高等数学下册试卷及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(x?y)(a?0)的定义域为D= 。 2、二重积分

22ln(x?y)dxdy的符号为 。 ??22|x|?|y|?13、由曲线y?lnx及直线x?y?e?1，y?1所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为??x??(t)?y??(t) (??x??),则弧长元素ds? 。

5、设曲面∑为x2?y2?9介于z?0及z?3间的部分的外侧，则

（x???2?y2?1)ds? 。

6、微分方程

dyyy??tan的通解为 。 dxxx7、方程y(4)?4y?0的通解为 。 8、级数

1的和为 。 ?n?1n(n?1)?二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

22（C） ?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y当(?x)?(?y)?0时，是无穷小；

（D）lim?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y(?x)?(?y)22?x?0?0。

?y?0xy?2u?2u2、设u?yf()?xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2?y2等于（ ）

yx?x?y（A）x?y； （B）x； (C)y； (D)0 。 3、设?：x?y?z?1,z?0,则三重积分I???20222???zdV等于（ ）

?（A）4

?20d??d??r3sin?cos?dr；

01?（B）

??20d??d??r2sin?dr；

00?1（C）

2?0?20d??d??r3sin?cos?dr；

01（D）

?2?0d??d??r3sin?cos?dr。

00?14、球面x2?y2?z2?4a2与柱面x2?y2?2ax所围成的立体体积V=（ ）

? （A）4?20d??d??d??2acos?04a2?r2dr；

? （B）4?202acos?0r4a2?r2dr；

? （C）8??202acos?0r4a2?r2dr；

? （D）

?2?d??22acos?0r4a2?r2dr。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则

?Pdx?Qdy?(L)

（A）

??(D?P?Q?Q?P?)dxdy； （B）??(?)dxdy； ?y?x?y?xD?P?Q?Q?P?)dxdy； （D）??(?)dxdy。 ?x?y?x?yD （C）

??(D6、下列说法中错误的是（ ）

（A） 方程xy????2y???xy?0是三阶微分方程； （B） 方程y2dydy?x?ysinx是一阶微分方程； dxdx23222（C） 方程(x?2xy)dx?(y?3xy)dy?0是全微分方程； （D） 方程

dy12y?x?是伯努利方程。 dx2x7、已知曲线y?y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x?y?6?0平行，而y(x) 满足微分方程y???2y??5y?0，则曲线的方程为y?（ ）

（A）?esin2x； （B）ex(sin2x?cos2x)； （C）ex(cos2x?sin2x)； （D）esin2x。 8、设limnun?0 , 则

n??xx?un?1?n（ ）

（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设f,g均为连续可微函数。u?f(x,xy),v?g(x?xy)，

求

?u?u,。 ?x?y2、（8分）设u(x,t)??2x?tx?tf(z)dz，求

?u?u,。 ?x?t四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算I?2、计算I??20（7分） dx?e?ydy。

x22222?，其中是由?y?2z,z?1及z?2所围成的空间(x?y)dVx????闭区域（8分）。 五、（13分）计算I??L?xdy?ydx，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过

x2?y2原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(x?y)?f(x)?f(y)，且f?(0)存在，求f(x)。

1?f(x)f(y)(x?2)2n?1七、（8分）求级数?(?1)的收敛区间。

2n?1n?1?n高等数学（下册）考试试卷（二）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z，则

?z?z?? 。 ?x?y2、limy?03?9?xy? 。

x?0xy3、设I??20dx?2xxf(x,y)dy，交换积分次序后，I? 。

4、设f(u)为可微函数，且f(0)?0,则lim?t?01?t3x2?y2?t2??f(x2?y2)d?? 。

5、设L为取正向的圆周x2?y2?4，则曲线积分

?Ly(yex?1)dx?(2yex?x)dy? 。

2?2?2?6、设A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k，则divA? 。 7、通解为y?c1ex?c2e?2x的微分方程是 。 8、设f(x)????1,?1,???x?0，则它的Fourier展开式中的an? 。

0?x??二、选择题（每小题2分，共计16分）。

?xy2,?241、设函数f(x,y)??x?y?0,?x2?y2?0x2?y2?0 ,则在点（0，0）处（ ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

?2u?2u?2u?0 及 2? 2?0，

?x?x?y?y则（ ）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D：(x?2)?(y?1)?1，若I1?则有（ ）

（A）I1?I2； （B） I1?I2； （C）I1?I2； （D）不能比较。 4、设?是由曲面z?xy,y?x,x?1及z?0 所围成的空间区域，则

=（ ） （A）

23xy???zdxdydz ?22??(x?y)D2d?，I2???(x?y)3d?

