高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析1

高三数学 易错 总结复习 题型

高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析

“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设A x|x2 8x 15 0 ，B x|ax 1 0 ，若AB B，求实数a组

成的集合的子集有多少个？

【易错点分析】此题由条件AB B易知B A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。

解析：集合A化简得A 3,5 ，由AB B知B A故（Ⅰ）当B 时，即方程ax 1 0无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B 时，即方程ax 1 0的

11 11 解为3或5，代入得a 或。综上满足条件的a组成的集合为 0,, ，故其35 35

子集共有23 8个。

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝Ｂ A∩B＝Ａ ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．

（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：A x,y |x2 y2 4 ，B x,y | x 3 y 4 22 r2，其中r 0,

若AB 求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。

【练1】已知集合A x|x2 4x 0 、B x|x2 2 a 1 x a2 1 0 ，若B A，则实数a的取值范围是 。答案：a 1或a 1。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

高三数学 易错 总结复习 题型

例2、已知 x 2 2y2

1,求x2 y2的取值范围 4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足 x 2

关系而造成定义域范围的扩大。

解析：由于 x 2 22y2 1这个条件中的两个变量的约束4y2y2

2 1得(x+2)=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而44

x2+y2=-3x2-16x-12=

28828因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=-时，x2+y2有最大值。故x2+y2333

28的取值范围是[1, ] +x2y2

【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线 2 1 b 0 上变化，则x2 2y4b

的最大值为（）

b2 b2

b2 4 0 b 4 4 0 b 2 （A） 4（B） 4（C） 4（D）2b 4 2b b 4 2b b 2

答案：A

【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例5、 判断函数f(x) lg 1 x2

x 2 2的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：f( x) lg 1 x2

x 2 2 f x 从而得出函数f x 为非奇非偶函数的错误结论。

高三数学 易错 总结复习 题型

2 1 x 0解析：由函数的解析式知x满足 即函数的定义域为 1,0 x 2 2 0,1 定义

域关于原点对称，在定义域下f x lg 1 x2

x易证f x f x 即函数为奇函

数。

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

（2）函数f x 具有奇偶性，则f x f x 或f x f x 是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

【练5】判断下列函数的奇偶性：

①f x f x x 11 sinx cosx③f x 1 sinx cosx答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。

b例7、试判断函数f x ax a 0,b 0 的单调性并给出证明。 x

【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义x1 D,x2 Df x1 f x2 f x1 f x2 中的x1,x2的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。

解析：由于f x f x 即函数f x 为奇函数，因此只需判断函数f x 在 0, 上的单调性即可。设x1 x2 0 ，f x1 f x2 x1 x2 ax1x2 b 由于x1x2

x1 x2 0 故当x1,x2 时f x1 f x2 0，此时函数f x 在

上增函数，同理可证函数f x 在 上为减函数。又由于函数为 ,奇函数，故函数在 为减函数，在为增函数。综上所述：函数

f x 在 ,和 上分别为增函数，在 和 上分别

为减函数.

