四年级奥数：等差数列的应用（A级）.学生版

等差数列的应用

考点分析

（1） 等差数列与数论结合. （2） 图形中的等差数列. （3） 估算法.

知识框架

一、 等差数列的相关公式

（1） 三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项?首项?(项数?1)?公差，an?a1?（n?1）?d 递减数列：末项?首项?(项数?1)?公差，an?a1?（n?1）?d

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来（n?m）?d，这样一个有用的公式：an?am? （n?m）② 项数公式：项数?(末项?首项)?公差+1

（an?a1）?d?1 (若an?a1)；n?（a1?an）?d?1 (若a1?an)． 由通项公式可以得到：n?找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、

、40、43、46 ，

、(46、47、48)，注意等

分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、

差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48?4?1?45项，每组3个数，所以共45?3?15组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．

③ 求和公式：和=(首项?末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1?2?3??98?99?100

?（50?51）?101?50?5050

共50个101（1?100）?（2?99）?（3?98）? ?(思路2)这道题目，还可以这样理解：

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和=1?2?3?4?+和?100?99?98?97?2倍和?101?101?101?101??98?99?100?3?2?1即，和?101?101?101? (100?1)?100?2?101?50?5050

（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首

项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，

题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20?9； ② 65?63?61??5?3?1?（1?65）?33?2?33?33?1089，

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33?33．

重难点

重点：图形中的等差数列运算. 难点：估算法.

课前预习

高斯的故事二------萝卜灯

高斯是17世纪德国的伟大数学家.

高斯从小就是在困苦的环境中锻炼和成长起来的.他们的父亲是一个勤劳的装水管的工人，母亲是一个石匠的女儿，没有什么文化.高斯是他的独生儿子，他们对高斯非常宠爱.由于高斯父亲的收入菲薄，一家三口不得不省吃俭用，精打细算地过着日子.小高斯很懂事，从不随便向爸妈要钱，从小就养成俭朴的习惯. 高斯生活的时代，还没有电灯.那时，有钱人家为了照明，用铅、锡、铜等金属做成各种式样的烛台，在上面插上一支支粗粗的蜡烛，点起来很亮.高斯家穷，买不起这样的烛台，也点不起蜡烛.每天一到晚上，爸妈就催促高斯早点上床睡觉.小高斯读书很用功，晚上没有灯光看书，在床上翻来复去，说什么也睡不着觉.

一天，妈妈从菜场买菜回来，篮子里装着几只红萝卜.

“妈妈，给我一只萝卜吧！”小高斯紧蹲在妈妈的身边，轻轻地摇着妈妈的臂膀. “傻孩子，生萝卜辣，有什么好吃的！”妈妈随口讲着.

“不，妈妈，我不是要吃，我要用它来做一盏美丽的灯.”高斯一面用手比划，一面微笑着说. 从妈妈手里接过一只萝卜，高斯把它洗净擦干.然后用小刀一点一点地把萝卜心子挖空，倒点油进去，再放上一根灯芯，就成为一盏很别致的“萝卜灯”了.就在这盏灯旁，高斯常常学习到深夜.

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高斯一生中，一直保持着童年时代就养成的这种俭朴的美德.三十岁起，他除了从事数学，物理方面的科研外，还一直担任着哥廷根天文台台长的职务，已经成为一位著名的科学家了.按照当时的经济收入，他完全可以生活得很优裕、舒适.但是，高斯从不追求这些.在哥廷根天文台里，他住着一间很小的房子，里面只放着几件很简单的家俱，一支暗淡的蜡烛，再加上简单的食品和衣帽，这些几乎就是高斯全部物质上的享受.

一个生活上俭朴的人，往往在学习和工作上是勤奋的.

高斯从23岁起，就开始系统地研究天文学了.他每天坚持不懈地观察慧星的位置，测算日月蚀的有关数据.为了进行有关木星摄动智神星的计算，他需要用到337000个数据，并对它们进行大量繁琐的数学运算.我们知道，天文计算是离不开对数的，因为对数能使计算化繁为简.正因为他日以继夜，反复不断地使用对数表，表中数据用得滚瓜烂熟，以致他能背出表中对数的前几位小数.天才加勤奋，正是高斯具有惊人记忆力和心算力的秘诀.

高斯是一个具有刚强毅力的人.他认为一个人要有自立更生的精神，不能依赖别人.公元1809年，普法战争结束，德国失败了.为了偿还法国巨大的战争赔款，德国人民承担了沉重的债务.摊派给高斯的款数是2000法郎.当时高斯要拿出这样一笔钱是非常困难的.消息被高斯的许多朋友知道了，大家纷纷解襄相助.高斯对朋友们的热情帮助十分感激，但不愿增加别人负担，决心自力更生，偿还债务.他婉言谢绝了朋友们的好意，寄还来款.法国著名数学家拉伯拉斯在巴黎事先未通知高斯，就帮他支付了这笔巨款，事后才写信告诉他，高斯隔了一段时间，聚齐了钱，连同应付的利息，一起寄还给拉伯拉斯.

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例题精讲

【例 1】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴

蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？

【例 2】 100以内的自然数中.所有是3的倍数的数的平均数是 .

【例 3】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个

数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？

【例 4】 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方

形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？

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【巩固】 有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第10行为止一

共用了 根火柴棒．

【例 5】 编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如

果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？

【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？

【例 6】 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但

他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？

【例 7】 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计

算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？

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