证明（一）

第六章 证明（一）

●课时安排 8课时

第一课时

●课 题

§6.1 你能肯定吗 ●教学目标

（一）教学知识点

1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确.

2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理. （二）能力训练要求

1.通过探索，让学生初步了解数学中推理的重要性.

2.初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理. ●教学重点

判定一个结论正确与否需进行推理. ●教学难点

理解数学推理的重要性. ●教学方法

自学、讨论、引导法. ●教具准备 投影片四张

第一张：想一想，（记作投影片§6.1 A） 第二张：做一做，（记作投影片§6.1 B） 第三张：做一做，（记作投影片§6.1 C） 第四张：议一议，（记作投影片§6.1 D） ●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？

［生］需要推理证明.

［师］很好.从今天开始，我们来学习第六章：证明（一）. Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们来动手画一画，然后归纳、总结（出示投影片§6.1 A） 图6－1 如图6－1，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？ ［生甲］我画出四边形ABCD，找到四边形的中点E、F、G、H后，量了量四边形EFGH的边发现：EF=GH，EH=GF.角∠EHG=∠EFG，∠HEF=∠HGF.

［生乙］由此说明：四边形EFGH是平行四边形.

［师］很好.如果改变四边形ABCD的形状，你还能得到类似的结论吗？大家再来动手画一画、量一量.

［生丙］我改变了四边形ABCD的形状后，它们四边的中点所围成的四边形EFGH仍然是对边相等、对角也相等.即：四边形EFGH是平行四边形.

［生丁］老师，我看到周围同学画的四边形ABCD的形状都与我的不一样，但连接这

四条边的中点E、F、G、H所得到的四边形EFGH经测量知：它们都是平行四边形.所以由此可得：任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形.

［师］丙同学的结论，你能肯定吗？同学们来讨论一下.

［师生共析］好.在八年级上册我们已经知道：连接三角形的两边中点的线段是三角形的中位线.由于E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三角形.即：可以连接AC，也可以连接BD.把四边形ABCD变为△ABC与△ADC或△ABD与△BDC.

图6－2

现在我们来连接AC.如图6－2.

在△ABC中，EF是△ABC的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得：EF平行于AC且等于AC的一半.

同样，在△ADC中，GH是△ADC的中位线，则GH平行于AC且等于AC的一半. 由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”可知：EF∥GH.又因为：EF=

12AC，GH=

12AC，所以得EF=GH.这样由平行四边形的判定：一组对边平行且相等的

四边形是平行四边形.可以得到：四边形EFGH是平行四边形.

即：连接AC

［师］刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平行四边形.

注：本题连接BD与连接AC的推理过程一样.

通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证. 下面我们来做一做（出示投影片§6.1 B） 当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数？与同伴交流 ［生甲］当n=0时，n2－n+11=11. 当n=1时，n2－n+11=11. 当n=2时，n2－n+11=13. 当n=3时，n2－n+11=17. 当n=4时，n2－n+11=23. 当n=5时，n2－n+11=31.

由此可知：当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值都是质数.

［生乙］这样我们就可以得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数. ［师］你一定能肯定吗？ ??

［师］好，下面我们再来做一做（出示投影片§6.1 C）

图6－3 如图6－3，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流. ［生甲］能放进一颗红枣，也能放进一个拳头. ［生乙］不行. ??

［师］同学们讨论得很精彩，但都不能肯定，那么怎样才能肯定呢？

要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.

那大家来想一想、议一议（出示投影片§6.1 D） （1）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明. （2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明. ［生甲］在数学学习中，我们曾用到过推理.如：判定一个四边形是不是平行四边形； ［生乙］还有判定一个四边形是否是梯形. ??

［生丙］在日常生活中，我们也常用到推理.如：某同学的笔丢了.然后通过推理，说明另一同学拿了.

??

