三角函数化简求值专题复习二

三角函数化简求值专题复习

高考要求

1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析

1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.

2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

【例1】求值：

2sin20 cos10 tan20 sin10

.

csc40 cot80

cos10 cos20 sin20 sin10

cos20

解：原式的分子 2sin20 2sin20

cos10 sin40 cos10

cos20 cos20

sin40 sin80 2sin60 cos20

3，

cos20 cos20

原式的分母＝

1cos80 2cos40 cos80

sin40 sin80 sin80

cos40 cos40 cos80 cos40 2cos60 cos20

sin80 sin80 cos40 cos20 2cos30 cos10

，

sin80 cos10

所以，原式＝１．

【变式】1、求值

2cos40 cos10 1 tan60 tan10

cos10

1 2cos40 2 cos10 sin10

2 22cos40 cos10 sin10

原式 解： 2cos5 2cos5

2cos40 2cos 60 10 2 cos40 cos50 2·2cos45 cos5 2

2cos5 2cos5 2cos5

【变式】2、求(

3sin21400

1

。 ) 200

cos1402sin10

12sin100

1

分析：原式=

3cos21400 sin21400sin21400cos21400

(3cos1400 sin1400)(cos1400 sin1400)1

( sin400cos400)22sin100

4sin800 sin20001sin2000sin2000

8 16 160000

1202sin10sin80cos80sin160sin804

2

sin2 2sin323

【例2】（三兄弟）已知cos sin ，求，且

521 tan

sin2 cos 2sin2 cos sin2 cos sin 解：原式==

cos sin cos sin

的值

∵cosα sinα ∴sin2

1832

，上式两边平方，得：1 sin2α

255

73

；又∵ 252

∴cos 0，sin 0，cos sin 0

∴ cos sin 2 cos sin 2 4sin cos cos sin 2 2sin2 7 42

25 5 42 28 ∴cos sin ，∴原式

75532

5

32 25

【变式】（05

天津）已知sin(

4

)

7

，求sin 及tan( )． 2

31025

【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

772 2

sin( ) (sin cos )，即sin cos

51042

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

①

77

cos2 cos2 sin2 (cos sin )(cos sin ) (cos sin ) 255

1

故cos sin ②

53由①和②式得sin ，cos 53

因此，tan ，由两角和的正切公式

4

3

tan 3 43 3 48 tan( ) 3111 3tan 34 33

1

4

3

【例3】（最值辅助角）已知函数f(x)=2asin2x－23asinxcosx+a+b－1，（a、b为常数，a<0），它的定义域为[0,域为[－3,1]，试求a、b的值。

π

]，值2

解：f(x)=2asin2x－23asinxcosx+a+b－1 =a(1－cos2x)－asin2x+a+b－1 =－2asin(2x ) 2a b 1

π6

71π

∴≤2x+≤π ∴ ≤sin(2x )≤1

262666

∵a<0 ∴a≤－2asin(2x )≤－2a

6

∴3a+b－1≤－2asin(2x )+2a+b－1≤b－1

6

∵0≤x≤

4

b 1 1a ∵值域为[－3,1] ∴ ∴ 3 3a b 1 3 b 2

【变式】已知0<α<β<90，且sinα，sinβ是方程x2 (2cos400)x cos2400

1

=0的两个实数根，求sin(β-52

α)的值。

解：由韦达定理得sinα+sinβ=2cos40，sinαsinβ=cos40-0

2

1 2

∴ sinβ-sinα=(sin sin )2 (sin sin )2 4sin sin 2(1 cos2400) 2sin400 又sinα+sinβ=2cos40

1 sin (2cos400 2sin400) sin850 2∴

1 sin (cos400 2sin400) sin50

2

∵ 0<α<β< 90

00

0 850

∴ ∴ sin(β-5α)=sin60=

02 5

1

sin2 的最值。 2

【例4】（最值二次型）已知

解：∵

6

4

，3sin2 2sin2 2sin ，试求sin2

1ππ12

，0 sin2 ∴0 2sin2 1 β ∴- sin

26422

∵2sin2 3sin2 2sin ∴0 3sin2 2sin 1 2

sin 1或sin 0 3sin 2sin 0 3

即

21 3sin 2sin 1 0 sin 1

3

2

12

∴ sinα 0或 sinα 1

33

11111y=sin2 sin2 (3sin2 2sin ) sin2 (sin )2

22224

当sin ∈[

222，1]时函数y递增，∴当sina=时 ymin= ； 393

11

，0)时，函数y递减，∴当sin =0时，ymin= 32

当sin ∈(

∴ 故当sin 时，(sin2 sin2 )min ,(sin2 sin2 )无最大值

【变式】设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的最大值.

a2a2 4a 2

解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：

22

1 (a 2)

2 a

2a 1 ( 2 a 2) f(a) 2

1 4a (a 2)

23122912

1

的a值，并对此时的a值求y2

111

,∴1－4a= a= ［2,+∞) 228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，

22

11

y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

22

∵f(a)=

【例5】（角的变换）已知

解：∵

3ππ123

＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________. 24135

ππ3π3π

＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜, 2444

54

,cos(α β) sin2(α β) . 135

∴sin(α－β)= cos2(α β)

∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 5412356 ( ) ( ) . 13513565【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值； （2）已知

2sin cos

5，求3cos2 4sin2 的值。

sin 3cos

解：（1）从变换角的差异着手。 ∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0 同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=（1）以三角函数结构特点出发 ∵

