概率论与数理统计答案

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

4C表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为

i4?iC5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54 P(C)?1?P(C)?1?4C105?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110?40?60?40?1016?24813?1??1??1??720?772?7212124117在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。 答案：

555? a2 8在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

0?x?a,0?y?a,且0?x?y?a，又 a?x?y??2?x?y?a?x?y?a???x?y?a?x?y,??x?2???y?x?a?x?y,?y?a?2?aa2 ax

P?1 49在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于

1的概率。 41 xy?1 414 x

1

1P(xy?)?4

?11(1?41)dx4x1111111?(x?lnx)1?1??ln4;P(xy?)??ln4 1444444410设A,B,为二事件，设P(A)?0.9,P(AB)?0.36,求P(AB).

解：0.9?P(A)?PA(B?B)?P(AB)?P(AB)?0.36?P(AB).故

P(AB)?0.54.

11设A,B,为二事件，设P(B)?0.7,P(AB)?0.3,求P(A?B). 解： P(B)?0.7,P(AB)?0.3,?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4.

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.

12 设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7 （1）若AB互不相容,求P(B).

若AB互不相容,则P(A?B)?P(A)?P(B).P(B)?P(A?B)?P(A)?0.3 （2）若AB相互独立,求P(B).

若A与B相互独立，则P(B)?P(A?B)?P(A)?P(A)?P(B)?0,7?0.4?0.4P(B),P(B)?0.5 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01， 0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。 解 0.94

14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。 解：A:订日报,B:订晚报.

0.85?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.65?P(AB)， P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?1.15?0.85?0.3.

15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于 第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：

p?16

10909???0.0909 1009999设

随

机

事

件

A,B,C两两独立,P(AB)?0,已知P(B)?2P(C)?0,且

5P(B?C)?,求P(A?B).

8P(B)?2P(C)531解：?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)

822P(B)?2P(C)531?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)82212?6414P2(B)?12P(B)?5?0,?P(B)??P(B)?

1220?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)?0.5,P(A)?0,1P(A?B)?P(A)?P(B)?0?,217 设A是小概率事件，即P(A)??是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A总会发生（以概率1发生）。

当试验不断地重复进行下去，事件A发生的概率为：

1?limPn(A)?1?lim[1?P(A)]n?1?lim(1??)n?1?0?1

n??n??n??18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,,111,求此秘密被译出的概率。

534解：以A,B,C分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D：表示密码被译出，则

P(D)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4233? 5345

20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。 解：P?1?0.9?0.8?0.7?1?0.504?0.496.

21设A,B,为二事件，设P(A)?0.7,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,求P(A?B). 解：P(AB)?P(A)P(B/A)?0.4?0.6?0.12,

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.12?0.48,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.7?0.48?0.82..

22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在20岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：X:表动物寿命,P{X?25/X?20}?P{X?20，X?25}0.4??0.5

P{X?20}0.823某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概

率为85％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 X:发生特大洪水的时刻。

P{30?X?40}?X?30P{X?30,30?X?40}0.05??0.25

P{X?30}0.224 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球

放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。 （1）问取道白球的概率是多少？

（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？

解：解：A: “首先从甲袋中取到白球” B:收到信号“然后从乙袋中取到白球.”; 由题设:P(A)?1221,P(BA)?,P(A)?,P(B/A)?于是: 333212215???? 33329P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?12?P(A)P(B/A)332由贝叶斯公式有:P(A/B)???;

5P(B)5925 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。

解：A,B分别表示第一次、第二次取得的是次品，则

P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A) 211022221???????.1211121112112626一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。

解：A1,A2,A3分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。B:抽出的一个能工作500h

以上

3P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?i?19590480170???0.894

10010010010010010027 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85， （1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。

（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。

（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品 P(B)?3?i?1P(Ai)P(B/Ai)?255354402???0.035

100100100100100100（1）

255P(A1)P(B/A1)100100??0.362 由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(B)0.04528用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的

概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。

解：A1:“患癌症.” A2:“未患癌症”; B:“检查结果为阳性”; B:“结果是阴性” 由题设:P(A,1)?0.0005P(BA1)?0.95,P(A2)?0.9995,P(B/A2)?0.1于是:

P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?0.0005?0.95?0.9995?0.1?0.100425由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.000475??0.47299;

P(B)0.100425

29二 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。 解：用Ai,表示第i人击中，i?0,1,2,3，则用Bi,表示恰有i人击中，i?0,1,2,3；

P(B0)?0.6?0.4?0.3?0.082,P(B1)?0.4?0.6?0.7?0.184;P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?0.6?0.6?0.7?0.4?0.4?0.7?0.4?0.6?0.3?0.252?0.112?0.082?0.446P(B3)?0.6?0.4?0.7?0.184P(B)?B:表示敌机被击落，则?0.0368?0.2676?0.184?0.4884i?0?3P(Bi)P(B/Bi)?0.184?0.2?0.446?0.6?0.184?1

P(B3/B)?0,184?0.340.488430 某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求：

（1）该厂产品能出厂的概率。

（2）任取一出厂产品未经调试的概率。

解：A1: “任取一产品，.不需调试即可出厂” A2:“任取一产品，调试后能出厂”; B1:“任取一产品，能出厂.”; B2:“任取一产品，不能出厂” 由题设:P(A1)?0.7,P(B1A1)?1,P(A2)?0.3,P(B1/A2)?0.8于是:

P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?0.7?1?0.3?0.8?0.94

由贝叶斯公式有:P(A1/B1)?P(A1)P(B1/A1)0.770??;

P(B1)0.949431 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是p,求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。

解：X:表示试验成功2次时的试验次数，

X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。

1323

P?[C1p(1?p)]p?4p(1?p).432 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n次才取出k(1?k?n)次红球的概率。

1k?19n?k1k?1k?19n?r1kCn?1()()?Cn() ?1()101010101033灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。

