概率论答案 - 李贤平版 - 第四章

《概率论》计算与证明题 113 第四章 数字特征与特征函数

1、设?是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中P(A)?数或奇数而取数值0及1，试求E?及D?。 2、袋中有k号的球k只，kp，再设随机变量?视?取偶

?1,2,?,n，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。

pn?ABn/n!，已知E??a，试决定A与B。

3、随机变量?取非负整数值n?0的概率为

4、袋中有n张卡片，记号码1,2,?,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和?的数学期望及方差。

5、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存在，则E???P{??k}。

k?1?1?|x???|6、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p(x)?e,???x??, ??0。试求

2?E?，D?。

7、若?1,?2相互独立，均服从N(a,?2)，试证Emax(?1,?2)?a???。

8、甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中装有?只白球?只黑球，现从甲袋中摸出c(c?a?b)只球放

入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。

9、现有n个袋子，各装有a只白球b只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第

二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为Sn，求

Sn。

10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体

质重量，试说明这样做的道理。 11、若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不相关，但它们不相互独立。

?122?,x?y?112、若?,?的密度函数为p(x,y)???，试证：?与?不相关，但它们不独立。

22?0,x?y?1?13、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若U

?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。

《概率论》计算与证明题 114 15、若?1,?2,?3是三个随机变量，试讨论（1）?1,?2,?3两两不相关；

（2）D(?1??2??3)?D?1?D?2?D?3；（3）E??12?316、若?,?服从二元正态分布，E??E?1?E?2?E?3之间的关系。

?a,D??1,E??b,D??1。证明：?与?的相关系数r?cosq?，

其中q?P{(??a)(??b)?0}。 17、设(?,?)服从二元正态分布，E??E??0,D??D??1,r???r，试证：Emax(?,?)?(1?r)?。

18、设?与?独立，具有相同分布N(a,?2)，试求19、若?服从N(a,?2)，试求E|??a|k。

p??q?与u??v?的相关系数。

20、若?及?分别记二进制信道的输入及输出，已知P{??1}?p,P{??0}?1?p,

P{??1??1}?q，P{??0??1}?1?q,P{??1???0}?r,P{??0??0}?1?r，试求

输出中含有输入的信息量。

21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，

试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。

23、在贝努里试验中，若试验次数v是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要

条件，是v服从普阿松分布。

24、设{?k}是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和???1??2???v，其中v是

随机变量，它与{?k}相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明

E??Ev?E?k,D??Ev?D?k?Dv?(E?k)2。

25、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的

特征函数是实的偶函数。 26、试求[0,1]均匀分布的特征函数。 27、一般柯西分布的密度函数为

p(x)?1???(x??)??22,??0。证它的特征函数为

expi{?t??

28、若随机变量

t|，利用这个结果证明柯西分布的再生性。|}?服从柯西分布，

??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着

《概率论》计算与证明题 115 f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。

29、试求指数分布与??分布的特征函数，并证明对于具有相同?值的??分布，关于参数r有再生性。 30、求证：对于任何实值特征函数

f(t)，以下两个不等式成立：

1?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))2。

31、求证：如果

f(t)是相应于分布函数F(x)的特征函数，则对于任何x值恒成立：

1T?itxf(x)edt?F(x?0)?F(x?0)。

T??2T??Tlim?1?dk32、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?,k?n，称Xk为

i?dt?t?0随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。

??1???34、设?1,?2,?,?n相互独立，具有相同分布N(a,?2)试求???的分布，并写出它的数学期望及协??????n?1n方差阵，再求????i的分布密度。

ni?135、若?服从二元正态分布N(0,?)，其中???退化的正态分布，并求?的密度函数。

36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。 37、若(?,?)的分布为

?42?，试找出矩阵A，使??A?，且要求?服从非??21?p(??k1,??k2)?n!p1k1p2k2(1?p1?p2)n?k1?k2 0?pi?1

ki!k2!(n?k1?k2)!，（1）求随机变量?的边际分布；（2）求E(?|?)。 0?ki?n k1?k2?n i?1,2ABn38、若r,v,?的取值是非负数，且p(??n)?,又E??8，求A??,B??

n!39、设?

40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-e?8t~N(2,1),?~N(1,4)且二者独立，求U???2? ,V?2???的相关系数?uv

，求某人等候发车的平均匀时间。

41、某厂生产的园盘的直径服从(a,b)内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。 42、搜索沉船， 在时间t内发现沉船的概率为P(t)?1?e

??t(??0)， 求为了发现沉船所需要的平均

《概率论》计算与证明题 116 搜索时间。

43、从数字1,2,3,4中按有放回方式取数，设随机变量?表示第一次选取的数字，随机变量?表示第二

次选取的不小于?的数字. (1)写出(?,?)的联合分布列; (2)求E?.

44、如果?,?,?互不相关,且方差分别为1,3,6,求u????,v????的相关系数?uv.

45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量?,?分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个

数。1)求二维随机变量(?,?)的联合分布列; 2)求E?

46、设RV?,? 相互独立，且E?数

?2, D??1, E??1, D??4，求U??-2 , V?2?-? 的相关系

puv。

47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停

车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。 48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为1-p，保险公司开办五年人寿保险，条件是参

加者需要交保险费a元，若五年内死亡，公司赔偿b元(b?a)，问b应如何确定才能使公司可望受益？若有m个人参加保险，公司可望收益多少?