D1111； （B）； （C） ； （D）。 3613623633645、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为??x??(t) (??t??)，

?y??(t)其中?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数，且??2(t)???2(t)?0， 则曲线积分

?Lf(x,y)ds?（ ）

(A) (C)

????f(?(t),?(t))dt； (B)

???f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt ；

????f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt； (D)?f(?(t),?(t))dt。

6、设?是取外侧的单位球面x2?y2?z2?1， 则曲面积分

??xdydz?ydzdx?zdxdy =（ ）

?(A) 0 ； (B) 2? ； (C)? ； (D)4?。

7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1?y2也是它的解的方程是（ ） (A) y??p(x)y?q(x)?0； (B) y???p(x)y??q(x)y?0； (C) y???p(x)y??q(x)y?f(x)； (D) y???p(x)y??q(x)?0。

8、设级数

?an?1?n为一交错级数，则（ ）

(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若an?0(n?0)，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数u?ln(x?的方向的方向导数。

2 2、（7分）求函数f(x,y)?xy(4?x?y)在由直线x?y?6,y?0,x?0所围成的闭

y2?z2)在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）

区域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算I?dv，其中?是由x?0,y?0,z?0及x?y?z?1 3????(1?x?y?z)所围成的立体域。

2、（8分）设f(x)为连续函数，定义F(t)?其中??(x,y,z)|0?z?h,x?y?t五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求I????[z?22?f(x2?y2)]dv，

?22。 ?，求dFdt?L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中L是从A（a，0）经

y?ax?x2到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算I?的外侧。

六、（15分）设函数?(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分

222222，其中是x?y?z(0?z?a) xdydz?ydzdx?zdxdy?????L[3??(x)?2?(x)?xe2x]ydx???(x)dy与路径无关，求函数?(x)。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设u??yzxzetdt， 则

2?u? 。 ?z2、函数f(x,y)?xy?sin(x?2y)在点（0，0）处沿l?(1,2)的方向导数

?f?l(0,0)= 。

3、设?为曲面z?1?x2?y2,z?0所围成的立体，如果将三重积分

I????f(x,y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分，则I= 。

? 4、设f(x,y)为连续函数，则I?lim?t?01?t2??f(x,y)d?? ，其中

DD:x2?y2?t2。

5、

?L(x2?y2)ds? ，其中L:x2?y2?a2。

6、设?是一空间有界区域，其边界曲面??是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果

函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在?上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程y???6y??9y?x?6x?9的特解可设为y? 。

2*(?1)n?1 8、若级数?发散，则p 。 pnn?1?二、选择题（每小题2分，共计16分）

f(x?a,b)?f(a?x,b)=（ ）

x?0x1 （A）fx?(a,b)；（B）0；（C）2fx?(a,b)；（D）fx?(a,b)。

2 1、设fx?(a,b)存在，则lim 2、设z?x，结论正确的是（ ）

y2?2z?2z?2z?2z（A）??0； （B）??0；

?x?y?y?x?x?y?y?x?2z?2z?2z?2z（C）??0； （D）??0。

?x?y?y?x?x?y?y?x3、若f(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2，f(x,y)在D上连续，则 （A）0；（B）2

??f(x,y)d??（ ）

DD1D2（C）4??f(x,y)d?； (D)2??f(x,y)d?。 ??f(x,y)d?；

D14、设?：x2?y2?z2?R2，则

22(x?y)dxdydz=（ ） ???? （A）?R； （B）?R； （C）

835435816?R5； （D）?R5。 15155、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处的线密度为?(x,y)，则曲线

弧Ｌ的重心的x坐标x为（ ） （Ａ）x=

1x?(x,y)dx； ?L?LM1xds, 其中M为曲线弧Ｌ的质量。（C）x=?x?(x,y)ds； （D）x=

LM?Lx?(x,y)ds； （B）x=

1M22６、设?为柱面x?y?1和x?0,y?0,z?1在第一卦限所围成部分的外侧，则

曲面积分

22yzdxdy?xzdydz?xydxdz＝（ ） ??? （A）0； （B）??4； （C）

5??； （D）。 244７、方程y???2y??f(x)的特解可设为（ ）

x （A）A，若f(x)?1； （B）Ae，若f(x)?e；

2（C）Ax?Bx?Cx?Dx?E，若f(x)?x?2x；

432x（D）x(Asin5x?Bcos5x)，若f(x)?sin5x。

８、设f(x)????1,?1???x?0，则它的Fourier展开式中的an等于（ ）

0?x?? （A）

24[1?(?1)n]； （B）0； （C）1； （D）。 n?n?n?三、（１２分）设y?f(x,t),有一阶连续偏导数，求

t为由方程 F(x,y,t)?0 确定的x,y的函数，其中f,F具

dydx。

四、（８分）在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离最短。 五、（８分）求圆柱面x2?y2?2y被锥面z?六、（１２分）计算I?的外侧。 七、（10分）设

