17?3?17,] B.?, ???4444???3?17?3?17?3?17?3?17]?[,??) D.(??,)?(,??)4444

C.(??,

7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ）

333x?1(0?x?2) B.y??x?1(0?x?2)2223C.y??x?1(0?x?2) D.y?1?x?1(0?x?2)2 A.y?

二. 填空题

3

8、若（fx）＝（x＋a）对任意x∈R都有（f1＋x）＝－（f1－x），则（f2）＋（f－2）＝ ；

f(x)?9、若函数

三. 解答题

1??2??,??3??，则其定义域为 ； x?2的值域为?y?10、求函数

5?x?3x?4x?2的定义域。

2??x?2x?1,x?2f(x)?????x,x?211、已知，若f（a）＝3，求a的值。

12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。

13、某人买来120m竹篱笆，想靠墙围成一个矩形养鸡场，一边靠墙，三边用竹篱笆。设鸡场的面积为y，与墙连接一边的长为x。

（1）将y表示成x的函数；

（2）与墙连接的一边多长时，鸡场的面积最大？

【试题答案】

一. CDDAA CB

二. 8、－26； 9、［－4，2)；

三、10、解：由5－x≥0解得：x≤5；又由x＋2≠0解得：x≠－2；故所求函数定义域为：(??,?2)?(?2,5]。

11、解：若|a|≤2，则可解得a＝1?3；若|a|>2，则可解得a＝－3。

12、解：由条件式，以－x替换x可得：2f（－x）－f（x）＝－x2－4x，联立两式可解得：

?x2?f（x）＝13、解：（1）y＝x（60－x），x∈（0，60）.

（2）y＝x（60－x）＝－（x－30）2＋900≤900，当x＝30时取等号，故当x＝30米时，鸡场面积最大为900平方米。

4x3。

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