49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是

1.69，求100次轰炸中有180～220颗命中目标的概率。 50、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得每

把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数X的期望。 51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上。求球的体积的期望。 52、设X服从几何分布，它的概率分布列为：P{X其中q?1?p，求E(X)，?i}?qi?1p,n?1,2,?，

D(X)。

53、设离散随机变量X的分布列为P{X1????i}?,i?1,2,?，求Y?sin?X?的期望。

2?2?54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为1,2,3,4。将球随机地放入4只盒子中去。记X为其中至少有

1只球的盒子的最小号码。求E(X)。

55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。

56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用切比雪夫不等式估计每亳

升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率

p。

《概率论》计算与证明题 117 57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2mm，

标准差是0.05mm。规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格，求产品合格的概率。

58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们

的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。 59、证明Cuchy---Swchz不等式，若E?2?E?2 存在 ,则60、设r>0，则当 E|?| 存在时，

rE???E?2?E?2 E|?|r2???0,有P(|?|??)??r。

61、若P(??k)?pqk-1 k?1,2,? p?q?1(p?0) 则E??1。 p62、设?与?都只取两个数值，且?与?不相关，则?与?独立。 63、叙述并证明契比雪夫大数定律。

64、若?是取非负整数的随机变量，E?,D?均存在，则E???P(??i)。

i?1?65、设

??,??的联合密度函数是f(x,y)?1?R12?1?R2e?1x2?2Rxy?y22(1?R2)??，求证:

E?max(?,?)???

2?b?a?66、证明：对取值于区间[a,b]中的随机变量?恒成立，a?E??b,D(?)???。

2??67、设随机变量?的方差D?存在，c为任一实数，证明：D??E(??c)2

?xn?x?e68、设随机变量?的密度函数为：p(x)??n!??0x?0x?0 ， 其中n为正整数， 证明：

p{0???2(n?1)}?69、若

n n?1RV?1,?2,?,?n相互独立且同分布，E?i?1, D?i?1, i?1,2,3,?,n，试证： 对任意的

k??(k?1) k(k?1,2,?,n) 有P?0???i?2k??k?i?1?n170、如果随机变量序列{?n}，当n??时有2D(??k)?0，证明：{?n}服从大数定律.

nk?1

《概率论》计算与证明题 118 ?1?71、设(?,?)的密度函数是 P(x.y)?????0x2?y2?1x2?y2?1 ，证明?与?不相关，且不独立。

?xm?x(x?0)?e72、设连续型R,V?的密度函数为P(X)??m! (其中m为正整数)，试利用契贝晓夫不

?(x?0)?0等式证明P(0???2(m?1))?m. m?173、设X1,X2,?,Xn,?是独立随机变量序列，Xi的分布列为

X ?ia 0 ia 12i2 1?p 1 i2i=1,2,?

1 2i2?1n?证明：limp??Xi????0

n???ni?1?74、若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不相关，但它们不相互独立。

?122?,x?y?175、若?,?的密度函数为p(x,y)???，试证：?与?不相关，但它们不独立。

22??0,x?y?176、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 77、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。

?rAr,x?A?78、Pareto分布的为密度函数为p(x)??xr?1，这里r?0,A?0，试指出这分布具有p阶矩，

??0,x?A当且仅当

p?r。

1?,|x|?e?2a79、若?的密度函数为p(x)??2|x|(log|x|)，试证对于任何a?0，E|?|??。

?0,其它?80、记ak?E|?|k，若an??，试证，kak?k?1ak?1， k?1,2,?,n?1。

81、试用母函数法证明二项分布及普阿松分布的再生性。

82、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的

《概率论》计算与证明题 119 特征函数是实的偶函数。 83、若随机变量

?服从柯西分布，

??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着

f???(t)?f?(t?)ft)?与?并不独立。 ?(，但是

84、若?1,?2,?,?n相互独立且服从相同分布N(0,1)，试证??说明X2??i?1n2i服从参数为n的X2?分布，并

?分布也有再生性。

85、求证：对于任何实值特征函数

f(t)，以下两个不等式成立：

1?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))2。

?1?dkX?logf(t),k?n，称Xk为86、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令k?k?ki?dt?t?0随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。

11??t2?x2x?2x2187、求证，在x?o时有不等式e??e2dt?e2。 2x1?xx188、若?k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，?k和?k?1有相关，而?k,?l(|k?l|?2)是独立的，

证明这时对{?k}大数定律成立。

第四章 解答

1、解：?服从两占分布，由第二章第29题得，P{??1}?P{事件A出现奇数次}=

1111?(1?2p)n,P{??0}?P{事件A出现偶数次}??(1?2p)n，所以 2222E??11?(1?2p)n， 22?11??11?11D????(1?2p)n???(1?2p)n???(1?2p)2n.

?22??22?442、解：设?表取一球的号码数。袋中球的总数为1?2???n?1n(n?1)，所以 2

《概率论》计算与证明题 120 P{??k}?k1n(n?1)2?2k,n(n?1)k?1,2,,?,n.