记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}

X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X～b(3,0.8)

01P(X?1)?C30.80?0.23?C30.8?0.22?0.23?3?0.23?4?13?0.23?0.104

34某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r根的概率。

1n C2n?r2n?r

2注：可看作2n?r重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为

11，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为B，则B相当于22“第一盒（即用完的那一盒）中取了n根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了n?r1n1n?r1nn根火柴，”的事件，故P(B)?C2()()?Cn?r2n?r2n?r

222

习题二 38页

1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。 解：样本空间??{tt?0},用X表示灯泡的寿命（h）X?X(t)?t是随机变量。 2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。

{报童赔钱}={0.15X<100}, X?10010?666?X?666 0.15153 若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??,其中x1?x2,求P{x1?X?x2} 解：P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?1????,

?0,X?0?的分布函数F(x)??x2,0?x?1，试求（1）

?1,x?1?4 设随机变量X

131P{X?}(2)P{?1?X?},(3)P{X?}

242111(1)P{X?}?F()?224339113(2)P{?1?X?}?F()?F(?1)?;,(3)P{X?}?1?P{X?}?44162245 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个

数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。 解：X表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X的可能取值为0.1，2。

P{X?0}?30C3C23C5?11??0.1, 5?4102P{X?1}?21C3C23C512C3C23C5?66??0.6, 5?410233??0.3, 5?4102P{X?2}??6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律。 解：P{X?i}?0.1i?10.9;i?1,2,3,4;P{X?5}?1?P{X?4} 即

P{X?1}?0.9,P{X?2}?0.09;P{X?3}?0.009,

P{X?4}?0.0009,P{X?5}?0.0001.7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的分布律。 解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.

12111012111098从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,?,10的概率与i成正比，即

P{X?i}?ki,i?1,2,?,10,求k.

解：由归一性：1?i?1?10P{X?i}??ki?ki?1101?10?11?55k 2k?1. 559 已知随机变量X服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件P{X?N}?0.01的自然数N.

解：0.99?P{X?N?1}?e?1N?11111?(1??k!e2?6)?N?4.

k?010 某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。 发生交通事故X服从参数为λ的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},

20?2??2,P{X?0}?e?e?2,一周内发生交通事故的次数记为Y

0!则Y服从二项分布B(7,1?e?2)，故一周内没有发生交通事故的概率为

0P{Y?0}?C7(1?e?2)0e?14?e?14

11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。 p?0.001，（每个工作时内发生故障的概率）

X：100作时内发生故障的次数，X～b(100,0.001)

P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}012?C1000.999100?C1000.99999?0.001?C1000.99998?0.0012 ?0.1?0.10.12?0.1?e?e?0.999840!1!2!??np?0.1e?0.112设X～U[2,5],现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 P{X?3}?5?32? 5?232Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y～b(3,)，

348202221323 P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3()?C3()???3339272713 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为中发病头数的分布律。

k2k150?kP{X?k}?C50()(),(k?0,1,2,?,50)

332,求在50头已感染的羊群32x,0?x?1,14设随机变量X的概率密度为f(x)??，Y表示对X的三次重复观察中事件?0,?1?139?2123 ?3???X??出现的次数，则P{Y?2}?C3()2?4416464??ax2e??x,x?0, 15已知X的概率密度为f(x)??试求（1）未知系数a,(2)X的分布函数

0,x?0.?F(x);(3)X落在区间(0,解：（1）1? ??1?)内取值的概率。

??2??xa??2??xxedx??xde 00??????f(x)dx?a??a2??x??2a????xxe??xed(??x)0?20分部积分

??2a????xxe??x0?ed(x)22?0?? 32a2a?????e??x0?;?a?.332????2a?e??x225?（2）F(x)??1?2(?x?2?x?2),x?0,(3)1?

2e?0,x?0.?16 设随机变量X在[1，6]内服从均匀分布，求方程x2?Xx?1?0有实根的概率。

解：方程x2?Xx?1?0有实根，等价于：??X2?4?0?X?2,or方程x2?Xx?1?0有实根的概率为P?X??2,

4. 517 已知随机变量X服从正态分布N(a,a2),且Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），求a,b.

解：由37页例3知Y?aX?b服从正态分布N(a?a?b,a2?a2)?N(a2?b,a4)，又已知 Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），故a=1,b= -1.

18已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ X服从参数为λ的指数分布，则f(x)????e??x???x?,x?0,,x?0, F(x)??1??ex?0.x?0.?0,?0,g(?)?P{1?X?2)?(1?e?2?)?(1?e??)?e???e?2?

g?(?)??e???2e?2??e??(2e???1)?0,???ln2.求极大值，求导

19设随机变量 X～N(1,4);求P(0?X?1.6),P(X?1). 解：由35页（5）式有：P{0?X?1.6}??(1.6?10?1)??() 221??(0.3)??(?)?0.6179?(1?0.6915)?0.3094

21?1P{X?1}??()??(0)?0.5.

2,20 设电源电压（单位：V）X服从N(220,252)，在X?200200?X?240,X?240三种情况下电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求： （1）该电子元件损坏的概率α

解：由35页（5）式有：P{X?200}??(200?220)??(?0.8)?1?0.7881?0.2119 25240?220200?220P{200?X?240}??()??()?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0..57622525P{X?240}?1?P{X?200}?P{200?X?240}?1?0.2119?0.5762?0.2119

??0.2119?0.1?0..5762?0.001?0.2119?0.2?0.063

(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。

??0.5762?0.001?0.009

0.06321随机变量X的分布律为：

X Pk -2 -1 1 60 1 51 2 53 1 5求Y?X2的分布律。

11 30Y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有： Y?X2 4 -2 1 -1 1 60 0 1 51 1 2 59 3 X Pk 1 5得Y?X2的分布律为

11 30Y?X2 Pk 0 1 7 304 1 59 1 5

11 3022 设随机变量X服从参数为0.7的0—1分布，求X2及X2?2X的分布律。 解：X2参数为0.7的0—1分布。

P{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3,P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7

23 设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?度函数fY(y). 解：对任意的Y.

