2011高一数学必修五---学案

目 录

1、正弦定理-----------------------------------------------------------------------1 2、余弦定理-----------------------------------------------------------------------9 3、数列-----------------------------------------------------------------------------17 4、等差数列-----------------------------------------------------------------------21 5、等比数列-----------------------------------------------------------------------36 6、数列的通项--------------------------------------------------------------------52 7、数列求和-----------------------------------------------------------------------54 8、不等关系-----------------------------------------------------------------------57 9、二元一次不等式表示的平面区域-----------------------------------------59 10、简单的线性规划问题------------------------------------------------------63 11、一元二次不等式------------------------------------------------------------69 12、基本不等式------------------------------------------------------------------75 13、本章复习---------------------------------------------------------------------81

第一章 解三角形

1.1 正弦定理(1)

【学习目标】

1、掌握正弦定理及其证明；

2、能运用正弦定理解决简单的解三角形问题.

【重点难点】 正弦定理的证明. 【自主学习】 一、知识回顾

1、三角形的三边关系____________________________; 2、三角形的三个内角的关系是__________________________; 3、确定一个三角形的条件有哪些？

二、问题情境

如图，某人在山脚A处测得山顶B的仰角为30 ，沿直线AC前进了100米后到达DBC.

三、数学建构

本题的解决要求研究三角形的边角关系，为了探索任意三角形中的边角关系，先回忆直角三角形中的边角关系.

sinA

abc,sinB ,sinC 1 ccc

即

abc sinAsinBsinC

abc

sinAsinBsinC

证明对于任意三角形ABC，都有

阅读课本中的两个证明方法，回答下列问题： 1、证明法1中为什么要对角C分锐角、钝角讨论？

2、证明法2与法1的共同之处是________________________________________； 不同之处是_________________________________________.

正弦定理：在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，那么

abc

sinA sinB

sinC

【典型例题】

例1、已知 ABC中，A 30 ,C 45 ,a 20,求b,c. 【小结】：

例2、已知 ABC中,a 3,b

2,B 45 ,解三角形ABC.

变式1、 ABC中,a 1,b

2,B 45 ,解三角形ABC.

变式2、 ABC中,a 4,b

2,B 45 ,解三角形ABC.

【小结】：1、已知a,b和A，解三角形时完成下表:

2、利用正弦定理能解决的两类有关的三角形问题：

3、在解三角形的过程中，真正取舍的依据是：

【巩固练习】

1、在 ABC中，A:B:C 4:1:1,则a:b:c __________.

2、在 ABC中，B 45 ,C 60 ,c 1,则最短边的长度是__________.

3、在 ABC中，B 45 ,c 22,b

4,则A __________. 3

4、不解三角形，确定下列判断是否正确

1a 7,b 14,A 30 ,有两解 （ ） ○

2a 30,b 25,A 150 ,有一解 （ ） ○

3a 6,b 9,A 45 ,有两解 （ ） ○

4b 9,c 10,B 60 ,无解 （ ） ○

【回顾小结】

【作业布置】

1．1正弦定理（2）

【学习目标】

1、 了解正弦定理的第三种证明方法；

2、 进一步学习正弦定理，会利用正弦定理证明简单三角形问题和判断三角形的形状； 3、 会利用正弦定理求解简单的实际问题.

【重点难点】

正弦定理的变形及应用.

【自主学习】

一、知识回顾：正弦定理 .

问题：你还有其他方法来证明正弦定理吗？

二、问题情境

在Rt ABC中，斜边c的等于Rt ABC外接圆

的直径2R，故有abc

sinA sinB sinC 2R，这一关系对任意三角形都成立吗（如图）？探索并证

明你的结论.

三、建构数学

正弦定理： .

变形（1）a 2RsinA，b ，c . （2） ，sinB

b

2R

， . （3）sinA:sinB:sinC .

【典型例题】

例1、在△ABC中，已知

acosA bcosB c

cosC

，试判断△ABC的形状.

例2、在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明

ABBD

.