E???2k2n(n?1)(2n?1)1?k???(2n?1). )n(n?1)63k?1n(n?1nBn3、解：由于?是分布，所以应有?P{??n}??A??1，即AeB?1,A?e?B。又由已知

n!n?0n?0???Bn?1ABn?a，ABeB?a, ?B?a,A?e?B?e?a。 E???n??a，即AB?)!n!n?0(n?1n?0?4、解：设?表示抽出k张卡片的号码和，?i表示第i次抽到卡片的号码，则?因为是放回抽取，所以诸?i独立。由此得，对i?1,2,?,k。

??1??2????k，

11n1n(n?1)n?1E?i??j???j???，

nnj?1n22j?11E??E?1?E?2???E?k?k(n?1)；

2n11n(n?1)(2n?1)1E?i??j2????(n?1)(2n?1)，

nn66j?12n111D?i?E?i2??E?i?2?(n?1)(2n?1)?(n?1)2?(n2?1)，

6412D??D?1?D?2???D?n????1k(n2?1)。 125、证：

?P{??k}???P{??j}

k?1k?1j?k

?{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{??3???P{??3}??

??kP{??k}?E?.

k?1?.

1?|x???|6、解：E???xedx??2??(令t????(x??)??)

??

????t??2e?|t|dt???t2e?|t|dt???2??e?|t|dt?0????.

《概率论》计算与证明题 121 1D???(x??)2e??2???|x??|?(令t??(x??)??0)

??2?t2e?tdt??2t2(?e?t)0?2?2?te?tdt

????2?2t(?e?t)0?2?2?te?tdt?2?2(?e?t)0?2?2.

0????(x?a)2(y?a)2??7、证：?1?2的联合密度为p(x,y)?exp???， 222???2?∴

Emax(?1,?2)???max(x,y)p(x,y)dxdy

??dx?xp(x,y)dy??dx?yp(x,y)dy

??????x?x??（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

??dx?(x?a)p(x,y)dy??dx?(y?a)p(x,y)dy?a

??????x?x??（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

??dy?(x?a)p(x,y)dx??dy?(y?a)p(x,y)dx?a

??y??y?????a?2??a?

???12??e22?(y?a)22?2dy?(x?a)ey??(x?a)22?2dx (令(y?a)??t)

1??t?e???dt?a??????a???.

8、解：令B表“从乙袋摸一球为白球”，?表从甲袋所摸个球中白球数，则?取值0,1,?,c，服从超几何分布，且E??ca，考虑到若c?a，则当i?a?1,?,c时P{??i}?0；若c?b，则当

(a?b)i?c?b时P{??i}?0；而在条件概率定义中要求P(Ai)?P{??i}?0 由此得

P(B)?m!n(a,c)i?max(0,c?b)?P{??i}P{B|??i}??P{??i}i?0???i

????c

???i?1?P{??i}?iP{??i} ??????ci?0????ci?0

??E?1ac???????. ????c????c????c?a?b???1,从第i袋子中摸出白球??，则 ?0,从第i袋子中摸出黑球a，

(a?b)9、解：令?iP{?1?1}?

《概率论》计算与证明题 122 aa?1baa2?ab?aaP{?2?1}????。 ??a?ba?b?1a?ba?b?1(a?b)(a?b?1)a?b}?由此类推得P{?1?1a， i?1,2,?,n。又Sn??1??2????n，

(a?b)?ESn??E??i?1nna。 a?b

10、解：以?i表第i次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值?i和物体真实重量a之间有偏差，?i是独立同分布的随机变量，并有E?i?a,D?i??2。测量记录的平均值记为?，则

??(?1????n)

1nn?2?21nnaE???E?i??a， D??2?D?i?2?。

ni?1nnni?1n平均值?的均值仍为a，但方差只有?i方差的所以以?作为物体的重量，则更近于真值。

11、证：设

1n1，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，nf(x)是?的密度函数，则f(?x)?f(x)。由xf(x)是奇函数可得E??0，从而

E?E|?|?0。又由于x|x|f(x)是奇函数，得

E?|?|??x|x|f(x)dx?0?E?E|?|

???故|?|与?不相关。

由于?的密度函数是偶函数，故可选c?0使0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，

?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}

其中等式成立是由于{|?|?c}?{?

12、证：E??c}。由此得|?|与?不独立。

1?????????xp(x,y)dxdy??xdx??111?x2?1?x2?1dy?0，同理E??0。

1?x2cov(?,?)?E???E?E???xdx??11?1?x2?ydy?0

《概率论》计算与证明题 133 ei?tz1t?ti1??tei?tzei?tz?e?e c?1?lim(z?i)?lim(z?i)?limz?iz?iz?i1?z2z?i(z?i)(z?i)2i2i把（2），（3），（4）代入（1）式得

??由于

??eit?u1du??e??t （5） 21?ueit?u11isint?u?cost?u?sint?u，是u的奇函数，它在(??,?)上积分值为0；1?u21?u21?u2(1?u2)cost?u是的偶函数，当t?0时，其积分值应与t?0时积分值相等；再注意到（5）中右端t?0，所2(1?u)以当t?0时有