1?(1?x)2,求Y?2X内的概率密

yFY(y)?P{Y?y}?P{2X?y}?P{X?}??2fX(x)dx

??2y1?2dx，所以： ???(1?x2)y??(y)?fY(y).?FY2?(4?y)2.

24设随机变量X服从U[0,2],求随机变量Y?X2在[0，4]内的概率密度函数fY(y). 解：当0?Y?4时：

FY(y)?P{Y?y}?P{y?X2?y}??f(x)dx

?yXy??0?y0dx??y102dx，所以：

?1,0?y?4,??(y)??4y fY(y).?FY?0,其它.??e?x,x?0,25 设随机变量X的概率密度函数为fX(x)??,求Y?eX的概率密度

?0,x?0,函数fY(y).

解：当Y?1时：FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?0, 当Y?1时：

FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}??所以：

1??0dx??lny?xedx, 1?1?2,y?1,? fY(y).?FY(y)??y?0,y?1.?

补充：设X～N(0,1),(1)求Y?ex的概率密度，（2）求Y?2X2?1的概率密度， (1)Y?g(x)?ex在（??，??）上恒有g?(x)?ex?0,且g(x)有反函数，x?h(y)?lny, 1h?(y)?,??min{e??,e??}?0,??max{e??,e??}???y?(lny)2??12,y?0e故Y的概率密度fY(y)?? y2??y?0,?0,(2)因

Y?2X2?1?1则

Fy(y)?0,(y?1)，

y?12当Y?12时

y?12，

x22Fy(y)?P{2X2?1?y}?P{?y?1?X?2y?1}?y?12??12?e?x2dx?20?012?e?dx2y?1??14,y?1,?fY(y)??2?(y?1)e?y?1?0,

习题三

1.离散随机变量

X与Y相互独立同分布，

P{X??1}?P{Y??1}?11,P{X?1}?P{Y?1}?.求P{X?Y}的概率. 221 P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)?..

2 即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般不会以概率1相等. 2设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表：

X Y 0 1 0 1 2 0.06 b 0.15 0.35 0.09 0.21 (1) 求b,(2)随机变量X,Y是否相互独立？（3）求P{X?1,Y?1} 解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的边缘分布如下表：注意横X竖Y

X 0 1 2 P{Y=j} Y 0 1 P{X=i} 0.06 0.14 0.2 0.15 0.35 0.5 0.09 0.21 0.3 0.3 0.7 1 P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j};i?0,1,2;j?0,1;故X,Y相互独立；

（3）P{X?1,Y?1}?0.06?0.15?0.14?0.35?0.7. 补充题：设P{X?1}?P{Y?1}?P{X?Y?2}?X和Y是相互独立同分布的随机变量，且

11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22111,P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?,P{X?Y?4}?,

24411（2）由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;

223 设P(A)?111?1,A发生,?1,B发生,,P(AB)?,P(BA)?,令X??求Y??0,A不发生,0,B不发生,433??X,Y的联合概率分布。

解：由

1131P(AB)11211P(A)?,P(AB)?,?P(A)?,P(AB)?,P(B)???,P(AB)?43412P(AB)1346

1P(AB)6212P(BA)???,P(BA)??P(BA)?

3933P(A)4111P?P{X?1,Y?1}?P(A)P(B/A)??. 114312121P?P{X?1,Y?0}?P(A)P(B/A)??. 12436321P21?P{X?0,Y?1}?P(A)P(B/A)??.

49128P22?P{X?0,Y?0}?1?p11?p12?p21?.

124设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表： X Y 1 2 P{X=i} 1 2 P{Y=j} 0 1 21 21 31 61 21 32 31 （1）求X,Y的边缘分布律。 解：见上表。

（2）求Y=1的条件下X的条件分布律及X=2的条件下Y的条件分布律。 略。

5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X, Y如下：

?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??, Y??;

1，若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是次品??试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y是

否相互独立？

（1）放回时，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?255,P{X?0,Y?1}?, 363651,P{X?1,Y?1}?, 36364510,P{X?0,Y?1}?, 6666（2）不放回抽样，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?101,P{X?1,Y?1}?, 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，6666不相互独立．

6.随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否独立？

1?,a?x?b,c?y?d,?解 按题意(X,Y)具有联合概率密度f(x,y)??(b?a)(c?d)

?否则.?0,?1?1??,c?y?d,a?x?bfX(x)??b?a, fY(y)??c?d,X及Y是独立的.

??y?dx?b?0,y?c?0,x?a事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当D为矩形区域：a?x?b,c?y?d时，

X与Y分别服从[a,b],[c,d]上的均匀分布，且X与Y独立，反之亦然.

7 随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=

xy(B?arctan)(C?arctan). 223?1求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X与Y是否独立？

解 由分布函数的性质有F(x,??)=0F(??,y)?0,

F(??,??)=1 从而对任意的x,y；有于是，有B?f(x,y)?x?1?y，(B?arctan)(C?)?0(B?)(C?arctan)?0,

2223?2?212?2，C?6?

fX(x)?2?2(4?x2)(9?y2)?(4?x2)，fY(y)?3?(9?y2) 独立。

8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X与Y相互独立，且都服从。N(0,1)分布，规定点

A

落在区域D1?{(x,y)x?y?1}得

222分，点A落在区域

D2?{(x,y)1?x2?y2?4}得1分，点A落在区域D3?{(x,y)x2?y2?1}得0分，

以Z记打靶的得分，写出X,Y的联合概率密度，并求Z的分布律。

x2?y21?2e,???x???,???y???, 解：f(x,y)?2?P{z?2}?极坐标x2?y2?1??f(x,y)dxdyr21?e20r2?1?e201??1?e2.