ACDC

A

B

D C

例3、某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，求山的高度BC.

【巩固练习】

（1）在△ABC中，若A 60 ,a (2)根据下列条件，判断△ABC的形状：

①sin2A sin2B sin2C； ②acosA bcosB；③

（3）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B.要测算出A,B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC 80m， B 75， C 45，试计算AB的长.

a b c

.

sinA sinB sinC

sinAcosBcosC

.

abc

【回顾小结】

【作业布置】

1．1正弦定理（3）

【学习目标】

1、会利用正弦定理解决简单的三角形问题； 2、掌握三角形的另一种面积公式及其应用。

【重点难点】

1、正弦定理应用.

2、正弦定理在解三角形时应用思路.

【自主学习】

一、知识回顾

1、 正弦定理：__________________________________________ 2、 三角形面积公式：______________________________

二、问题情境

问题：在△ABC

中，a b 1，C 60 ，则S ABC ?

三、建构数学

三角形的面积公式：S ABC ______ 证明：

【典型例题】

例1、∠ABC的两边长分别为3cm和5cm，交角的余弦是方程5x 7x 6 0的根， 求△ABC的面积。

例2、在△ABC中，b 12，A 30，B 45，解此三角形，并求出它的外接圆半径和三角形的面积.

2

例3、半圆O的直径长为2，A为直径延长线上的一点．OA=2，B为半圆周上一动点,以AB为边,向外作等边△ABC,问点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大?并求这个最大面积.

C

【巩固练习】

2

1、已知三角形的三边分别是a 4，b 10，面积为103 cm角形的另一边长；

【思考】

c吗？

2、在△ ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，角平分线AD＝2cm，求此三角形面积.

【回顾小结】

【作业布置】

1．2余弦定理（1）

【学习目标】

1、 了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程；

2、 会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题； 3、 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

【重点难点】

1、余弦定理证明及应用.

2、向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程； 3、余弦定理在解三角形时的应用思路.

【自主学习】

一、知识回顾

正弦定理适用于：________________________________________ ________________________________________

二、问题情境

问题：怎样解决已知两边与其夹角求第三边？

如何将向量等式BC BA AC数量化？

证明：

三、建构数学

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍.

形式一： 形式二：

a2 b2 c2 2bccosA， cosA＝

b＋c－a2bc

222

，

b2 cosB＝ c2 cosC＝注：在余弦定理中，令C＝90°，这时，cosC＝0，所以c＝a＋b，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.

2

2

2

【典型例题】

例1、在△ABC中，

(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a； (2)已知a＝7，b＝5，c=3，求A.

例2、已知△ABC中，a 8，b 7，B 60 ，求c及 S ABC.

【小结】：利用余弦定理，我们可以解决哪类有关三角形的问题： (1) (2)

【巩固练习】

(1)在△ABC中，

①已知A 60

,b 4，c 7，求a； ②已知a 7，b 5，c 3，求A.

(2)在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么cosC .

(3)在△ABC中，已知a2

b2

ab c2

，试求 C的大小.

【回顾小结】

【作业布置】

1．2余弦定理（2）

【学习目标】

1、会利用余弦定理证明简单三角形问题；

2、会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题.

【重点难点】

1、余弦定理应用.

2、余弦定理在解三角形时的应用思路.

【自主学习】

一、知识回顾

1、余弦定理两种形式：

2、余弦定理适用的两种情形：

【典型例题】

例1、已知A、B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA=182m，CB=126m, ∠ACB=60°，求A、B之间的距离.

2

例2、在△ABC中，已知A 60,最大边边长及最小边边长恰好是方程x 7x 11 0 的两根，求此三角形的第三边.

例3、在△ABC中，tanC

(1) 求cosC；

5

CA ，且a b 9，求c. (2) 若CB

2

例4、用余弦定理证明：在△ABC中,当∠C为锐角时,a b c, 当∠C为钝角时,a b c.

2

2

2

2

2

2

例5、已知△ABC是以B为钝角的三角形，a 2x 5，b x 1，c 4，求x的取值范围.