?当t?0时有

???eit?u1du??e??|t| （6） 21?u????eit?u?it?u11???0du?edu????e （7） 22???1?u1?u把（5）—（7）代入（1）式得，对任意有

f(t)?exp{it???|t|}。

现证柯西分布具有再生性。设?1(i?1,2)的特征函数为立，???1??2，则

fi(t)?exp{it?i??i|t|}，再设?1与?2独

f?(t)?f1(t)f2(t)?exp{it(?1??2)?(?1??2)|t|}，

所以?仍服从柯西分布，且参数为?1??2,?1??2。

28、证：由上题得

f?(t)?f?(t)?e?|t|，所以由????2?得

f???(t)?f2?(t)?e?|2t|?e?2|t|?f?(t)?f?(t)。

但?与?并不独立，事实上，可取c使0?P{??c}?1，则

P{??c,??c}?P{??c}?P{??c}?P{??c}，

这说明由?与?独立可推得

29、解：（1）指数分布。当x?0时，其密度函数为

f???(t)?f?(t)?f?(t)，但反之不真。

p(x)??e??x，所以它的特征函数为

f(t)??e?edx???e??x00?itx?x(???it)dx??it???ex(it??)o?it????1??， it???????1

《概率论》计算与证明题 134 其中|ex(it??)|?e??x?0(x??)。

p(x)?（2）??分布。当x?0时，其密度函数为

?r?(r)xr?1e??x，为求其特征函数，我们指出，

对复数z?b?ic，只要b?0，就有如下等式成立：

?利用此式可求得??分布的特征函数为

?0xr?1e?zxdx??(r)。 zrf(t)??e0?itx?r?(r)xedx?r?1??x?(r)??r?r?0xr?1e?(??it)xdx

?(r)?it????1??。 ?(r)(??it)r????现证??分布具有再生性。设?1~G(?,r1),?2?r?r~G(?,r2)，则它们的特征函数分别为

?r?it?1?it?2f1(t)??1??,f2(t)??1??，

??????再设?1与?2独立，???1??2，则有

?it?f?(t)?f1(t)?f2(t)??1?????所以服从??分布，??分布具有献策性。 30、证：

?r1?r2，

f(t)是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。

??????1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)??2sin2txdF(x)

?2?(1?costx)(1?costx)dF(x)?4?(1?costx)dF(x)?4(1?f(t))。

??????1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)?2?2cos2txdF(x)

???????2?????costxdF(x)?2(f(t))2，

?2其中利用柯西——许瓦兹不等式（置?(x)?costx,?(x)?1）

???(x)????2(x)dF(x)?(x)dF(x)??

31、证：I2?????(x)dF(x)?。

2?lim1T1T?itxf(t)edt?limT??2T??TT??2T??T?????eit(y?x)dF(y)?dt。

?

《概率论》计算与证明题 135 由于

eit(y?x)?1，所以eit(y?x)关于乘积测度PF?L[?T,T]绝对可积，由富比尼定理知可交换上式中积

分次序，得

I?lim1?dF(y)T??2T?????eit(y?x)dt。 ?TT?1Tit(y?x)edt，则当y?x时有 记g(T,y)?2T??Tg(T,y)?1Tdt?1， ??T2T1TsiTny(?x)?2cots?y(xd)?t当y?x时有 g(T,y)。 2T?0T(y?x)由此得|g(T,y)|?1，且limg(T,y)??T???0,y?x。由控制收敛定理得

?1,y?x{x}I??

???T???limg(T,y)?dF(y)??dF(y)?P{x}?F(x?0)?F(x)。

32、证：由????b得

f?(t)?eitbf?(t)，亦有logf?(t)?itb?logf?(t)。

当k?1时，等式两边同对t求k阶导数，itb一项导数为0所以由定义得?的Xk等于?的Xk。

33、解：利用特征函数

f(t)的原点矩mk之间的关系式f(k)(0)?ikmk，可把f(t)展成幂级数

f(0)?1 （1）

f(t)?1??mkk(it),k!k?1?又利用上题中定义的Xk，可把logf(t)展成幂级数logf(t)??Xkk(it) k?1k!???Xkk??f(t)?exp??(it)?。 （2）

?k?1k!?再把（2）中的e展成幂级数得

y1?Xkk1??Xkk?f(t)?1??(it)???(it)???。 （3）

1!k?1k!2!?k?1k!?比较（1）与（3）式中的系数，可得半不变量与原点矩之间的关系式

34、解：由诸?1独立得?的密度函数为

2 《概率论》计算与证明题 136 np(x1,?,xn)??p?i(x)?i?1??(xi?a)2???， ?exp?n2ni?12???2??1n?数学期望和协方差阵为

??20?a????2??， B???。 E??????????a????n?12??0????n?n由上题知，

??2?1n2??1n?~N??a,2????N?a,?，

?ni?1ni?1??n??n(x?a)2?exp??所以?的分布密度为p?(x)??。 22?2????n

35、解：取E??0,D??C,?~N(0,C),C??征函数分别为

?10?。令??A?，其中A?(aij)2?2，则?与?的特??01??1??1?f?(t)?exp??t?Ct?,f?(t)?exp??t?(ACA)t?，

?2??2?且有ACA???，即

22?a12a11a21?a12a22??42??a11a12??10??a11a21??a11?。 ????aa??01??aa???22a21?a22??21???2122??a11a21?a12a22?2122??

?222?矩阵A不唯一，取a11?2可解得a12?2,a21?，从而A??2,a22?22??2题中的要求，由?~N(0,C)得?非退化，且?的密度函数为

36、证：设?2??2?，这时满足?2?p(x1,x2)?1?12?exp???x12?x2??。 2??2??(?1,?,?n)?，?i独立同方差，其协方差矩阵和特征函数分别为

??20?????1??D?????B， f(t)?exp?iat?tBt?。 ??2??2??0???

《概率论》计算与证明题 137 ?c11?c1n???再设??C?，其中C????是正交矩阵，即满足 ???c?c??n1nn??cj?1n2ij?1，

?cj?1njick??k)。 i0(j由此得?~N(Ca,CBC?)，其特征函数为

1??f?(t)?exp?i(Ca)?t?t?(CBC)t?，即?的协方差矩阵为

2??CBC?，利用C的正交性计算得

0??c11?c1n???2c11??2c1n??c11?c1n??c11?c1n???2????????????????