?12?d???02?rdr?P{z?1}?21?x?y2?4??r2?2f(x,y)dxdy????e21?e?12?e?2.

P{z?0}?x2?y2?4??r2???f(x,y)dxdy????e22?e?2.

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,9 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为f(x,y)??（1）求

其它,?0,常数A,(2)X,Y的边缘概率密度。（3）P{0?X?1,0?Y?2} 解：（1）由

1???????????f(x,y)dxdy?A??????(3x?4y)A????edxdy?(e?3x0)(e?4y0)得

0012?A?12

?12e?(3x?4y),x?0,y?0,（2）f(x,y)??

其它,?0,?????12e?3xe?4ydy?3e?3x,x?0 fX(x)??0?x?0,?0,?????12e?3xe?4ydx?4e?4y,y?0 fY(y)??0?y?0,?0,12（3）P{0?X?1,0?Y?2}?12e?3xdxe?4ydy

00???(e?3x0)(e?4y0)?(e?3?1)(e?8?1).

12?cxy2,0?x?1,0?y?1,10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：f(x,y)??（1）求c,(2)

其它,?0,问X与Y是否相互独立？ 解：（画图）cxdx1211ydy?1?c?)dx?1,00231当0?x?1时，fX(x)?6xy2dy?2x.

0?1?c?6

?12?22x,0?x?1,??6xydx?3y,0?y?1, ?故fX(x)??.fY(y)??0.0,其它,??其它,?0,（2）独立。 11 平面区域D由曲线y?1及直线y=0,x=1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在D上服x从均匀分布，求（X,Y）关于X的边缘密度在x=2处的值。 1e21e2解：SD?dxxdy?dx?lnx1?2

101x?e2???111?xdy?1,1?x?2,fX(x)???02?f(2)?. X2x4?0其它,?12略

13设随机变量X,Y相互独立，均服从同一分布，试证：P{X?Y}?证：P{X?Y}?P{Y?X},

1. 2P{X?Y}?P{Y?X}?P{(X?Y)?(Y?X)}?P{?}?1故

P{X?Y}?1. 27,求常数a 914.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件

A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?(a?1)(a?3)7a?13?aa?13?a ?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)????1?922224a2?4a?3a2?4a?32?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0449 57a?ora?3315（1）X和Y是相互独立同分布的随机变量，且

P{X?1}?P{Y?1}?P{X?Y?2}?11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22111,P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?,P{X?Y?4}?,

244（2）求2X的分布。

11注意：由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;

22

16 设(X,Y)的概率分布如下表： Y X-Y X X+Y -1 -2 -1 0 1 23 1 -3 1 12135 ? 12222 121 -2 0 12113 ? 12220 3 -1 -1 12110 222 12求1)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布。 解：略。

17 设X和Y是相互独立的随机变量，X～B(n1,p); Y～B(n2,p);证明Z=X+Y X～

B(n1?n2,p);

证明：P{Z?k}?i?0?P{X?i}P{Y?k?i}

k?ik?in2?(k?i)Cnpq2ik?ikn1?n2?k?(?CnCn)pq12i?0kkki?Cn1i?0

?kpqin1?i

kkn1?n2?k?Cnpq1?n2ik?ik(其中用到组合公式?CmCn?Cm?n)i?018略

19 设随机变量X1～N(1,2);X2～N(0,3),X3～N(2,1),且X1,X2,X3相互独立，求

P{0?2X1?3X2?X3?6},(已知?(1)?0.8413).

解：由62页2X1?3X2?X3～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36), 故由34页有

P{0?2X1?3X2?X3?6}??(??(1)??(0)?0.34136?00?0)??(),(已知?(1)?0.8413). 66??t20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为f(t)??te,t?0，设各周的需要

?0,t?0量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度.

Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)??????f(x1,z?x1)dx1????fX(x1)fX1??2(z?x1)dx1

?x?0,要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,??1

z?x1?而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z, 故fZ(z)??0zx1(z?x1)e?z32x1zx1?zdx1?(?)e23z0z2?z?e,(z?0) 6?z3e?z?故fZ(z)??3!,z?0

?z?0?0,21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：

?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0,f(x,y)??2（1）X与Y是否相互独立，（2）求Z=X+Y的概

?其它,?0,率密度。

解：（1）fX(x)?e??1?x??1(x?y)e?ydy??e?x(x?y)de?y

0202????1??1??e?x(x?y)e?y0?e?x?e?yd(x?y)(注x:常量)022111?? ?xe?x?e?x(?e?y0)?e?x(x?1),2221fY(y)?e?y(y?1),f(x,y)?fX(x)fY(x),不独立.2??z1当z?0时,fZ(z)??f(x,z?x)dx??(x?z?x)e?(x?z?x)dx??02（2）

1?zz12?z?ze?dx?ze.02222.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.

设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202)i?1,2,3,4.令

Y?min{X1,X2,X3,X4}则P{Y?180}?[P{X1?180}]4，而P{X1?180}?1??(1)?0.1587 因

此P{Y?180}?0.000634

23 设随机变量X1,X2,X3相互独立，且Xi服从参数为?i(?i?0)的指数分布，求

P{min{X1,X2,X3}?X2}.

解：X1,X2,X3的联合密度为

????e??1x1??2x2??3x3,x,x,x?0123 f(x1,x2,x3)??123其它,?0,P{min{X1,X2,X3}?X2}?P{X2?X1,X2?X3}????0x22????????2e??2x2dt2?1e??1x1dx1?3e??3x3dx30x2x2???(???2??3)x2?2??2e1dx2?.0?1??2??3(??????x?1?2?3e??1x1e??2x2e??3x3)dx1dx3dx2???

