《经济数学——微积分》9-2(2)

《经济数学——微积分》第九章

二重积分的计算法( 第二节 二重积分的计算法(2)一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分 三、小结 思考题

《经济数学——微积分》第九章

一、利用极坐标计算二重积分1 1 2 2 σ i = ( ri + ri ) θ i ri θ i 2 2 r = ri + ri 1 r = ri = ( 2ri + ri ) ri θ i 2 ri + ( ri + ri ) = ri θ i 2= ri ri θ i ,o

(polar coordinates)

θ = θ i + θ i σ iD

θ = θi

A

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ . D D

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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图r = 1 (θ)r = 2 (θ)

α ≤θ ≤ β,

D

1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).o

β

α

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

A

= ∫ dθ ∫α

β

2 (θ )

1 (θ )

f (r cosθ , r sinθ )rdr.

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区域特征如图

r = 1(θ )

D

α ≤θ ≤ β,

r = 2 (θ )

1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).

β

o

α

A

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

= ∫ dθ ∫α

β

2 (θ )

1 (θ )

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

《经济数学——微积分》第九章

二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2)区域特征如图r = (θ )

α ≤θ ≤ β,0 ≤ r ≤ (θ ).βo

D

αA

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

= ∫ dθ ∫α

β

(θ )

0

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(3)区域特征如图π 0 ≤ θ ≤ 2π,r = (θ )

D

0 ≤ r ≤ (θ ).

o

A

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

= ∫ dθ ∫0

2π

(θ )

0

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

极坐标系下区域的面积 σ =

∫∫ rdrdθ .D

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例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形D

式，其中积分区域

D = {( x, y ) | 1 x ≤ y ≤ 1 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.

x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ

x2 + y2 = 1

1 直线方程为r = , sinθ + cosθ

所以圆方程为 r = 1,

x+ y =1

∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫D

π2

0

dθ ∫

1

1 sin θ + cosθ

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

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例2

计算 ∫∫ eD

x2 y2

dxdy ,其中 D 是由中心在

原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域解

在极坐标系下D: D: 0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π .

∫∫ eD

x2 y2

dxdy = ∫ dθ∫ e0 0

2π

a

r2

rdr

= π(1 e

a2

).

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例3

求广义积分∫0 e2

∞

x2

dx .2

解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }2

D2 S

D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }2 2 2

D1

D S2 DR

S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}

2R

{ x ≥ 0, y ≥ 0}

显然有 D1 S D2

Q e

x2 y2

> 0,

∴

∫∫ eD1

x2 y2

dxdy ≤ ∫∫ eS

x2 y2

dxdy ≤ ∫∫ eD2

x2 y2

dxdy .

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又Q I =

∫∫ eSR 0

x2 y2

dxdyR y2

=∫ e

x2

dx ∫ e0

dy = ( ∫ e0

R

x2

dx ) ;

2

I1 = ∫∫ eD1π 2

x2 y2

dxdy r2

= ∫ dθ ∫ e0 0

R

π R2 rdr = (1 e ); 4 π 2 R2 ); dxdy = (1 e 4

同理 I 2 = ∫∫ eD2

x2 y2

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Q I1 < I < I 2 ,R π π 2 R2 x2 2 R2 ∴ (1 e ) < ( ∫ e dx ) < (1 e ); 0 4 4

π π 当 R → ∞ 时, I 1 → , I 2 → , 4 4 π 即( ∞ e x dx )2 = π , 故当 R → ∞ 时, I → , ∫0 4 42

所求广义积分

∫0 e

∞

x2

π . dx = 2

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例4

计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ,其 D 为由圆2 2 D

x 2 + y 2 = 2 y , x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x 3 y = 0 , y 3 x = 0 所围成的平面闭区域.解

y 3x = 0 θ 2 =

π

3

x 2 + y 2 = 4 y r = 4 sinθ

6 x 2 + y 2 = 2 y r = 2 sinθ

x 3y = 0 θ1 =π 3

π

∫∫ ( xD

2

+ y )dxdy = ∫2

π 6

π dθ ∫ r rdr = 15( 3 ). 2 sin θ 24 sin θ 2

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sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 例 5 计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 2 2 其中积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4}.

解 由对称性，可只考虑第一象限部分， 由对称性，

D = 4D1注意：被积函数也要有对称性 注意：被积函数也要有对称性.

D 1

sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D

sin πr rdr = 4. = 4 ∫ dθ ∫ 0 1 rπ 2

2

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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积解 根据对称性有 D = 4D1在极坐标系下D1

x 2 + y 2 = a 2 r = a,

( x + y ) = 2a ( x y ) r = a 2 cos 2θ ,2 2 2 2 2 2

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r = a 2 cos 2θ , 由 r=a 所求面积σ =

π 得交点 A = ( a, ) , 6

∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdyD

D1π 6

= 4 ∫ dθ ∫0

a 2 cos 2 θ

a

rdr

π = a ( 3 ). 32

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二、广义二重积分基本解法： 基本解法先在有界区域内积分， 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无 界区域时取极限求解. 界区域时取极限求解. dσ , α ≠ 1. 例 1 求广义二重积分 I = ∫∫ 2 2 α D (1 + x + y ) D 是整个 xOy 平面

D = {( x, y) | x 2 + y 2 ≤ R2 } 解 先考虑圆域 dσ I ( R ) = ∫∫ (1 + x 2 + y 2 )α D

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=

∫

2π 0

dθ

∫

R 0

r dr 2 α (1 + r )2

1 = 1 α (1 + R

π

)α 1

1

当α > 1时当α < 1时

lim I ( R ) = R → +∞→ +∞R → +∞

α 1

π

则 I=

α 1

π

lim I ( R ) = ∞ 则原积分发散

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1 | x |≤ a , f ( x, y) = ( x) ( y), 例 2 设 ( x ) = 2a 0 | x |> a F ( z ) = ∫∫ f ( x , y ) d σ , 其 中 D = {( x, y) | x + y < z},求 F ′ ( z ).D

解

区域 D 可以表示为

D = {( x, y) | ∞ < y < z x, ∞ < x < +∞ }, 故

F (z) =

∫

+∞

∞

dx

∫

z x

∞

f ( x , y ) dyz x ∞

==

∫∫

+∞+∞

∞

dx ∫ ∞ ( x ) ( y ) dy

z x

( x ) dx ∞

∫

( y ) dy

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所以

F ′( z ) =

∫

+∞

于是有: 于是有 : (1)

1 a = ∫ a ( z x ) dx 2a 1 z

+a 令 t = z x , 则有 F ′( z ) = ∫z a ( t )dt 2az < 2a 时 ,

∞

( x ) ( z x )dx

F ′( z ) = 0z + 2a F ′( z ) = 4a 2 2a z F ′( z ) = 4a 2

(2 ( 2 ) 2a ≤ z < 0 时 ,(3 (3)(4)

0 ≤ z ≤ 2a 时 ,z > 2a 时 ,

F ′( z ) = 0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aiim.html