［师］同学们举出了许多的例子，说明不论在日常生活中，还是在数学学习中，要判断一件事情或一个结论正确与否，必须进行一步一步有根有据地推论.

下面我们来通过练习熟悉本节课的内容. Ⅲ.课堂练习

（一）课本P174随堂练习.1、2、3.

1.图6－4中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.

图6－4

答案：a与b的长度相等.

图6－5

2.图6－5中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.

答案：线段b与线段d在同一直线上.

2

3.当n为正整数时，n+3n+1的值一定是质数吗？

答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数. （二）课本P175 读一读：“费马的失误”. （三）看课本P173~175，然后小结. Ⅳ.课时小结

本节课主要研究了：要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理. Ⅴ.课后作业

（一）课本P176习题6.1 1、2、3. （二）1.预习内容P177~180 2.预习提纲

（1）定义的概念是什么？ （2）命题的概念是什么？ Ⅵ.活动与探究

1.有没有这样的质数，当它加上10和14时仍为质数.若有，求出来；若没有，请证明. ［过程］这是一个找符合条件的质数问题.由于质数分布无一定规律，因此从最小的质数试验起.希望能找到所求的质数，然后再加以逻辑的证明.

［结果］因为2+10=12,2+14=16,所以质数2不适合. 因为3+10=13，3+14=17，所以质数3符合要求. 因为5+10=15，5+14=19，所以质数5不合要求. 因为7+10=17，7+14=21，所以质数7不适合. 因为11+10=21，11+14=25，所以质数11不适合. ??

从上面的观察，3合乎要求，但符合条件的质数是否只有3呢？这必须加以证明.证明除了3以外的所有正整数加上10和14均不能是质数.为此把正整数按模3同余分类.即：3k－1,3k+1（k为正整数）.

因为（3k－1）+10=3k+9=3（k+3）是合数，（3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数，所以3k－1和3k+1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数.

因此，在3k－1和3k+1两类整数中的质数加上10和14后当然不能都是质数. 对于3k这类整数，只有在k=1时，3k才是质数，其余均为整数. 所以所求的质数只有3. ●板书设计 §6.1 你能肯定吗 一、画任意四边形 二、做一做 n2－n+11的值是质数 要判断一个数学结论是否正确，必须有根有据地推理. 三、议一议

四、课堂练习 读一读 五、课后作业 第三课时

●课 题

§6.2.2 定义与命题（二） ●教学目标

（一）教学知识点

1.命题的组成：条件和结论. 2.命题的真假. 3.了解数学史.

（二）能力训练要求

1.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果??，那么??”的形式；能判断命题的真假.

2.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.

3.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值. （三）情感与价值观要求

1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.

2.通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣. ●教学重点

找出命题的条件（题设）和结论. ●教学难点

找出命题的条件和结论. ●教学方法 讲练相结合法. ●教具准备 投影片四张

第一张：想一想（记作投影片§6.2.2 A） 第二张：做一做（记作投影片§6.2.2 B） 第三张：想一想（记作投影片§6.2.2 C） 第四张：公理（记作投影片§6.2.2 D） ●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入课题

［师］上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？ ［生］判断一件事情的句子，叫做命题. ［师］好.下面大家来想一想：（出示投影片§6.2.2 A） 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ （1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等. （2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形. （3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等. （4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形. （5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形. ［师］大家观察后，分组讨论. ［生甲］这五个命题都是用“如果??，那么??”的形式叙述的. ［生乙］每个命题都是由已知得到结论.

［生丙］这五个命题的每个命题都有条件和结论. ［师］很好.这节课我们继续来研究命题. Ⅱ.讲授新课

［师］大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.

一般地，命题都可以写成“如果??，那么??”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.

如：上面的命题（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件，那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.

有些命题没有写成“如果??，那么??”的形式，题设和结论不明显.如：“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果??，那么??”的形式.

如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”. 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知??”或者“若??”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证??”或“则??”等形式表述.