?习 题 四

补充;设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则 D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46

1 设X服从如下表的概率分布： X -1 0 12 1 2 概率 1 31 61 61 121 4求(1)E(X),(2)E(?X?1),(3)E(X2) 解：E(X)?(?1)?11111112?0????1??2??;E(?X?1)? 36261243311111135E(X2)?(?1)2??02????1??4??;

3646124242 设X的概率密度为f(x)??e解：E(X)???x,0?x??,求(1)E(X),(2)E(X2)

其它,?0,xde?x??xe?x00?????0??xe?xdx????1

?????xedx 0??e?x0??E(X2)????2?x??2?x???x??xedx??xde??x2e?x0?2xedx?2 000??3 设随机变量X,Y相互独立，其概率率密度分别为：

?e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1,求E(XY). fX(x)??fY(y)??0,其它.y?5.??0,解： E(XY).?E(X)E(Y)?(独立?02x12dx)?(???5ye?(y?5)dy)

??2x312?(y?5)?(y?5)???()(?yde)?(?ye530?53???(y?5)2?edy)?(5?1)?453

?4 验证f(x)?1?(1?x)2,(???x???)是某个随机变量X的概率密度，但具有这概率

密度的随机变量X的数学期望不存在。 证明：（1）

?????f(x)dx??001???(1?x2)dx??????10?(1?x)x22dx?1

（2）

?????xf(x)dx??xdx?x???(1?x2)dx??00?(1?x)dx

而

????(1?x2)01?ln(1?x2)????；所以??。

5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为

??x?1f(x)??e4,x?0,工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售

4?0,x?0.?出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

A:售出设备一年内调换，Y:表示调换费用。则：P(A)?14?04e11?x1?4dx?1?e4,

E(100?Y)??(100?yk)pk=100ek??200(1?e?14)?33.64（元）

6某车间生产的圆盘直径在期间(a,b)上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

?1?,a?x?b,解 直径X～f(x)??b?a记圆盘面积S,则

?其它,?0,x2?b21?1x3b E(S)?E(??)??xdx???44ab?a4b?a3a??12(a2?ab?b2).

7．设X,Y的分布律如下表:

X Y -1 0 1 P{X?xi} 1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 3 0.0 0.3 0.1 0.4 P{Y?yj} 0.3 0.4 0.3 1 （1）求E(X),E(Y)，（2）设Z?Y，求E(Z);（3）设Z?(X?Y)2,求E(Z). X（1）X,Y的边缘分布见上表，故：EX?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2,EY??1?0.3?1?0.3?0 （2）EZ?（3）EZ???XiijijYjPij??1?1?1110.2?0.1?0?????0.1?? 123315??(xi?yj)2Pij???5

1,求28X,Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?0}?P{X?1}?max{X,Y}和min{X,Y}的数学期望。

解：记M?max{X,Y},m?min{X,Y}则：

P{M?0}?P{X?0}P{Y?0}?13，P{M?1}?1?P{M?0}? 4413P{m?1}?P{X?1}P{Y?1}?，P{m?0}?1?P{M?1}?

44故E[max{X,Y}]?31,E[min{X,Y}]? 44?12y2,0?y?x?1,9 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求：

其它,?0,E(X),E(Y),E(XY),E(X2?Y2).

x???12y2dy?4x3,x?(0,1) fX(x)??0?其它,?0,?112y2dx?12y2(1?y),y?(0,1)?fY(y)???y

?其它,?0,114E(X)??xfX(x)dx??4x4dx?.

005113E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?.

0051x1E(XY)???xy?12y2dydx?.

002112216E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy?????

00351510 设系统I由元件A,B并联而成，X,Y分别表示A,B的寿命（以h记）并设A,B相互独

??e??x,x?0,立，且服从同一分布，其概率密度函数为f(x)??求系统I的寿命Z的数学

x?0?0,期望。

?1?e??x,x?0,解：分布函数为F(x)??而Z?Max{X,Y}，由63页

x?0?0,?(1?e??z)2,z?0,?2?(1?e??z)e??z,z?0 FZ(z)???fZ(z)??z?0z?0,?0,?0,E(Z)??2???2??0???2ze??z0ze??zd(??z)???2?????13?.2?2?????zedz?00ze?2?zd(?2?z)??ze?2?z0?????2?zedz 011 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的期望与方差。。

解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.

1211101211109E(X)?0?0.75?1?0.2045?2?0.0409?3?0.0045?0.301

E(X2)?0?0.75?1?0.2045?4?0.0409?9?0.0045

?0.2045?0.1636?0.0405?0.4086D(X)?E(X2)?E2(X)?0.4086?0.09?0.318

12．随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1是常数.求E(X),D(X). E(X)?k?1?kqk?1?pk?1????q1??. (q?1?p)=p(q?q2?q3??)=p??1?q?p??1?p?p(kqk)? =p[q(qk)?]??p[q()?]?

1?qk?1k?1 E(X)?2?k?2k?1q??????q?(1?q)2?2(1?q)q1?q???p?2 其中“′”表示对q的形式导数. =p?2?4(1?q)(1?q)p??D(X)?qp2,，

13．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求E(X),?2,D(X)?2.

14设X为随机变量，c是常数，若c?E(X),证明:D(X)?E{(X?c)2}.（由于

D(X)?E{[X?E(X)]2},上式表明E{(X?c)2}当c?E(X).时取到最小值。

证明：因为

E{(X?c)2}?D(X)?E(X2.)?2cE(X)?c2?{E(X2)?[E(X)]2} ?c2?2cE(X)?[E(X)]2?[c?E(X)]2?0.

所以：??。

?x2???xe2?2,x?0,15设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)??2其中??0,是常

???x?0.?0,数.求E(X),D(X).

E(X)?