CBC????????????????????222?c?c??0?????????cn1?cnn???cn1??cnn??cn1?cnn??n1nn???22??c11??2?cc?2111??????????cc?2?n111?c11c21?222?c21??????cn1c21?2??c11cn1?2????c21cn1?2????????22???cn1????20????????B

2??0???矩阵中?都是对i从1到求和的。由协方差矩阵知，?的各分量?1,?,?n间两两不相关且同方差，再由正态分布间相互独立的充要条件是它们两两不相关得，?1,?,?n相互独立且同方差。

37、解： (1) ?P?(??k1)?n?k1k2?0?P(??k,??k)

12 ??的边际分布是:

P?(??k1)?n!k1n?k1 k1 ?0,1,2,?,n P1(1?p1)k1!(n?k1)! (2) 同理 ??

P?(??k2)?n!2,n , P2k2(1?Pc)n?k2 k2 ?0,1,?k2!(n?k2)!?k1给定的?条件密度

(n?k1)!PP(2)k2(1?2)n?k1?k2 k2 ?0,1,2,?,n -k1

k2!(n?k1?k2)!1?P1?P11P??|? ?E(?|?)?(n??)

P2 1?P1??ABnABk?1， 又?E??8 ??k??8 38、解: 由? 的取值特征有: ?k!n?0n!k?0

《概率论》计算与证明题 138 联立解得

B?8 A?e-8

39、.解: ??,?独立?DU?D??4D??1?16?17,DV?D??4D??8

cov(U,V)?E(u-EU)(V-EV)?10 ??uv?cov(U,V)DUDV

??uv?53434

40、解：设旅客等车的时间为?，它是随机变量?p(??t)?1?e?8t

故?服从参数是8的指数分布，即?的密度为P(x)???8e?8tt?0?0t?0

∴平均等车时间为E??18

41、解： 设园盘直径为? 则?~V(a,b) ?园盘面积 s???(32)2??4?2

?b?a(b?a)2 由于E?2,D??12 ?ES??(b?a)24E?2???(b?a)24(124)??12(a2?b2?ab)

??t??e??t42、解：设?为所需时间，则F?(t)?1?e,(t?0)，于是?的密度函数P?(t)???0 所以 E?????tP1???(t)dt??, 所以发现沉船所需的平均搜索时间为

1?

43、解:1)

? 1 2 3 4 1 1 1 1 116161616 2 0 1 1 1121212 3 0 0 1 188

t?0t?0 , 《概率论》计算与证明题 139 4 0 0 0 1 4 2)E??1?

44、解：Cov(???,???)?E(???)(???)?E(???)E(???)

1111111111?2(?)?3(??)?4(???)?325. 16161216128161284?,?,?互不相关E?2?(E?)2?D??3

故

45、解： 1)

? 0 1 2 3 0 1 271 91 9D(???)?D??D??4,D(???)?D??D??9

?uv?31? 4921 1 92 1 93 1 272 91 91 90 0 0 0 0 1 270 2）E?1?1111??121??11??0??????1??????2????3??1

27?279927??999??99?

46、解： cov(?-2?,2?-?)

?E(?-2?)(2?-?)-E(?-2?)E(2?-?) (?,? 独立)

?2E?2?2E?2-10

?2[D??(E?)2]?2[D??(E?)2]-10?10

D(?-2?)?D??4D??17， D(2?-?)?4D??D??8

?105?

17834 故?uv

《概率论》计算与证明题 140 47、解：设?i表示送客汽车在i站是否停车，则其分布为

?i p 0 201 20?9? ?9?1??? ???20??20? 故总停车次数为

10??i?110i

?E(??)?10[1?(i?1920)]?8787. 20

48、解：设?i 为公司从一个参加者身上获得利益则?i 为一个r,v分布列为

?i a p a-b

p 1?p ?E?i?ap?(a?b)(1?p)?a?b(1?p)

公司期望获益有E?i?0

mma?a?b?对m个人公司获益为E(??i)??E?i?ma?mb(1?p)

1?pi?1i?1

49、解：设第i次轰炸命中目标的次数为?i(i100?12,,?,100)则100次轰炸命中目标的次数

为

.?169 0 D??100?169????i E??100?2?20i?1 ?P(180??

50、解：设Ai?220)?P(?20??20020??)?2?(154.)?1?08744. 131313?{第i次打开门}，i?1,2,?,n。X的可能的取值为1,2,?,n。 1P{X?1}?P(A1)?，

nP{X?2}?P(A1,A2)?P(A1)P(A2|A1)?n?111?

nn?1nn?1n?211??1?nn?12n依次下去，有

P{X?n}?P(A1A2?An?1An)?P(A1)P(A2|A1)?P(An|A1A2?An?1)?

《概率论》计算与证明题 141

因此，X的分布列为

nX 1 2 3 ? 111 nnnn np ? 1 故

1n(n?1)1n?1。 E(X)??i????n2n2i?1?1,a?x?b?3?51、解：设球的直径为X，其概率密度为f(x)??b?a，球的体积Y?X，它的期

6?0,其它?望为

baE(Y)??