x2?y2和平面z?0割下部分的面积Ａ。

2??xyzdxdy，其中?为球面 x??y2?z2?1 的x?0,y?0部分

df(cosx)?1?sin2x，求f(x)。

d(cosx)八、（10分）将函数f(x)?ln(1?x?x2?x3)展开成x的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（四）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的隐函数z?z(x,y)在点（1，0，-1）处

的全微分dz? 。

2、椭球面x?2y?3z?6在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设D是由曲线y?x,y?x?2所围成，则二重积分I?2222222 (1?x)dxdy? 。??D4、设?是由x?y?4,z?0,z?4所围成的立体域，则三重积分

I????(x2?y2)dv= 。

?5、设?是曲面z?x2?y2介于z?0,z?1之间的部分，则曲面积分

I???(x2?y2)ds? 。

?6、

?x2?y2?z2?a2?x?y?z?0??x2ds? 。

7、已知曲线y?y(x)上点M(0,4)处的切线垂直于直线x?2y?5?0，且y(x)满足微分方程y???2y??y?0，则此曲线的方程是 。 8、设f(x)是周期T=2?的函数，则f(x)的Fourier系数为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、函数z?arcsiny?xy的定义域是（ ） x（A）(x,y)|x?y,x?0； （B）(x,y)|x?y,x?0； （C）(x,y)|x?y?0,x?0??(x,y)|x?y?0,x?0?； （D）?(x,y)|x?0,y?0???(x,y)|x?0,y?0? 。

2、已知曲面z?4?x2?y2在点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0，则点P的坐标是（ ） （A）（1，-1，2）； （B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）； （D）（-1，-1，2）。 3、若积分域D是由曲线y?x2及y?2?x2所围成，则 （A）

（C）

????????f(x,y)d?=（ ）

Dx22?x21??1?110dx?dy?2?x2x2y2?yf(x,y)dy； （B） f(x,y)dx； （D）??x21?1dx?f(x,y)dy ；

2?x2dy?f(x,y)dx。

?14、设?1:x2?y2?z2?R2,z?0; ?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0， 则有（ ） （A） （C）

???xdv?4???xdv；

?1?2?2 （B）

???ydv?4???ydv；

?1?2?1?2???xyzdv?4???xyzdv； （D）???zdv?4???zdv。

?15、设?为由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的立体的表面，则曲面积分

22(x?y)ds=（ ） ??? （A）

?1?22?； （B）； （C）?； （D）0 。

2222222６、设?是球面x?y?z?a表面外侧，则曲面积分

333xdydz?ydzdx?zdxdy＝（ ） ??? （A）

1212412?a3； （B）?a5； （C）?a5； （D）??a5。 5555xlnx，则

x?ylnx７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率k??此曲线方程为（ ）

xx?xln(lnx)； （B）y??xlnx； eex（C）y?ex?xln(lnx)； （D）y??ln(lnx)。

e（A）y?８、幂级数

?(n?1)xn?1?n的收敛区间为（ ）

（A）（-1，1）； （B）(??,??)； （C）（-1，1）； （D）[-1，1]。

三、（１０分）已知函数u?yf()?xg()，其中f,g具有二阶连续导数，求

xyyx?2u?2u x2?y的值。

?x?y?x 四、（１０分）证明：曲面xyz?c3(c?0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的

体积为一定值。

五、（１４分）求抛物面z?4?x2?y2的切平面?，使得?与该抛物面间并介于柱面

(x?1)2?y2?1内部的部分的体积为最小。

六、（１０分）计算I??L(exsiny?y)dx?(excosy?x)dy，其中Ｌ为y??4?x2由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。 七、（８分）求解微分方程y???2y?2=0 。 1?yxn 八、（８分）求幂级数?的和函数S(x)。

n?1n?高等数学（下册）考试试卷（五）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

z?y?x1、设z?f(x,y)是由方程z?y?x?xe?0所确定的二元函数，则

dz? 。

?x2?y2?z2?3x?0２、曲线?在点（１，１，１）处的切线方程是 。

2x?3y?5z?4?0?３、设?是由x?y?z?1，则三重积分

222???edv＝ 。

?z４、设f(x)为连续函数，a,m是常数且a?0，将二次积分

?a0dy?em(a?x)?f(x)dx

0y

化为定积分为 。 ５、曲线积分

?L(AB)Pdx?Qdy与积分路径L(AB)无关的充要条件为 。

６、设?为z?a2?x2?y2，则??(x2?y2?z2)ds? 。

?７、方程y??3y?e2x的通解为 。 ８、设级数

?an?1?n收敛，

?bn?1?n发散，则级数

?(an?1?n?bn)必是 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

?x2y,?22１、设f(x,y)??x?y?0,?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，在点（０，０）处，