?2??0??x2?x22?22?2eex2?)dx??x2??0??22??xde2???xe2?0??x2?x2?0???x22e2?dx，

?0???(d(x22?2)?2??4??x2?2??x22?2??0???x22?2E(X2)??0??x32??edx?????22xde2?02?x2??x2e??0edx2??2??22??e2?0x2

?d(?x22?2)??2?e2?2??0?2?2DX?(2??2)?2

16设随机变量X～N(0,4),随机变量Y服从（0，4）上的均匀分布，并且X与Y相互独立，求D(X?Y),D(2X?3Y),E(X?2Y)2.，

(4?0)24解：由已知及75页4 76页 7有D(X)?4,D(Y)??,；又X与Y相互独立，

123再由73页知：

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?16. 3D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28.

E(X?2Y)2?E(X2)?4E(X)E(Y)?4E(Y2)?D(X)?[E(X)]2?4E(X)E(Y)?4{D(Y)?[E(Y)]2} 41?4?0?4?0?2?4(?22)?25.3317 5家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为

X1,X2,X3,X4,X5,已知X1服从N(200,225),X2服从N(240,240),

X3服从N(180,225),X4服从N(260,265),X5服从N(320,270)X1,X2,X3,X4,X5,相互独立，

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？

解：（1）记X?i?1?Xi,?E(X)?200?240?180?260?320?1200.

5D(X)?225?240?225?265?270?1225.

（2）X?i?1?Xi,～N(1200,1225)即N(1200,352).

5X?1200T?1200P34(5)T?1200P(X?T)?P(?)??()353535查表T?1200?0.99??(2.33),?2.33

35T?35?2.33?1200?1282(kg)18 设随机变量X服从某一期间上的均匀分布，且E(X)?3,D(X)?（1）求X的概率密度。 （2）求P{X?2}； （3）求P{1?X?3}.

1. 3?b?a?3,??b?a?6,?2?a?4,?a?2,??解：（1）???b?2,or?b?4,故 22??(b?a)?1,?(b?a)?4??3?12?1?,2?x?4,f(x)??2 （2）P{X?2}?0

??0,其它,（3）P{1?X?3}??120dx??3122dx?1. 219 重复掷一均匀硬币n次，记X为正面出现的次数，X与YY为反面出现的次数，求X与Y的相关系数。

Y?n?X,?XY?解

E{[X?E(X)][n?X?E(n?X)]}D(X)D(n?X)

??{E[X?E(X)]}?D(X)???1D(X)D(X)220设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求D(2X?Y),D(X?2Y). 解：由77页：

2 设总体X服从正态分布N(72,100),为使样本均值大于70的概率不少于90％，其样本容量至少应取多少？ 解：由104页（3.3）因为X服从N(72,查表100),?P{X?70}?1?P{X?70}，从而 n?(1.29)?0.90?P{X?70}?1?P{X?70}?1?P{X?7210

70?72教材P34(5)n?}??(),?(x)单增.5n10n故:1.29?n,n?6.452?41.6025,取n?42. 53 设总体X～N(?,?2),?,?2均未知，已知样本容量n?16,样本均值

X?12.5,样本方差s2?5.333,求P{X???0.4}.

解： s?5.333?2.312由104页定理4，

P{X???0.4}?1?PX???0.4?P{X????0.4}.

???????X??t(15)??X??t(15)?P{X???0.4}?1?P???0.692??P??0.692?

?????2.312/4??2.312/4?P{X???0.4}查表t分布的对称性????X??t(15)?1?2P??0.692????2.312/4?

?1?2?0.25?0.5.4在正态总体N(20,3)中抽取2个独立样本，样本均值分别为X,Y，又样本容量分别为10，15，则P{X?Y?0.3}?0.6774 注：X～N(20,33),Y～N(20,),X,Y独立。， 1015E(X?Y)?0,D(X?Y)?DX?DY?331?? 10152故P{X?Y?0.3}?P{X?Y12X?Y12?0.32}?P{X?Y12??0.32}

?2[1?P{?0.32}?2?(0.32)?0.67745在正态总体N(?,0.52)中抽取个独立样本X1,X2,?,X10,， （1）已知?102?0,求P{Xi?4};（2）?未知,求P{(Xi?X)2?2.85};

i?1i?1?10?解：（1）由99页定理1有

10X210Xi?0i服从N(0,1),??4?Xi2服从?2(10)，故：

20.5i?10.5i?1P{?Xi2?4}?P{4?Xi2?16}i?1i?11010查表?2(10)?100.1;

（2）104页定理3,10i?1?10(Xi?X)20.52?4?(Xi?X)服从?2(9)，故

i?1P{?(Xi?X)2?2.85}?P{4?(Xi?X)2?11.4}i?1i?110查?2(9)?0.25;

6设X1,X2,?,Xn为泊松分布P(?)的一个样本，X,S2为样本均值和样本方差，求

（1）(X1,X2,?,Xn)的分布律。（2）D(X),E(S2).

P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??P{X?xi}解：

nn???xii?1xi!e????i?1?xie?n?,(xi?0,1,2,?)ni?1

?xi!i?1nX1,?,Xn独立同分布P74:D(Xi)??1n1?D(X)?D(?Xi)?D(Xi)?.

ni?1nnn?1?2E(S)?E?(?Xi?nX????n?1i?1?nn?{D(Xi)?[E(Xi)]2}?{D(X)?[E(X)]2 n?1n?1nn??{???2}?{??2}??n?1n?1n27总体X～N(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，（1）求X1,X2,?,Xn的联合

概率密度。（2）求X的概率密度。

（1）??????e?2???1n?i?1?(xi??)22?2n（2）

12???ne2(??(x??)2n)2

8设X1,X2,?,Xn,Xn?1,?,Xn?m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n?m的样本，求下列统计量的抽样分布：

（1）Y?1n?mi?1?2?Xi2;m?Xi(2)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?m?Xi2(3)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?解（1）?2(n?m),

Xi2i?n?12n?m??服从?2(m),i?1服从N(0,1);n?m?Xini?1?Xin （2）

?Xin?(相当于N(0,1)n

2Y?ni?1n?m?Xi2i?n?1?nn?m)服从t(m);i?n?1?Xi2?(m)mm?2nm?Xi2(3)Y?ni?1n?mi?1?Xi2n?2;服从F(n,m).

