解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章
更新时间:2023-10-21 06:57:01 阅读量: 综合文库 文档下载
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为:
?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ?x?y?z?2?0?且(1)母线平行于x轴;(2)母线平行于直线x?y,z?c,试求这些柱面的方程。 解:(1)从方程
?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0中消去x,得到:(z?y?3)?(y?3)?(z?2)?25 即:y2?z2?yz?6y?5z?此即为要求的柱面方程。
2223?0 2?x?y(2)取准线上一点M0(x0,y0,z0),过M0且平行于直线?的直线方程为:
z?c??x?x0?t??y?y0?t?z?z0?而M0在准线上,所以
??x0?x?t??y0?y?t ?z?z?0?(x?t?1)2?(y?t?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2t?2?0222上式中消去t后得到:x?y?3z?2xy?8x?8y?8z?26?0
此即为要求的柱面方程。
?x?y2?z22、设柱面的准线为?,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。
x?2z?1,0,?2? 解:由题意知:母线平行于矢量?任取准线上一点M0(x0,y0,z0),过M0的母线方程为:
?x?x0?t??y?y0?z?z?2t0???x0?x?t? ?y0?y?z?z?2t?0而M0在准线上,所以:
?x?t?y2?(z?2t)2 ??x?t?2(z?2t)222消去t,得到:4x?25y?z?4xz?20x?10z?0
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。 解:过原点且垂直于已知三直线的平面为x?y?z?0:它与已知直线的交点为
?0,0,0?,(?1,0,1),(1,?1,4),这三点所定的在平面x?y?z?0上的圆的圆心为
333M0(?21113,?,),圆的方程为: 1515152211213298??(x?)?(y?)?(z?)?15151575 ???x?y?z?0此即为欲求的圆柱面的准线。
1,1,1?的直线方程为: 又过准线上一点M1(x1,y1,z1),且方向为??x?x1?t??y?y1?t?z?z?t1?将此式代入准线方程,并消去t得到:
??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?15(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为?(u)??x(u),y(u),z(u)?,母线的方向平行于矢量S??X,Y,Z?,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
x?Y(u)?vS
与
?x?x(u)?Xv??y?y(u)?Yv ?z?z(u)?Zv?式中的u,v为参数。
证明:对柱面上任一点M(x,y,z),过M的母线与准线交于点M?(x(u),y(u),z(u)),则,
M?M?vS
即OM?OM??vS
亦即Y?Y(u)?vS,Y?Y(u)?vS 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达,即:
?x,y,z???x(u),y(u),z(u)??v?X,Y,Z?
?x?x(u)?Xv???y?y(u)?Yv ?z?z(u)?Zv?此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面
21、求顶点在原点,准线为x?2z?1?0,y?z?1?0的锥面方程。
解:设为锥面上任一点M(x,y,z),过M与O的直线为:
XYZ?? xyz设其与准线交于(X0,Y0,Z0),即存在t,使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt,将它们代入准线方程,并消去参数t,得:
x2?2z(z?y)?(z?y)2?0
222即:x?y?z?0
此为所要求的锥面方程。
2222、已知锥面的顶点为(3,?1,?2),准线为x?y?z?1,x?y?z?0,试求它的方程。
解:设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:
X?3Y?1Z?2?? x?3y?1z?2令它与准线交于(X0,Y0,Z0),即存在t,使
?X0?3?(x?3)t??Y0??1?(y?!)t ?Z??2?(z?2)t?0将它们代入准线方程,并消去t得:
3x2?5y2?7z2?6xy?2yz?10xz?4x?4y?4z?4?0
此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解:(这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面,其余类推)
?圆锥的轴l与i,j,k等角,故l的方向数为1:1:1 ?与l垂直的平面之一令为x?y?z?1
平面x?y?z?1在所求的锥面的交线为一圆,该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),该圆的圆心为(,111,),故该圆的方程为: 33312121222??(x?)?(y?)?(z?)?()3333 ???x?y?z?1它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点M(x,y,z),过M与顶点O的母线为:
XYZ?? xyz令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0),即存在t,使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt,将它们代入准线方程,并消去t得:
xy?yz?zx?0
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为(1,2,4),轴与平面2x?2y?z?0垂直,且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。 解:轴线的方程为:
x?1y?2z?4 ??221过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为:
2(x?3)?2(y?2)?(z?1)?0
即: 2x?2y?z?11?0
该平面与轴的交点为(112037,,),它与(3,2,1)的距离为: 999112037116d?(?3)2?(?2)2?(?1)2?
9993?要求圆锥面的准线为:
112202372116??(x?)?(y?)?(z?)?9999 ???2x?2y?z?11?0对锥面上任一点M(x,y,z),过该点与顶点的母线为:
X?1Y?2Z?4?? x?1y?2z?4令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0),即存在t,使X0?1?(x?1)t,Y0?2?(y?2)t,
Z0?4?(z?4)t
将它们代入准线方程,并消去t得:
51x2?51y?12z2?104xy?52yz?52zx?518x?516y?252z?1299?0
6、已知锥面的准线为?(u)??x(u),y(u),z(u)?,顶点A决定的径矢为?0??x0,y0,z0?,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
??v?(u)?(1?v)?0
与
?x?vx(u)?(1?v)x0??y?vy(u)?(1?v)y0 ?z?vz(u)?(1?v)z0?式中,u,v为参数。
证明:对锥面上任一点M(x,y,z),令OM??,它与顶点A的连线交准线于,即M??(x(u),y(u),z(u)OM???(u)。
AM//AM?,且AM??0(顶点不在准线上) ?AM?vAM?
即???0?v(?(u)??0) 亦即??v?(u)?(1?v)?0
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