下面我们来做一做（出示投影片§6.2.2 B） 1.下列各命题的条件是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a>b,b>c,那么a=c; （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等. ［生甲］第一个命题的条件是：两个角相等，结论是：它们是对顶角. ［生乙］第二个命题的条件是：a>b,b>c,结论是：a=c.

［生丙］第三个命题的条件是：在两个三角形中，有两角和其中一角的对边对应相等.结论是：这两个三角形全等.

［生丁］第四个命题的条件是：菱形的四条边.结论是：都相等.

［生戊］丁同学说得不对.这个命题可改写为：如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边都相等.显然，这个命题的条件是：一个四边形是菱形.结论是：这个四边形的四条边都相等.

［生己］第五个命题可改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.则这个命题的题设是：两个三角形全等.结论是：这两个三角形的面积相等.

［师］同学们分析得很好.能够经过分析，准确地找出命题的条件和结论.接下来我们来思考（出示投影片§6.2.2 B） 2.上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？ ［师］大家思考后，来分组讨论. ［生甲］第三个、第四个、第五个命题是正确的.第一个、第二个命题是不正确的.

图6－10

［生乙］我们讨论的结果是与甲同学的一样.如图6－10，∠1=∠2,从图形中可知∠1与∠2不是对顶角.所以第一个命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角是错误的.

［生丙］第二个命题中的a取6，b取3，c取2，这样可知：a与c是不相等的.所以第二个命题是不正确的.

［师］很好.同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！我们把正确的命题称为真命题（true statement），不正确的命题称为假命题（false statement）.

由大家刚才分析可以知道：要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例（counter example）.

注意：对于假命题并不要求，在题设成立时，结论一定错误.事实上，只要你不能保证．．．．结论一定成立，这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了.

那一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：（出示投影片§6.2.2 C） 如何证实一个命题是真命题呢？ ［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. ［生乙］这些方法往往并不可靠.

［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？ ［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？ ［生戊］哦??那可怎么办呢？ ??

［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.

《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.

［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实. ［师］对，我们这套教材有如下命题作为公理：（出示投影片§6.2.2 D） 1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 5.三边对应相等的两个三角形全等. 6.全等三角形的对应边相等，对应角相等. ［师］同学们来朗读一次. ［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.

在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.

注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.

（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.

好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史. Ⅲ.课堂练习

1.课本P185 读一读

2.看课本P181~185，然后小结. Ⅳ.课时小结

本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.

在辨别真假命题时.注意：假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.

大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题. Ⅴ.课后作业

（一）课本P187 习题6.3 1、2 （二）1.预习内容P188~190

2.预习提纲

（1）平行线的判定方法的证明 （2）如何进行推理 Ⅵ.活动与探究

将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题.

1.凡直角都相等. 2.对顶角相等.

3.两直线平行，同位角相等.

4.如果两数中有一个是正数，那么这两个数之和是正数.

［过程］让学生充分考虑，使他们能分清命题的题设和结论.写出逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，而判别真假则依赖于对知识的掌握.

［结果］解：（1）凡相等的角都是直.假命题 （2）相等的角是对顶角. 假命题

（3）同位角相等，两直线平行. 真命题

（4）如果两个数之和是正数，那么这两个数中必须有一个正数. 真命题 ●板书设计 §6.2.2 定义与命题 一、命题的组成 条件：已知事项 结论：由已知事项推出的事项 一般地：命题常写成： “如果??，那么??” 二、做一做 三、命题的真假??真命题?假命题 四、公理五、读一读 六、课时小结 七、课后作业 §6.3 为什么它们平行

●教学目标

（一）教学知识点 1.平行线的判定公理. 2.平行线的判定定理. （二）能力训练要求

1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力. 2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.