?Xi2i?n?1?n?mi?n?1?Xi2m?2

补充：设X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，求变量样本均值X的数学期望与方差。

解：由于X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，故 1E(Xi)?n,D(Xi)?2n，E(X)?n1n?i?1nE(Xi)?1?n?n?n， nD(X)?D(Xi)?2?n?2n?2 2?nni?113设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的极大似然估计和矩估计，

解：先求极大似然估计：P{X?k}??kk!e??,k?0,1,?;L(?)??nn?xixi!i?1e??,

lnL(?)?(?i?1nxi)ln??n???i?1nln(xi!)，令

dlnL?0,?d??xii?1???x ?n?0????x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,??

习题六

1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,74.993,74.0067,74.002, 试求总体均值均值?及方差?2的矩估计， ??1?EX???x,?解：由P 令?12222??EX?DX?(EX)?????2?n??xi2i?1n

1??x?故?8?i?181xi?74.001375;??8?2?2?6?10?6 ?x12??i?182设总体X的概率分布为

kP{X?k}?C2(1??)k?2?k,K?0,1,2,?,n.X1,X2,?Xn是来自总体X个样本，

求参数?的矩估计量。

??解：E(X)?2p?X?P令X 2?3设总体X的概率密度为f(x)???x??1,0?x?1,X,X,?X是来自总体X12n?0,其它,个样本，x1,x2,?,xn是样本值，求参数?的矩估计量及矩估计值。 解：E(X)???1?令0xdx??11??1?X;?1???X. ??X?X?1,??(X)2X?1为?的矩估计 n2nL(?)????(x1?xn)??1;lnL?n2ln??(??1)?lnxi

i?1?lnLn1?n令??lnxi?0,????n2??2?2?i?1n.为最大似然估计

(?lnxi)2i?14X1,X2,?Xn是来自正态总体N(μ,1)的样本,求μ的最大似然估计。 nn解：L(?)??f(xi)?1e?12(xi??)2 i?1?i?12??1n2?1n(x?(2?)?e2?i?1i??)2,?lnL??nln(2?)?1?n(xi??)222?lnLni?1

???12[?xi?n?)?0,???n令?1i?1n?xi?x.i?15设总体X的概率分布为P{X?k}?p(1?p)k,0?P?1.k?1,2,3，X1,X2,?Xn是来自总体X个样本，求参数p的极大似然估计.

nnnL(P)?xi}?xxi?pn(1?P)i??1i;解：

?P{X??P(1?P)i?1ni?1

lnL?nlnP?(?xi)ln(1?P),i?1?lnL?n?1nx?0,?1?P?令?PP1?P?iX,i?1P为最大似然估计

P??1.(参考答案1X?1X)

；

?

补充：设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的和矩估计，

解：先求极大似然估计：P{X?k}??kk!e??,k?0,1,?;L(?)??nn?xixi!i?1e??,

lnL(?)?(?i?1nxi)ln??n???i?1nln(xi!)，令

dlnL?0,?d??xii?1???x ?n?0????x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,??6设总体

X服从对数正态分布，即lnX～

求?,?2的极大似然估计。 N(?,?2),???????,??0,x1,x2,?,xn是样本值，解：略

??7设总体X的概率密度，f(x)??(1??)x,0?x?1,其中???1,未知参数为α.，设

?0,其它x1,x2,?xn为其样本值，试求α的极大似然估计和矩估计，

解：矩估计，令X?EX??01x(1??)x?dx???12x?1??,??

??22?xn极大似然估计

nL(?)??(??1)xi??(??1)n(x1?xn)?i?1，

lnL(?)?nln(??1)???lnxi，

i?1ndlnLnnn???lnxi?0,??1??,???1?

nnd???1i?1?lnxi?lnxii?18设X1,X2,?Xni?1是来自参数为?的指数分布的总体X,X的概率密度，

??C?x?(??1),x?C（1）?的矩估计，（2）?的f(x)??,其中C?0已知,??1未知,求：

否则?0,极大似然估计。

解：矩估计，令X?EX?????1?c??xCx??(??1)dx??C?x???1??C????1C.

???1C1C1X?C??X. ?,1??,?,???X?XXX?C极大似然估计

n：

L(?)???C?xi?(??1)i?1n，

lnL(?)?nln??n?lnC?(??1)?lnxi，

i?1ndlnLn????nlnC??lnxi?0,??nd??i?1n,

i?1?lnxi?nlnC布

，

其

分

布

律

为

：

9 设总体

X服从二项分

xxP{X?x}?Cmp(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m.X1,X2,?Xn是来自总体X个样本，求(1)

参数p的矩估计量。(2)p的极大似然估计。

??解：（1）令E(X)?mp?X,?pnnX. mxixiL(P)??P{X?xi}??CmP(1?P)m?xi（2）

xilnL??lnCm?(?xi)lnP??(m?xi)ln(1?P)i?1ni?1nni?1n

i?1i?1nndlnLi?11n??(m?xi)?0,?(1?P)?xi?P?(m?xi)?0,?P1?Pi?1令dP为最i?1i?1nx?x?nmP,?P?.?imi?1?xi大似然估计

10设总体X的概率分布为 X P 0 ?2 1 2?(1??) 2 ?2 3 1?2? 1其中?(0???)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3。求?2的极大似然估计和矩估计，

解：矩估计：令X?EX?1?(2??2?2)?2?2?3?6??3?4?， 又x?1616??1. ??3?4??4??1??884L(?)?P(X?0)?[P(X?1)]2?P(X?2)?[P(X?3)]4（抽样时，X?0出现一次，X?1出现两次，

