北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

必修模块5试题 .

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 选择题 共50分

一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知等差数列{an}中，a7 a9 16,a4 1,则a12的值是 A . 15 B . 30

C. 31 D. 64

2

2. 若全集U=R,集合M＝xx 4，S＝ x

3 x

0 ，则M ðUS = x 1

A.{xx 2} B. {xx 2或x 3} C. {xx 3} D. {x 2 x 3} 3. 若1＋2＋22＋……＋2n>128，n N*，则n的最小值为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

4. 在 ABC中，B 60，b ac，则 ABC一定是

2

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

11

5. 若不等式ax2 bx 2 0的解集为 x| x ，则a－b值是

23

A.－10 B.－14 C. 10 D. 14

6. 在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17 a18 a19 a20的值是

A．14

B．16

C．18

D．20

7．已知x 2y 1，则2x 4y的最小值为

A．8 B．6 C．22 D．2

8. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的

块数是

A.4n 2 B.4n 2 C.2n 4 D.3n 3

第1个 第2个 第3个

x 4y 3 0

9. 已知变量x,y满足 3x 5y 25，目标函数是z 2x y，则有

x 1

A．zmax 12,zmin 3 C．zmin 3,z无最大值

B．zmax 12,z无最小值 D．z既无最大值，也无最小值

10．在R上定义运算 :x y x(1 y)，若不等式(x a) (x a) 1对任意实数x成立，则

实数a的取值范围是

A． 1 a 1 B．0 a 2 C．

1331 a D． a 2222

第Ⅱ卷 非选择题 共100分

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）

11. 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．

12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不

等式表示为 . 13. 在数列 an 中，a1 1，且对于任意正整数n，都有an 1 an n，则a100＝ ________________.

14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数 表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N*）是位于 这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，

1

2 3 4

5

6

如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________ ，__________

7 8 9 10

…………………………

三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本小题满分12分）△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积。

A

B

2 D 1 C

16.（本小题满分14分） 已知数列{log2(an 1)},(n N*)为等差数列，且a1 3,a3 9. （１）求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和Sn。

17．（本小题满分12分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）。

18.（本小题满分14分）已知a∈R,解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．

19.（本小题满分14分）某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差

A

数列逐年递增．

（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。

20．（本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an-2(n=1,2,3 )，数列{bn}中，b1=1，点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上．（I）求数列{an},{bn}的通项an和bn； (II) 设cn an bn，求数列 cn 的前n项和Tn，并求满足Tn<167的最大正整数n．

必修模块5试题答案及评分标准

一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在的横线上） 1112。

aa m ；13。 4951；14。63，53。 bb m

三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．解：在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，

A ∴AD＝2sin60o＝．………………………………………… 3分 在△ACD中，AC2＝(3)2＋12－2××1×cos150o＝7，…………6分 ∴AC＝7． ………………………………………………8分 ∴AB＝2cos60o＝1． S△ABC＝

B 2 D 1 C

13

×1×3×sin60o＝3． ………………………………12分 24

16. 解:（１）设等差数列{log2(an 1)}的公差为d. ……………………… １分 由a1 3,a3 9得,2(log22 d) log22 log28,解得d=1. …………………4分

所以log2(an 1) 1 (n 1) 1 n,

an 2n 1. ………………………………7分

（２） an 2n 1.

Sn a1 a2 an (2 1) (22 1) (2n 1) (2 2 2) n

2

n

………………9分

2( 1n2)

n …………………… １2分

1 2

2

n 1

n 2 ……………… １4分

o

o

o

17．在△ABC中，∠ABC＝155－125＝30，…………1分 ∠BCA＝180o－155o＋80o＝105o， ………… 3分 ∠BAC＝180o－30o－105o＝45o， ………… 5分

1

50 25， ………………7分 2

ACBC

由正弦定理，得 ………………9分

sin300sin450

BC＝

A

BC

sin300∴AC＝=（浬） ………………………………11分

sin4502

浬． ………………………………12分 18.解：（１）当a＝0时，不等式的解集为x＞1； ………………………… 2分

（２）当a≠0时，将原不等式分解因式，得a(x－1)(x－1)＜0 ……………… 4分

a

①当a＜0时，原不等式等价于(x－1)(x－1)＞0，不等式的解集为x＞1或x＜1；6分

aa②当0＜a＜1时，1＜1，不等式的解集为1＜x＜1； ……………………………8分

aa③当a＞1时，1＜1，不等式的解集为1＜x＜1； …………………………10分 aa④当a＝1时,不等式的解为 . ………………………12分 综上，当a＝0时，不等式的解集为（1，+∞）；当a＜0时，不等式的解集为（－∞，（1，+∞）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，

1

）∪a

11）；当a>1时，不等式的解集为（，1）；当aa

a=1时，不等式的解集为 。 ……14分

19.（Ⅰ）依题意f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n ……………………3分

14.4

0.2n(n 1)

0.9n ……………………5分

2

0.1n2 n 14.4 ……………………7分

（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有

S

11

f(n) (0.1n2 n 14.4) ……………………9分

nn

n14.4 1 1……………………………………11分10n

……………………………………………　12分

n14.4

，即n=12时，等号成立. ………………13分 10n

2 1.2 1 3.4

仅当

故：汽车使用12年报废为宜. ………………………………14分 20.解（1） Sn 2an 2,Sn 1 2an 1 2,

又Sn－Sn 1＝an，（n 2,n N*) ………… 2分 an 2an 2an 1, an 0,

.

an

…………3分 2,(n 2,n N*),即数列 an 是等比数列。

an 1

a1 S1, a1 2a1 2,　　即a1＝2，　　　　

　 an 2…………………………………………………………4分 点（Pbn,bn 1)在直线x-y+2=0上， bn bn 1＋2＝0

n

bn 1 bn 2,即数列 bn 是等差数列，又b1＝，1 bn 2n 1 7分

（II） cn＝(2n 1)2n,

Tn＝a1b1 a2b2 anbn 1 2 3 22 5 23 (2n 1)2n,……9分 2Tn 1 22 3 23 (2n 3)2n (2n 1)2n 1

因此： Tn 1 2＋(2 22＋2 23＋ ＋2 2n) (2n 1)2n 1 ……10分 即： Tn 1 2 (23 24 2n 1） (2n 1)2n 1

Tn (2n 3)2n 1 6 ……………………12分 Tn 167,即：（2n 3)2n 1 6 167,于是(2n 3)2n 1 161

又由于当n 4时，(2n 3)2n 1 (2 4－3）25＝160，当n 5时，(2n 3)2n 1 (2 5－3）26＝448，

故满足条件Tn 167的最大正整数n为4……………………14分

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