【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的

高三数学 易错 总结复习 题型

a 0 （1）用单调性的定义判ax【练7】（1） （潍坊市统考题）f x ax

断函数f x 在 0, 上的单调性。（2）设f x 在0 x 1的最小值为g a ，求y g a 的解析式。

1 1 答案：（1）函数在 , 为增函数在 0, 为减函数。（2） a a

1 2 a 1 y g a a

a 0 a 1

exa 为R上的偶函数。（2） （2001天津）设a 0且f x （1）求a的值aex

（2）试判断函数在 0, 上的单调性并给出证明。

答案：（1）a 1（2）函数在 0, 上为增函数（证明略）

【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。

例8、已知函数f x ax3 3x2 x 1 在R上是减函数，求a的取值范围。

【易错点分析】f x 0 x a,b 是f x 在 a,b 内单调递减的充分不必要条

高三数学 易错 总结复习 题型

件，在解题过程中易误作是充要条件，如f x x3在R上递减，但f x 3x2 0。

解析：求函数的导数f x 3ax2 6x 1（1）当f x 0时，f x 是减函数，

a 02 则f x 3ax 6x 1 0 x R 故 解得a 3。（2）当a 3时，

0

1 8 （3）f x 3

x3 3x2 x 1 3 x 易知此时函数也在R上是减函数。39

当a 3时，在R上存在一个区间在其上有f x 0，所以当a 3时，函数f x 不是减函数，综上，所求a的取值范围是 , 3 。

【知识归类点拔】若函数f x 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f (x) 0与f(x)为增函数的关系:f (x) 0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x) x3在( , )上单调递增，但f (x) 0，∴f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f (x) 0时，f (x) 0与f(x)为3增函数的关系:若将f (x) 0的根作为分界点，因为规定f (x) 0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f (x) 0。∴当f (x) 0时，f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f (x) 0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，一定可以推出f (x) 0，但反之不一定，因为f (x) 0，即为f (x) 0或f (x) 0。当函数在某个区间内恒有f (x) 0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f (x) 0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

因此本题在第一步后再对a 3和a 3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。

高三数学 易错 总结复习 题型

【练8】（1）（2003新课程）函数y x2 bx c x 0, 是单调函数的充要条件是（）

A、b 0 B、b 0 C、b 0 D、b 0

答案：A

（2）是否存在这样的K值，使函数f x k2x4 减，在 2, 上递增？ 答案：k 1。（提示据题意结合函数的连续性知f 2 0，但f 2 0是函数2231x kx2 2x 在 1,2 上递32在 1,2 上递减，在 2, 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由

） f 2 0求出K值后要检验。

【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。

11例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。 ab

错解 :(a+1211121)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab +4=8∴abababab

11(a+)2+(b+)2的最小值是8 ab

【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等

11号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件2ab

是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

1111解析：原式= a2+b2+2+2+4=( a2+b2)+(2+2)+4=[(a+b)2-2ab]+ abab

1121a b21[(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+22)+4由ab≤()= 得：1-2ab≥abab24ab

11111251-=,且22≥16，1+22≥17∴原式≥×17+4= (当且仅当2222abab

1121225a=b=时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。 2ab2

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一

不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。

【练9】甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。

（1） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数

的定义域；

高三数学 易错 总结复习 题型

（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

答案为:（1）y sabv2 a 0 v c （2）使全程运输成本最小，当≤c时， vb行驶速度v=aa；当＞c时，行驶速度v=c。 bb

【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。

例10、是否存在实数a使函数f x logaax2 x在 2,4 上是增函数？若存在求出a

的值，若不存在，说明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。 解析：函数f x 是由 x ax2 x和y loga x 复合而成的，根据复合函数的

单调性的判断方法（1）当a>1时，若使f x logaax2 x在 2,4 上是增函数，则

1 22故有 2a解得a>1。（2） x ax x在 2,4 上是增函数且大于零。

2 4a 2 0

当a<1时若使f x logaax2 x在 2,4 上是增函数，则 x ax2 x在 2,4 上是减

1 4函数且大于零。 2a不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得

4 16a 4 0

函数f x logaax2 x在 2,4 上是增函数

【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。

【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a 0，且a 1试求函数y loga4 3x x2的的单调区间。

3 3 答案：当0 a 1，函数在 1, 上单调递减在 ,4 上单调递增当a 1函数在2 2

3 3 上单调递增在 1,,4 上单调递减。 2 2

高三数学 易错 总结复习 题型

（2）（2005 高考天津）若函数f x loga x3 ax a 0,a 1 在区间( ,0)内单调递增，则a的取值范围是（）A、[,1) B、[,1) C、(, )

D、(1,)

答案：B.（记g x x3 ax，则g' x 3x2 a当a 1时，要使得f x 是增函数，

3 1 a 3 则需有g' x 0恒成立，所以D当0 a 1时，要使f x 4.矛盾.排除C、 2 21214349494

是函数，则需有g' x 3 1 .排除 0恒成立，所以a 3 4 2 2A）

【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．

1例11、已知sinx siny 求siny cos2x的最大值 3

1【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx siny 将问题转化为关于sinx的3

函数，进而利用换元的思想令t sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，

11解析：由已知条件有siny sinx且siny sinx 1,1 （结合sinx 1,1 ）33

122得 sinx 1，而siny c2oxs= sinx cos2x= sin2x sinx 令333

2 2 2 t sinx t 1 则原式=t2 t t 1 根据二次函数配方得：当3 3 3

242t 即sinx 时，原式取得最大值。 393

【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aiwi.html