3.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式. （三）情感与价值观要求

通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想. ●教学重点

平行线的判定定理、公理. ●教学难点

推理过程的规范化表达. ●教学方法

尝试指导、引导发现与讨论相结合. ●教具准备 投影片五张

第一张：定理（记作投影片§6.3 A） 第二张：议一议（记作投影片§6.3 B）

第三张：定理（记作投影片§6.3 C） 第四张：想一想（记作投影片§6.3 D） 第五张：小结（记作投影片§6.3 E） ●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

［生甲］在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.

［生乙］两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行. ［生丙］同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.

［师］很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实.

我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行.

Ⅱ.讲授新课

［师］看命题（出示投影片§6.3 A） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. ［师］这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

图6－12

如图6－12，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b.

那如何证明这个题呢？我们来分析分析.

［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.

因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3.

［师］好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）

证明：∵∠1与∠2互补（已知） ∴∠1+∠2=180°（互补的定义） ［∵∠1+∠2=180°］

∴∠1=180°－∠2（等式的性质） ∵∠3+∠2=180°（1平角=180°） ∴∠3=180°－∠2（等式的性质）

［∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2］ ∴∠1=∠3（等量代换） ［∵∠1=∠3］

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.

这一定理可简单地写成： 同旁内角互补，两直线平行. 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理. （2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.

（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.

好，下面大家来议一议（出示投影片§6.3 B） 小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 图6－13 图6－14

［生］我认为他的作法对.他的作法可用图6－14来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB.

［师］很好.从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.

图6－15

［师生共析］已知，如图6－15，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.

求证：a∥b

证明：∵∠1=∠2（已知）

∠1+∠3=180°（1平角=180°） ∴∠2+∠3=180°（等量代换） ∴∠2与∠3互补（互补的定义）

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：（出示投影片§6.3 C） 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 这一定理可以简单说成：

内错角相等，两直线平行. ［师］刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下面大家来想一想（出示投影片§6.3 D） 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？ ［生甲］已知，如图6－16，直线a⊥c,b⊥c. 求证：a∥b.

图6－16

证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）

∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义） ∴∠1=∠2（等量代换）

∴b∥a（同位角相等，两直线平行） ［生乙］由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.

［师］同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理. Ⅲ.课堂练习

（一）课本P190随堂练习

1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.

图6－17

解：这三个四边形的形状是平行四边形.

理由是：∵∠α=109°28′∠β=70°32′（已知） ∴∠α+∠β=180°（等式的性质）

∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义） （二）看课本P188~190，然后小结. Ⅳ.课时小结

这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表（出示投影片§6.3 E）

由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.

注意：1.证明语言的规范化. 2.推理过程要有依据.

3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证. Ⅴ.课后作业

（一）课本P191习题6.4 1、2 （二）1.预习内容P192~194 2.预习提纲

（1）直线平行的性质如何证明？ （2）总结归纳证明的一般步骤. Ⅵ.活动与探究

1.你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？

［过程］通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤.

图6－18

［结果］如图6－18所示.

用圆规和直尺能作出两条平行线.

因为在作图中，作∠β=∠α.而∠α与∠β是同位角.由“同位角相等，两直线平行”可知：a∥b.

还可以作内错角，即：作一个角等于已知角α，使所作的角与∠α是内错角即可. ●板书设计 §6.3 为什么它们平行 一、平行线的判定方法 1.公理：同位角相等，两直线平行. 2.定理：同旁内角互补，两直线平行. 图6－19 已知：如图6－19，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b. 证明：∵∠1与∠2互补（已知） ∴∠1+∠2=180°（互补的定义） ∴∠1=180°－∠2（等式的性质） ∵∠3+∠2=180°（1平角=180°） ∴∠3=180°－∠2（等式的性质） ∴∠1=∠3（等量代换） ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 3.定理：内错角相等，两直线平行. 图6－20 已知，如图6－20，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.且∠1=∠2. 求证a∥b. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 第五课时

●课 题

§6.4 如果两条直线平行 ●教学目标

（一）教学知识点

1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤. （二）能力训练要求

1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力.