52、解：E(X)???1?b4?a4??xdx??(b?a)(b2?a2)?(a?b)(a2?b2) 6b?a24b?a24243?iqp?p?iqi?1?i?1i?1?i?12i?1?i?1i?1?pp1?? 22(1?q)pp1?q1?q?2

(1?q)3pE(X)??iqp?p?i2qi?1?p2D(X)?E(X2)?[E(X)]2?

53、解：Y1?q1q ??222ppp????sin?X?的可能值为：

?2???1,i?4n?1?i???sin????0,i?2n， n?1,2,?； ?2???1,i=4n-3P{Y??1}?111112； ???????232721181?11516；

P{Y?0}?111111???????22242841?134111118P{Y?1}??5?9?????

22221?11516

《概率论》计算与证明题 142 故E(Y)?(?1)?P{X

??1}?0?P{X?0}?1?P{Y?1}?P{Y?1}?P{Y??1}?822??. 1515554、解：X的可能值为1，2，3，4。{X?1}?{X?1}?{X?2}，{X?2}?{X?2}?{X?3}，

，

3323{X?3}?{X?3}?{X?4}。又因P{X?2}?3,P{X?1}?1,P{X?3}?344P{X?4}?11P{X?4}?，。 334433373323192317}?1?3?，P{X?2}?3?3?，P{X?3}?3?3?，故P{X?146444644464P{X?4}?

55、解：设Xi为第i个骰子出现的点数Xi(i?1,2,3,4,5,6)，它们相互独立。X为6个骰子出现的点

数之和，即X1137197125?E(X)?1??2??3??4??。 。故知34646464646416??Xi。则

i?1kE(Xi)?1?2?3?4?5?621?

66222?21?1?21?1?21?135E(Xi)??1?????2???????6????

6?6?6?66?612??故

3535E(X)?21,D(X?)?6?。

122352?1?35?0.514 由切比雪夫不等式 P{15?X?27}?P{|X?2|?6}?62721?

56、解：设每亳升正常男性成人血液中含白细胞数为X，由题设知E(X)?7300,切比雪夫不等式

D(X)?7002。由

P{5200?X?9400}?P{?2100?X??7300?2100}

70028?P{|X?7300|?2100}?1??

210029

57、解：设第i第部分长度为Xi(i?1,2,?,10)。X1,X2,?,X10相互独立且服从同一分布。

《概率论》计算与证明题 143 E(Xi)?2,D(Xi)?(0.05)2，

故由中心极限定理，产品合格的概率为

10???0.1???0.1?P?20?0.1??Xi?20?0.1?????????

i?1?0.0510??0.0510????10???10??10?????5??????5???2???5???1?2??0.63??1?0.4714??????

58、解：设第i只元件的寿命为Xi(i?1,2,?,16)，则Xi独立且服从指数分布，且

E(Xi)?100,D(Xi)?1002

?16??1920?16?100??1920?1600?故P??Xi?1920??1????1???1??(0.8)?0.2119 ???40016?100?????i?1?

259、证明: 令g(t)?E(t???)2，对于一切t； ?(?t?y)所以E(t???)2?0, ?0 故g(t)?0即： t2E?2?2tE???E?2?0

?E?2?E?2?0

至多只有一个实根 ???(E??)2 从而(E??)2?E?2?E?2 证毕

60、证: 设

?的分布函数为F(x) ，因为：E|?|r 存在(r?0)

??????xdf(x)???

??r 故P(?

??)??1?dF(x)??x??xr???rdF(x)?1?r??????xdF(x)?rE?r?r

61、证： ?E???k?p(??k)

k?1? ?E?

??k?pqk?1?k?1?p?(q)??p(?qk)??pkk?1k?0??11?

(1?q)2p62、证： 设(?,?)的分布列:p(? ?E?

?xi,y?yj)?piji?12,

j?12,?x1(p11?p12)?x2(p21?p22) E??y1(p11?p21)?y2(p12?p22)

《概率论》计算与证明题 144 (,?)?0 即得 由于?,?不相关 ?cov?i?12, pij?(pi1?pi2)(pj1?pj2)

j?12,即

63、证： 切比雪夫大数定律是: 若{?n}是两两互不相关的随机交量序列，且存在常数c，使D?ip(??xi,y?xj)?p(??xi)?p(??xj)，故(?,?)独立。

?c

1n1ni?1,2?,，则???0 limp(??i??E?i??)?0

n??ni?1ni?11n1n 证明: 由切比雪夫不等式知： p(??i??E?i??)?ni?1ni?1(用到了?1??n? 互不相关性)

D(??i)n?i?122n?cn?2

c1n1n?c是常数?n??2?0?limp(??i??E?i??)?0 证毕

n??ni?1ni?1n?

64、证： 设?的分布列:P(??2, ?E???ipi??ipi ?i)?pi i?0,1,?i?0i?1??而

?p(??i)?pi?11?2p2?3p3???npn??

?E???p(??i)

i?1? 65、证：

E?max(?,?)??12?1?R2??????????max(x,y)e?1(x2?2Rxy?y2)2(1?R2)dxdy

11(x2?2Rxy?y2)(x2?2Rxy?y2)????x???y?222(1?R)2(1?R)dy??ydy?edx?????xdx???e????????1(x2?2Rxy?y2)????x?12(1?R2)?dy? ?xdx???e2????1?R????1?2?1?R2?(y?Rx)2x2?????x?12(1?R2)2?xedx?e?dy?

2???????1?R???

《概率论》计算与证明题 145 1?Rx2?y2????xx??1???xe2dx?1?Re2dy?