【巩固练习】

（1）在 ABCD中，已知AB 12cm，BC 10cm，A 60 ，求 ABCD的两条对角线长和 ABCD的面积.

（2）两艘游艇自某地同时出发，一艇以10km/h的速度向正北行驶，另一艇以7km/h的速度向北偏东45 的方向行驶，问：经过40min，两游艇相距多远？

（3）①若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成什么三角形？ ②在△ABC中，已知a 2，b 3，C 60，试证明此三角形为锐角三角形.

【回顾小结】

【作业布置】

1．2余弦定理（3）

【学习目标】

1、会利用余弦定理证明简单几何问题； 2、会利用余弦定理求解简单应用题； 3、能利用余弦定理判断三角形形状；

【重点难点】

1、余弦定理的应用.

2、余弦定理在解三角形时的应用思路.

【自主学习】

一、知识回顾：余弦定理

【典型例题】

例1、在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江南岸的A码头出发，预定

0

要在0.1h后到达江北岸B 码头。设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15，

并与A码头相距1.2km，该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到0.1,速度精确到0.1km/h）？

例2、在△ABC中,已知sinA 2sinBcosC，试判断该三角形的形状.

方法1： 方法2：

例3、如图，AM是△ABC中

BC边上的中线， 求证：AM

例4、在△ABC中，A，B，C所对边分别为a,b,c,设A，B，C满足条件b2 c2 bc a2

和

cb 1

2

A和tanB.

【巩固练习】

(1)用余弦定理证明：在△ABC中，

①a bcosC ccosB；②b ccosA acosC；③c acosB bcosA.

（2）用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和.

（3）在△ABC中，若tanA:tanB a2

:b2

，试判断△ABC的形状.

【回顾小结】

【作业布置】

1.3正弦定理、余弦定理的应用

【学习目标】

会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.

【重点难点】

1、实际问题向数学问题的转化； 2、解斜三角形的方法.

3、实际问题向数学问题转化思路的确定.

【自主学习】

解三角形的知识在测量、航海等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力. 一、知识回顾：1、正弦定理

2、余弦定理

【典型例题】

例1、如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线C，D，测得∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，∠ACD＝105°，∠BCD＝60°，CD=100m，设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B两点间的距离（精确到1m）.

例2、某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔船在方位角为45°、距离为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.

D

C

例3、作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡。已知F1=30N，F2=50N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向（精确到0.1°）.

【巩固练习】

(1)如图，某种机械装置，OB 4m，AB 3m，OC的长度为20m，A点在OE上滑动，

COE为锐角，若使C点上升到12m（指C点到

(2)已知外接圆半径为6的△ABC的三边为a,b,c,两角 B和 C，且sinB sinC △ABC面积S满足S a2 (b c)2.求（1）sinA；(2) S的最大值.

4，3

【回顾小结】

【作业布置】

第二章 数列

2.1 数列 （1）

【学习目标】

1、了解数列的概念；

2、理解通项公式是给出数列的方法之一；

3、能根据通项公式写出它的前几项，能根据前几项写出它的一个通项公式。

【重点难点】 数列的通项公式。 【自主学习】 一、问题情境

阅读书P29上的6个问题，观察它们有什么共同特点？（提示：从数和顺序的角度观察）

二、数学构建

1、数列定义：________________________________；

数列的项：________________________________；

2、一般形式______________________________；简记为___________________； 首项为___________；第2项为_____________；第n项为_______________。 三、问题探究

问题1、通项an与数列序号n是否有关系？（以问题1为例说明） 这个关系式叫做数列的_______________； an 与an相同吗？

问题2、若an与n关系为an n 3(n 且n 7) 序号n：1 2 3 4 5 6 7 项an：

问题3、对于以上数列 an 是否符合函数的定义？

如果符合，可记作an=__________，其定义域是________________。 问题4、根据定义域的特点，可将数列如何分类?

问题5、(1)已知数列的第n项an为2n 1，写出这个数列的首项、第2项和第3项.