） X?2出现一次，X?3出现四次，

??2[2?(1??)]2?2(1?2?)4?4?6(1??)2(1?2?)4

LnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?)dlnL628628????0,????6(1??)(1?2?)?2?(1?2?)?8?(1??)d??1??1?2??1??1?2??6(1?3??2?2)?2??4?2?8??8?26?18??12?2?10??12?2?24?2?28??6?0,

14?527?1312?2?14??3?0,???(舍?)2412???7?13 1211设X1,X2,X3是来自总体X的样本，T1?111X1?X2?X3 632212111T2?X1?X2?X3,T3?X1?X2?X3

555333（1） 指出T1,T2,T3中那几个为总体均值均值?的无偏估计， （2） 判断上述无偏估计中那一个较为有效？

解：（1）T1,T2,T3均为?的无偏估计，（2）T3最有效。

12设X1,X2,?Xn是来自总体X～N(?,?)的一个样本，试确定常数C，使C为?2的无偏估计。 解; E[C2?(Xi?1?Xi)2i?1n?1?(Xi?1?Xi)]?c?[E(Xi2?1)?E(Xi2)?2E(Xi?1)E(Xi)](X1,X2,?Xn独立同分布于

2i?1i?1n?1n?1X) ?2c(n?1)[E(X2)?(EX)2]?2c(n?1)?2; ?c?1

2(n?1)213设X1,X2,?Xn是来自总体X～N(?1,?2)的一个样本，设Y1,Y2,?Yn是来自总体

1Y～N(?2,?2)的一个样本，两样本独立，?1,?2未知。 （1） 求?1??2的一个无偏估计。

解：令E(X)?E(Y)??1??2?X?Y得?1??2的一个无偏估计X?Y

2（2） 证明：Sw?1212[?(Xi?X)??(Yi?Y)2]是?2的无偏估计。

n1?n2?2i?1i?1令nn2n1?1)1122n2?1[)?(Xi?X)?(Yi?Y)2] 证明：Sw??n1?n2?2n1?1i?1n2?1i?1nn Sw?2122[(n1?1)SX?(n2?1)SY]

n1?n2?2n而有114页2：

112E(SX)?E[?(Xi?X)2]??2,n1?1i?12E(SY)?12E[?(Yi?Y)2]??2;故E(Sw)??2n2?1i?1n2

??的2倍，试找出常数?,??14 设??212是参数?的两个独立的无偏估计，且?1的方差为??k??k1,k2;使得k1?122也是?的无偏估计，并在所有这些估计中方差最小。

?)??2 解：由已知有k1?k2?1;记D(?2222222??k???D(k1?122)?k12??(1?k1)]??(3k1?2k1?1)??f(k1)

122令:f?(k1)??(6k1?2)?0,k1?,k2?33记15 设总体X～N(?,?2),现从总体取得容量为4的样本值： 1.2， 3.4， 0.6， 5.6，

（1）若已知??3，求μ的置信水平为99％的置信期间。 解：由117页（3.3）因为P{X???n?u?}?1??，故μ的置信水平为1-α=0.99（α=0.01）

2的置信期间为（X??nu0.005,X??nu0.005),而x?2.7,u0.005?2.57即

2.7?3?2.575?2.7?3.8625,(?1,1625,6.5625), 2（2）若已知σ未知，求μ的置信水平为95％的置信期间。 解：由117页（3.5）因为P{X??Sn?t?}?1??，故μ的置信水平为1-α=0.95（α=0.05）

2St0.025(3),而x?2.7,t0.025(3)?3.1824, 211S2?[1.52?1.72?1.92?2.92]?[2.25?2.89?3.61?8.41]?5.72,s?2.395

332.395?3.1842?2.7?3.813,(?1.113,6.518), 即2.7?2的置信期间为（X?参考答案(?0.923,6.323)

16 某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量（单位：g）分别为：

1001， 1004， 1003， 1000， 997， 999， 1004， 1000， 996， 1002， 998， 999。 （1）求μ的置信水平为99％的置信期间。 解：由117页（3.5）因P{X??Sn?t?}?1??，故置信水平为1-α=0.99（α/2=0.005）

2的置信期间为（X?S23t0.005(11),而x?1000.25,t0.005(11)?3.1058,

176.25?6.932,s?2.644 112.644?3.1085?1000.25?2.373,(997.877,1002.623), 即1000.25?3.464S2?（2）求?2的置信水平为95％的置信期间。 解：1-α=0.95（α=0.025）?0.975(11)?3.816,22?0.025(11)?21.920

((n?1)s222?0.025(11)?0.975(11),(n?1)s2)?(76.2576.25,);(3.478,19.82) 21.923.816

17 假设新生婴儿（女孩）的体重服从正态分布，随机抽取15名新生婴儿，测得其体重（g）为: 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540.求：（1）新生婴儿体重的置信水平为95％的置信期间。 （2）新生婴儿体重的方差的置信水平为95％的置信期间。 解：(1)置信水平为（X?1-α=0.95（α/2=0.025）的置信期间为

S15t0.025(14),而x?3096,t0.025(14)?2.1448,

,3295) 即(2818(2) 解：1-α=0.95（α=0.025）?0.975(14)?5.629,22?0.025(14)?26.119

((n?1)s22?0.025(14),(n?1)s22?0.975(14))?(70687,405620)

18为了估计磷肥对农产品的作用，现选20块条件大致相同的土地，其中10块不施磷肥，

另外10块施磷肥，测得平均产量（kg）如下：

不施肥：560， 590， 560， 570， 580， 570， 600， 550， 570， 550， 施肥： 620，570，650，600，630 ，580， 570， 600， 600， 580。

设不施磷肥和施磷肥的平均产量均服从方差相同的正态分布；试对不施磷肥和施磷肥的平

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