2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.

（三）情感与价值观要求

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.

●教学重点

证明的步骤和格式. ●教学难点

理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证. ●教学方法

尝试指导、引导发现与讨论相结合. ●教具准备 投影片六张

第一张：议一议（记作投影片§6.4 A） 第二张：想一想（记作投影片§6.4 B） 第三张：符号语言（记作投影片§6.4 C） 第四张：命题（记作投影片§6.4 D）

第五张：证明的一般步骤（记作投影片§6.4 E） 第六张：练习（记作投影片§6.4 F） ●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？

这节课我们就来研究“如果两条直线平行”. Ⅱ.讲授新课

［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：

两直线平行，同位角相等.

下面大家来分组讨论（出示投影片§6.4 A） 议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ ［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等. ［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补. ［师］很好.下面大家来想一想：（出示投影片§6.4 B） （1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 图6－23

［生甲］根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图6－23.

［生乙］因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：两条平行线被第三条直线所截.它的结论是：内错角相等.所以我根据所作的图形.如图6－23，把这个文字命题改写为符号语言.即：

已知，如图6－23，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角. 求证：∠1=∠2.

［师］乙同学叙述得很好.（出示投影片§6.4 C） （投影片为上面的符号语言）你能说说证明的思路吗？ ［生丙］要证明内错角∠1=∠2，从图中知道∠1与∠3是对顶角.所以∠1=∠3，由此可知：只需证明∠2=∠3即可.而∠2与∠3是同位角.这样可根据平行线的性质公理得证.

［师］丙同学的思路清楚.我们来根据他的思路书写证明过程.哪位同学上黑板来书写呢？

（学生举手，请一位同学来） ［生丁］证明：∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠1=∠2（等量代换）

［师］同学们写得很好.通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即平行线的性质定理.这样就可以把它作为今后证明的依据.

注意：（1）在课本P191中曾指出：随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据.所以像“对顶角相等”就可以直接应用.

（2）这个性质定理的条件是：直线平行.结论是：角的关系.在应用时一定要注意. 接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题（出示投影片§6.4 D） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. ［师］来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上. 图6－24

［生甲］已知，如图6－24，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.

求证：∠1+∠2=180°. 证明：∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1+∠3=180°（1平角=180°） ∴∠1+∠2=180°（等量代换）

图6－25

［生乙］老师，我写的已知、求证与甲同学的一样，但证明过程有一点不一样，他应用了直线平行的性质公理，我应用了直线平行的性质定理.（证明如下）

证明：∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠3=180°（1平角=180°） ∴∠1+∠2=180°（等量代换）

［师］同学们证得很好，都能学以致用.通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论.

到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳.

［师生共析］好，我们来共同归纳一下（出示投影片§6.4 E） 证明的一般步骤： 第一步：根据题意，画出图形.

先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达. 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中. 第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了. ［师］接下来我们来做一练习，以进一步巩固证明的过程. Ⅲ.课堂练习

（一）补充练习（出示投影片§6.4 F） 图6－25 1.证明邻补角的平分线互相垂直. 已知：如图6－25，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 证明：∵OE平分∠AOB. OF平分∠BOC（已知） ∴∠EOB=∠BOF=1212∠AOB ∠BOC（角平分线定义） ∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°） ∴∠EOB+∠BOF=12（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质） 即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义） （二）看课本P192~194，然后小结 Ⅳ.课时小结

这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤. 1.平行线的性质：

公理：两直线平行，同位角相等 定理：两直线平行，内错角相等 定理：两直线平行，同旁内角互补 2.证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形.

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. Ⅴ.课后作业

（一）课本P194 习题6.5 1、2、3 （二）1.预习内容P195~197 2.预习提纲

（1）三角形的内角和定理是什么？ （2）三角形的内角和定理的证明. Ⅵ.活动与探究

图6－27

1.已知，如图6－27，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.