(2)已知数列 an 的通项公式an 图象

*

n

，写出这个数列的前5项，并作出它的n 1

思考：此题中数列an

nn 1的图象与y xx 1

的图象有何区别？ (3)写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

① 2,4,6,8;

②1,4,9,16; ③ 1,2, 3,4;

④1

1112,2 3,13 14,114 5

.

【巩固练习】

1、根据数列 an 的通项公式an ( 1)n2n，写出它的前5项.

2、根据数列 an 的通项公式an 5 2n 1，写出它的第6项和第10项.

3、37是否为数列 3n 1 中的项？如果是，第几项？

4、写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，7，15；

（2）2，4，6，8；

（3）

149163，5，7，9 ； （4） 1111

1 2, 2 3,3 4, 4 5

;

【回顾小结】

1、数列的定义；

2、数列的通项公式；

3、能根据通项公式写出项，能根据前n项写出通项公式。

【课后练习】

2.1 数列（2）

【学习目标】

1、了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据给出的递推公式写出前n项；

2、进一步培养观察能力和归纳能力； 3、能用函数的方法解决数列问题。

【重点难点】

归纳数列的通项公式。 【自主学习】

1、数列定义

（1）描述性定义：________________________________； （2）函数观点下的定义：__________________________。

2、数列的表示方法

方法1：__________________； 方法2：__________________。

3、数列的分类

【问题探究】

例1、写出下列数列的一个通项公式：

(1)2,4,8,16, (2)3,5,9,17,

(3) 1,35792, 4,8, 16,

(4)24683,15,35,63

, (5)3,3,,21,33,

(6)0,1,0,1,0,1, (7)9,99,999,9999, (8)5,55,555,5555,

例2、已知an an 1

1

(n 2)，a1 1，

n(n 1)

（1）写出数列的前5项； （2）由前5项推到数列的通项公式.

问：例2中的条件叫数列的递推公式，它与通项公式比较，哪个更好的表示出了数列？为什 么？

例3、已知无穷数列an

12

n 3n 1(n N*) 2

（1）画出数列{an}的图象；（2）求数列最小的项； （3）求最小的项数n0使得an an 1(n n0)

【巩固练习】

( 1)na

1(n 2且n *),若a1 1,则4的值为_______. 1、已知数列 an 满足an

an 1a5

2、已知数列 an 的通项公式an 2

n 1

,则an与an 1(n 且n 2)的大小为_________.

*

3、已知数列 an 的通项公式an n 17n 8，求数列 an 的最大项.

2

4、图中的三角形称为谢宾斯基三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构

成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式

【回顾小结】

1、数列的递推公式； 2、写通项公式的方法；

3、利用函数思想解决数列问题。

【课后练习】

2.2.1 等差数列（1）

【学习目标】

1、理解等差数列的概念；

2、会用定义判断等差数列，证明等差数列。

【重点难点】

判断、证明等差数列。 【自主学习】 一、问题情境

阅读书P33上的3个数列，思考：它们有什么共同特点？

二、数学构建

1、等差数列定义：___________________________；______叫公差，用__________表示。 2、定义可用式子表示为：___________________________。 3、（1）当d 0时，数列的各项如何变化？ （2）当d 0时，数列的各项如何变化？ （3）当d 0时，数列的各项如何变化？

【典型例题】

例1、判断下列数列是否为等差数列：

(1)1,1,1,1,1;

(2)4,7,10,13,16;

(3) 3, 2, 1,1,2,3;

例2、求出下列等差数列中的未知项：

(1)3,a,5;(2)3,b,c, 9

例3、（1）在等差数列 an 中，是否有an

an 1 an 1

(n 2)？ 2

an 1 an 1

，那么2

（2）在数列 an 中，如果对于任意的正整数n(n 2)，都有an 数列 an 一定是等差数列吗？

【知识拓展】

已知数列 an 的通项公式an pn q，其中p,q是常数，那么，这个数列是否一定为等

差数列？若是，首项与公差分别是多少？

【小结】：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ajl4.html