?????????1????e????x2?2?1?Ry2x?1?R2??e1?1?R?21?x?11?R???2??1?R??dy??edx ????????1?R?1?R? 66、证：设F(x)是?的分布函数，a? 即:

67、证：E(??c)2

68、证： 因

故

69、证：因

b?adF(x)??xdF(x)?E???xdF(x)??bdF(x)?b

aaababbba?E??b D(?)??(x?E?)2dF(x)??(x?aa?b2)dF(x) 2?E[??E??E??c]2?E(??E?)2?(E??c)2?D??(E??c)2?D?

E??n?1,D??n?1

P{0???2n(?1)?}P??{?E??1??n??1}n?1n? 2(n?1)n?1E(??i)?k,D(??i)?k，

i?1i?1kkkkk?1???k? 故P?0???i?2k??P?|??i?k|?k??1?2?

kk?i?1??i?1?

?n?E?n????i????i??i?1? n?1,2,?

70、证：取 an?E?i?1??n?n?????D(i?1)n1i?1n?an|??}??22D(??i)?0 则 0?P{|n?2n?i?1i??n??ni即P??i?1nin?an???1 故{?n}服从大数定律

《概率论》计算与证明题 146 ?1?x21?221?x,x?1????dy271、证：先求边际分布。 P ???(x)????p(x,y)dy???1?x???0,其它0?????221?y,y?1?? 类似 P ?(y)???0,其它? 再求

??0 Cov(?,?)。 由于P?(y)均为偶函数 ?E??E?(x),PE???x2?y2?1??1xy?dxdy?0 ?Cov(?,?)?0??与?不相关

? 最后，由于P(x,y)?

72、证：E?P?不相互独立 ?(y) ??与?(x)P??2??0m?1?xxm?xx?edx?(m?1)?e?xdx?m?1

0(m?1)!m!?m?2?xxm?xxedx?(m?2)(m?1)?e?xdx?(m?2)(m?1)

0(m?2)!m!2

E???0?D?2?E?2?(E?)2?(m?2)(m?1)?(m?1)2?m?1 ?P(0???2(m?1))?P(?(m?1)???(m?1)?m?1

?P(???E???(m?1)?1?

73、证：E(Xi)??ni故D(Xi)?E(Xi

2D?m?

(m?1)2m?1111?221?1?22212?，?01??ni?0E(X)?ia?0?1??ia2?a2 i??22?222?2i2i2i2i?i??n?)?(E(Xi))2?a2。从而

a2?1n?1n?1n?1nE??Xi???E(Xi)?0，D??Xi??2?D(Xi)?

n?ni?1?ni?1?ni?1?ni?1由切比雪夫不等式

?1n?DX?n?i?a2?1n??1??p??Xi?????i2?0,2n?n??i?1? 74、证：设

n??

则f(?x)?f(x)。由xf(x)是奇函数可得E??0，从而E?E|?|?0。f(x)是?的密度函数，

《概率论》计算与证明题 147 又由于x|x|f(x)是奇函数，得

E?|?|??x|x|f(x)dx?0?E?E|?|

???故|?|与?不相关。

由于?的密度函数是偶函数，故可选c?0使0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，

?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}

其中等式成立是由于{|?|?c}?{?

75、证：E??c}。由此得|?|与?不独立。

?????????xp(x,y)dxdy??xdx??111?x21?1?x2?1dy?0，同理E??0。

1?x2cov(?,?)?E???E?E???xdx??11?1?x2?ydy?0

即?与?不相关。但?与?不独立，事实上可求得

?22?22?1?y,|y|?1?1?x,|x|?1p?(x)??x，p?(x)??y，

??0,|x|?1|y|?1?0,?而当|x|?1且|y|?1时，

76、证：设?p(x,y)?p?(x)p?(y)。

?a,b??c,d??,?p,q?。作两个随机变量

p,q?11??22??a?b,0?*?c?d,0?????b:??,????d:?p,q?。

p,q?11??22?*由?与?不相关即E???E?E?得

E?*?*?E(???b??d??bd)?(E?E??bE??dE??bd)

?(E??b)(E??d)?E?*E?*，

而

E?*?*?(a?b)(c?d)P?{*?a??b,*?c?，}d*， }E?*E?*?(a?b)P{?*?a??}b(?c)d?{P??cd由上两式值相等，再由(a?b)(c?d)?0得

《概率论》计算与证明题 148 P{?*?a?b,?*?c?d}?P{?*?a?b}P{?*?c?d}

此即P{??a,??c}?P{??a}?P{??c}。同理可证

P{??a,??d}?P{??a}?P{??d}，P{??b,??c}?P{??b}?P{??c} P{??b,??d}?P{??b}?P{??d}，

从而?与?独立。

77、证：EU?aEX?b,DU?a2DX，EV?cEY?d,DV?c2DY，

cov(U,V)?Ea(X?EX)c(Y?EY)?ac?cov(X,Y)，

rUV?欲rUV

78、证：E?pcov(U,V)ac?rxy。

|a|DX|c|D(Y)|ac|?rxy，题中需补设a与c同号。

??rArxpA??11rdx?rA?Axr?p?1dx。当且仅当r?p?1?1，即p?r时上式积分收xr?1敛，E?p存在。当时，

rr?1?E?p?Ar??r?p??Ap。

r?p?x?Ar?p

79、证：对a?0，由于lim?xx???1此时 M?ex?M，所以存在，使当时，2x??(logx)2(logx)E|?|?2?a?0?1?1xaxadx??dx?dx??， 22??0M2x(logx)x2x(logx)x?E|?|a??。