［过程］让学生在证明这个题时，可从多方面考虑，从而拓展了他们的思维，要证：AD∥BC，可根据平行线的五种判定方法，结合图形，可证同旁内角互补，内错角相等，同位角相等.

［结果］证法一：∵AB∥DC（已知）

∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B=∠D（已知）

∴∠D+∠C=180°（等量代换）

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

图6－28

证法二：如图6－28，延长BA（构造一组同位角） ∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠1=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

图6－29

证法三：如图6－29，连接BD（构造一组内错角） ∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D（已知）

∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质） ∴∠2=∠3

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） ● 板书设计 §6.4 如果两条直线平行 一、直线平行的性质公理： 两直线平行，同位角相等

图6－30 二、议一议 1.定理：两直线平行，内错角相等. 已知，如图6－30，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角. 求证：∠1=∠2 证明：∵a∥b（ ） ∴∠3=∠2（ ） ∵∠1=∠3（ ） ∴∠1=∠2（ ） 图6－31 2.定理：两直线平行，同旁内角互补. 已知，如图6－31，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角. 求证：∠1+∠2=180° 三、议一议 证明的一般步骤 1. 2. 3. 四、课堂练习 五、课时小结 六、课后作业 第六课时

●课 题

§6.5 三角形内角和定理的证明 ●教学目标

（一）教学知识点

三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求

掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.

（三）情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲. ●教学重点

三角形内角和定理的证明. ●教学难点

三角形内角和定理的证明方法. ●教学方法 实验、讨论法.

●教具准备

三角形纸片数张. 投影片三张

第一张：问题（记作投影片§6.5 A） 第二张：实验（记作投影片§6.5 B）

第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C） ●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A） 工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角. 图6－34 图6－35 图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？ Ⅱ.讲授新课 ［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验） 用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC??其内角会产生怎样的变化呢？

图6－37

［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于 0°.

［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.

［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？ ［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.

［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.

请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？ ［生齐声］180°

［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B） 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折， 使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1） （2） （3） （4） 图6－38 实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. ［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角. 但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.

图6－39

这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.

这时，∠A与∠ACE能重合吗？ ［生齐声］能重合.

［师］为什么能重合呢？

［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA. ［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.

这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？

［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证. ［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？

图6－40

［生甲］已知，如图6－40，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等） ∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 即：∠A+∠B+∠C=180°.

［生乙］老师，我的证明过程是这样的： 证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B. 则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行） ∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°） ∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）

［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.

我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为

定理.即：三角形的内角和定理.

小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C） 图6－41 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？ 你有没有其他的证法. ［生甲］小明的想法可行.因为： ∵PQ∥BC（已作）

∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等） ∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°） ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

图6－42

［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.

［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.

图6－43

即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.

∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义） ∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等） ∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等） ∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）

∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°） ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）

［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理. Ⅲ.课堂练习

（一）课本P196随堂练习1、2.

图6－44

1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.

答案：90° 60°

如图6－44，在△ABC中，∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°.

图6－45

如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°

图6－46

2.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°. 证明：∵DE∥BC（已知）

∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等） ∵∠C=70°（已知）

∴∠AED=70°（等量代换）

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理） ∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质） ∵∠A=60°（已知）

∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换） （二）读一读P197.

（三）看课本P195~196，然后小结.

Ⅳ.课时小结

这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P198习题6.6 1、2 （二）1.预习内容P199~200 2.预习提纲

（1）三角形内角和定理的推论是什么？ （2）三角形内角和定理的推论的应用. Ⅵ.活动与探究

1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？

（1） （2） （3）

图6－47

［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.

［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.

证明略. ●板书设计 §6.5 三角形内角和定理的证明 一、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

图6－48 已知，如图6－48，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（） ∠ECD=∠B（） ∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（） 二、议一议 三、课堂练习 四、课时小结 五、课后作业 第七课时

●课 题

§6.6 关注三角形的外角 ●教学目标

（一）教学知识点

1.三角形的外角的概念.