13

3

2sin cos 2tan 12tan 1

∴ 5 ∴ tanθ=2

sin 3cos tan 3tan 3

3(cos2 sin2 ) 8sin cos

sin2 cos2

3 3tan2 8tan

1 tan2

7

5

∴ 3cos2 4sin2

【例6】已知奇函数f(x)的定义域为实数集,且f(x)在[0, )上是增函数，当0

2

时，是否存在这样的实数m，

使f(4m 2mcos ) f(2sin2 2) f(0)对所有的 [0,若不存在，说明理由。 解：

2

]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；

f(x)为奇函数， f( x) f(x)(x R) f(0) 0

f(4m 2mcos ) f(2sin2 2) 0 f(4m 2mcos ) f(2sin2 2)

又

f(x)在 0, 上是增函数，且f(x)是奇函数 f(x)是R上的增函数，

4m 2mcos 2sin2 2 cos mcos 2m 2 0

2

0, ,co s 2

0,1l cos (l 0,1 ) ，令

满足条件的m应该使不等式l2 mt 2m 2 0对任意m 0,1 均成立。 m22

g(t) l mt 2m 2 (l ) 2m 2，由条件得 设

2

m

0或 2 g(0) 0

m

0 1 2或

g(m) 0

2

m

1 2解得，4 m 2或m 2

g(1) 0

即m存在，取值范围是(4 3

2

)

1

,其中x R, 为参数，且0 . 322

【变式】已知函数f(x) 4x 3xcos

（1）当cos 0时，判断函数f(x)是否有极值；

（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数 的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数f(x)在区间(2a 1,a)内都是增函数，求实数a的取值范围。 解：（1）当cos 0时f(x) 4x3 1,则f(x)在( , )内是增函数，故无极值。

32

（2）f'(x) 12x2 6xcos ,令f'(x) 0,得 由0

x1 0,x2

cos

. 2

2

及（I），只需考虑cos 0的情况。

当x变化时，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：

cos cos cos 11

),且f() cos3 . 处取得极小值f(

222432

cos 111

) 0,必有 cos3 0,可得0 cos ,所以 要使f(2432232

cos

, )内都是增函数。 （3）由（2）知，函数f(x)在区间( ,0)与(2

因此，函数f(x)在x

由题设，函数f(x)在(2a 1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

2a 1 a

2a 1 a

或 1

a 02a 1 cos 2

由（II），参数 (

111

,)时，0 cos .要使不等式2a 1 cos 关于参数 恒成立，必有2a 1 .3222455

综上，解得a 0或 a 1.所以a的取值范围是( ,0][,1).

88

练习：

一、选择题

ππα β

1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－,)，则tan的值是( )

222

A.

1

2

B.－2 C.

4 3

D.

1

或－2 2

二、填空题 2.已知sin 3.设 ∈(

3 1

， (, )，tan( ) ，则tan( 2 ) _________. 522 3 33 5

)， ∈(0，)，cos( －)=，sin(+ )=，则sin( + )=_________. ,

41344445

三、解答题 4.不查表求值:

2sin130 sin100 (1 tan370 )

cos10

.

sin2x 2sin2x317 7

5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.

1 tanx54412

81 cos(π α)πβ

4sin2( )的最大值及最大值时的条件. 6.已知 － =π，且 ≠kπ(k∈Z).求

αα443csc sin

22

7、已知cos +sin =3，sin +cos 的取值范围是D，x∈D，求函数y=log1

2

2x 3

的最小值，并求取得最小

4x 10

值时x 的值.

参考答案

一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0. tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－

πα β,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又tan(α+

22222

tan tan 4a44 ,又tan( ) , β)=

31 tan tan 1 (3a 1)31 tan2

2

2tan

α βα β

3tan 2=0.解得tanα β=－2. 答案：B 整理得2tan222

2

2.解析：∵sinα=

3π4,α∈(,π),∴cosα=－

255

1

2 ( )

2tan 131 4. 则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－, tan2 2

42231 tan 1 ( 1)2

2

34 ( )2

tan tan 77 答案： tan( 2 )

241 tan tan2 1 ( ) ( )2443

3.解析：α∈(

πππ3π3π

),α－∈(0, ),又cos(α－)=. ,

424544

4 3 3 3 53 12

, (0,). (, ). ) , ) .45444413413

3 3

sin( ) sin[( ) ( ) ] cos[( ) ( )]

44244

3 3 3124556

cos( ) ) sin( ) sin( ) ( ) .

44445135136556

即sin( )

65 sin(

)

三、4.答案：2

π3π7

5.解: x) , sin2x cos2( x) .

45425

17π75πππ4又 x π, x 2π, sin(x ) 1243445

sin2x 2sin2x2sinxcosx 2sin2x2sinx(sinx cosx)cosx

sinx1 tanxcosx sinx

1

cosx74π

( )sin2x x)

28 π375 x)

45

6.解:令t

1 cos( )csc

2

sin

2

4sin2(

4

4

)

sin

(1 cos )

1 sin2

2

1 )sin 2cos

4(1 1sin ) 4

2222cos2

2

2

2282 8 2 . ,

34423 21 2

t 4sin( ) ( ) 2 2sin( ) 2

23223

k （k∈Z）,

2(sin

2

sin

2

) 2 4sin

cos

2

2k 2

（k∈Z）

2323

∴当

πα2ππα2

2kπ ,即α 4kπ （k∈Z）时, π)的最小值为－1.

323223

7.解：设u=sinα+cosβ.则u2+(3)2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－

t2 3

1,1］,设t=2x 3,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.

2

M

2x 3t112

2 .

4424x 102t 482t

t

4,即t 2时,Mmax . y log0.5M在M 0时是减函数,t8251

log0.52 log0.58 时,此时t 2,x 3 2,x .822

当且仅当2t

ymin log0.5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aim1.html