80、证：ak?1t2?2akt?ak?1???????t2|x|k?1?2t|x|t?|x|k?1?dF(x)

211(k?1)(k?1)?????t|x|2?|x|2?dF(x)?0 ????即u(t)?ak?1t22?ak?1?0对任意t成立。又ak?1?0，所以判别式??4ak?4ak?1ak?1?0，即

《概率论》计算与证明题 149 22kkk?akak?ak?1ak?1，从而有ak,2,?,n?1得 ?1ak?1。依次令k?1422(n?1)n?1n?1a12?a0a2,a2?a12a3,?,an?11?an?2an

其中a0k?1k?ak?1。把这些不等式中前k个的左右两边分别相乘化简得ak?1，两边同开k(k?1)次方，即得

kak?k?1ak?1。

n?1~b(k;n,p),?2~b(k;m,p)，则它们的母函数分别为P1(s)?(ps?q)81、证：（1）设,

mP2(s)?(ps?q)。再设?1与?2独立，???1??2，则?的母函数为

nmn?m P?(s)?P1(s)?P2(s)?(ps?q)(ps?q)?(ps?q)二项分布b(k;n?m,p)的母函数为(ps?q)n?m，由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，由此即得?服从b(k;n?m,p)，即二项分布具有再生性。

（2）设?1,?2分别服从参数为?1,?2的普阿松分布，其母函数分别为

P)},P)}。再设?1与?2独立，???1??2，则?的母函数为 1(s)?exp{?1(s?12(s)?exp{?2(s?1P?(s)?P1(s)P2(s)?exp{(?1??2)(s?1)}。

所以?服从参数为?1??2的普阿松分布，普阿松分布具有再生性。

82、证：必要性。由F(x)?1?F(?x?0)得P{?所以对特征函数

此即F?x}?P{???x}?P{???x}，?(x)?F??(x)，

f(t)有

f(t)?Eeit???eitxdF?(x)??eitxdF??(x)?Ee?it??f(t)，

由此知

f(t)是实函数。又有

f(?t)??e?itxdF?(x)??e?itxdF??(x)?Ee?it(??)?Eeit??f(t)，

所以

f(t)又是偶函数。

充分性。由于

f?(?t)?Ee?it??Eeit(??)?f??(t)，又由题设知f?(t)是实函数，所以

f?(t)?f?(t)?f??(t)。由唯一性定理知，?与??的分布函数相同，F?(x)?F??(x)，即

P{??x}?P{???x}?P{???x，从而}F(x)?1?F(?x?0)。

《概率论》计算与证明题 150 83、证：由上题得

f?(t)?f?(t)?e?|t|，所以由????2?得

f???(t)?f2?(t)?e?|2t|?e?2|t|?f?(t)?f?(t)。

但?与?并不独立，事实上，可取c使0?P{??c}?1，则

P{??c,??c}?P{??c}?P{??c}?P{??c}，

这说明由?与?独立可推得

84、证：记?i的分布函数为F(y)，则当y?0时F(y)?0；当y?0时

2f???(t)?f?(t)?f?(t)，但反之不真。

F(y)?P?y??i?y??2??y?yx21?12edx， 2?利用对参变量积分求导法则，对F(y)求导可得?i的分布密度

p(y)当y?0时p(y)?0；当y?012?1?11y?1?1?y1?11??2???222。 时 p(y)?e???ye??2y2y?1?2??????2???把此式与X2?分布密度比较可知，?i2服从自由度为1的X2?分布，也就是服从??分布

n?11?。由?间独立得?2间也独立，利用上题结论可得?11?，2??服从分布G?,????G?iii?2,2n?22????i?1即自由度为n的X 85、证：

2?分布。再由上题中??分布具有再生性可得，这里X2?分布也具有再生性。

f(t)是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。 1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)??2sin2txdF(x)

???????2?(1?costx)(1?costx)dF(x)?4?(1?costx)dF(x)?4(1?f(t))。

??????1?f(2t)??(1?cos2tx)dF(x)?2?2cos2txdF(x)

???????2?????costxdF(x)?2(f(t))2，

?2其中利用柯西——许瓦兹不等式（置?(x)?costx,?(x)?1）

???(x)????2(x)dF(x)?(x)dF(x)??

2?????(x)dF(x)?。

2

《概率论》计算与证明题 151 86、证：由????b得

f?(t)?eitbf?(t)，亦有logf?(t)?itb?logf?(t)。当k?1时，等式两边同对t求k阶导数，itb一项导数为0所以由定义得?的Xk等于?的Xk。

87、证：当x?0时有

??

1??x22xedt???xtex1?t221?dt??ex?1?t22x2?1?12??e ?xx?t2x?12?e 21?x?1??t22xedt???x11??t2?t2??t2t4?2t2?1?1t?t2e2dt??d??e2??e4222xt?2t?1?1?t?1?tx所以不等式成立。

88、证：因为?k,?1(|k?l|?2)是独立的，所以

n?11?n?1?n?1?n?2D??E(??E?)?E(??E?)?2(??E?)(??E?)??kkk??kkkkk?1k?1? ??22??2?n?k?1?n?k?1?n?k?1k?1?2n2n?1?222322?2D?k?2?rk,k?1???????0(n??)

nnnk?1nn

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