2.三角形的内角和定理的两个推论. （二）能力训练要求

1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力. 2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用. （三）情感与价值观要求

通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.

●教学重点

三角形内角和定理的推论. ●教学难点

三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用. ●教学方法 启发、诱导法. ●教具准备 投影片四张

第一张：想一想（记作投影片§6.6 A） 第二张：推论（记作投影片§6.6 B） 第三张：例1（记作投影片§6.6 C） 第四张：例2（记作投影片§6.6 D） ●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？ ［生］通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°.

［师］很好，下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.

图6－56

已知，如图6－56，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA. 则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°） ∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）

［师］好，在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到 ∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.

那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用. Ⅱ.讲授新课

［师］那什么叫三角形的外角呢？

像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 外角的特征有三条：

（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点. （2）一条边是三角形的一边.如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.

（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.

把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.

下面大家来想一想、议一议（出示投影片§6.6 A）

图6－57

如图6－57，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？

［生甲］∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.

［生乙］∠1=∠2+∠3.因为：∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°－∠4.而∠1=180°－∠4,因此可得： ∠1=∠2+∠3.

［生丙］因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1>∠2,∠1>∠3. ［师］很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？

［生丁］三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角. ［生戊］不对，如图6－58.

（1） （2）

图6－58

图6－58（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：△ACB是钝角三角形.∠ACB>∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.

图6－58（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等. 由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻．．．．．的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角. ．．．．．［师］噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？ ［生］同意.

［师］是三角形的任一个外角都有此结论吗？ ［生］是的.

［师］很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片§6.6 B） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. ．．．．．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ．．．．．

［师］这两个结论是由什么推导出来的呢？ ［生］通过三角形的内角和定理推出来的.

［师］对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.

因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用. 注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义. 下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片§6.6 C） 图6－59 ［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC. ［师生共析］要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：需证明：∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C

∴∠B=

12 ∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAE=

12∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAE=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

［师］同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？

［生甲］这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C=

12∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=

12∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

［生乙］还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C=

12∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=

12∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换） 即：∠B+∠DAB=180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

［师］同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.

现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片§6.6 D） 图6－60 ［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE. 求证：∠1>∠2. ［师生共析］一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.

证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）

∴∠1>∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠3是△CDE的一个外角（已知）

∴∠3>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质）

［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论. Ⅲ.课堂练习

（一）课本P201随堂练习1

图6－61

1.已知，如图6－61，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求∠B和∠ACB的度数.

解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠DCA=100°,∠A=45°（已知）

∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质） ∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°） ∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质） ∵∠DCA=100°（已知） ∴∠ACB=80°（等量代换） （二）看课本P199~200然后小结 Ⅳ.课时小结

本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：

推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推

论1.

在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P201习题6.7 1、2、3 （二）1.预习内容：全章内容 2.预习提纲

用自己的语言梳理本章知识. Ⅵ.活动与探究

1.如图6－62，求证：（1）∠BDC>∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

图6－62

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［过程］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

图6－63

［结果］证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图6－63. 则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角. ∴∠1>∠3.

∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质） 即：∠BDC>∠BAC.

（2）连结AD，并延长AD，如图6－62.

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角. ∴∠1=∠3+∠B

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质） 即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

图6－64

证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图6－64. 则∠BDC是△CDE的一个外角.

∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）

∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠BDC>∠A（不等式的性质）

（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.

∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）

∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）

图6－65

如果点D在线段BC的另一侧，如图6－65，则有 ∠A+∠B+∠C+∠D=360°

（可利用三角形的内角和定理来证明，证明略） ●板书设计 §6.6 关注三角形的外角 一、三角形的外角 ① 其特征 ② ③ 二、三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三、例题 例1例2 四、课堂练习 五、课时小结 六、课后作业

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