下列结论（ ）成立。

（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）fx?(0,0)?fy?(0,0)?0； （Ｄ）可微。

?2f２、设函数z?f(x,y)有且f(x,0)?1，f?y(x,0)?x，则f(x,y)=（ ） ?2，2?y（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 1?xy?y2；1?xy?y2；1?x2y?y2；1?x2y?y2。

22３、设Ｄ：1?x?y?4，f在D上连续，则

??f(Dx2?y2)d?在极坐标系中等

于（ ） （Ａ）2??21rf(r)dr； （Ｂ）2?10?21rf(r2)dr；

2100（Ｃ）2?[?20 r2f(r)dr??r2f(r)dr]； （Ｄ）2?[?rf(r2)dr??rf(r2)dr]。

４、设?是由x?0,y?0,z?0及x?2y?z?1所围成，则三重积分

???xf(x,y,z)dv?(?)

（Ａ）

?10dx?1?y20dz?1?x?2y0xf(x,y,z)dy；

（Ｂ）

??1010dx?dy?011?x?2y0xf(x,y,z)dz；

xf(x,y,z)dz；

（Ｃ）

dx?1?x20dy?1?x?2y0（Ｄ）

?10dx?dy?xf(x,y,z)dz。

0011５、设?是由x?0,y?0,z?0,x?1y?1,z?1所围立体表面的外侧，则曲面积分

??xdydz?ydzdx?zdxdy?(?)

（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）

（Ａ）

42225； (x?y?z)dv??a???3x2?y2?z2?a2（Ｂ）

x2?y2?z2?a2???x??2?y2?z2?ds?4?a4;

（Ｃ）

(x2?y2?z2)dxdy?4?a4；

x2?y2?z2?a2外侧（Ｄ） 以上三结论均错误。

７、设g(x)具有一阶连续导数，g(0)?1。并设曲线积分

(,)44(0,0)?Lyg(x)tanxdx?g(x)dy )

??与积分路径无关，则

?yg(x)tanxdx?g(x)dy?(（Ａ）

?2222?； （Ｂ）??； （Ｃ）?； （Ｄ）??。 2288(?1)n?1８、级数?的和等于（ ） n?12n?1（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。

三、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）设u?x,求

yz?u?u?u,。 ?x?y?z２、（７分）设u?f(,)，f具有连续偏导数，求du。 四、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）计算I?２、（７分）计算I?xyyzaf(x)?bf(y)222d?，其中。 D:x?y?R??f(x)?f(y)D2222，其中。 ?:x?y?z?R(x?y?z?1)dv????五、（１５分）确定常数?，使得在右半平面x?0上，

?L 2xy(x4?y2)?dx?x2(x4?y2)?dy与积分路径无关，并求其一个原函数u(x,y)。

六、（８分）将函数f(x)?1?x展开为x的幂级数。

(1?x)3七、（７分）求解方程y???6y??9y?0。

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案

一、1、当0?a?1时，0?x2?y2?1；当a?1时，x2?y2?1；

2、负号； 3、

??d???dy?D01e?1?yeydx;3； 4、??2(t)???2(t)dt；

25、180?； 6、siny?Cx； x2x7、y?C1cos2x?C2sin2x?C3e?C4e?2x； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、

?u?u?f1??yf2?；?xg?(x?xy)； ?x?y?u?u?f(x?t)?f(x?t)；?f(x?t)?f(x?t)； ?x?t222y21?y2?y2?y2?4四、1、?dx?edy??dy?edx??yedy?(1?e)；

0x00022、2、I柱面坐标??2?0d??20dr?r3dz??122?0d??dr?12r3dz?22r2214?； 3yx五、令P??2,Q?x?y2x2?y2?Py2?x2?Q则，(x,y)?(0,0)； ?2?22?y(x?y)?x?P?Q,在D内连续。所以由Green?y?x?P?Q,在D内除O（0，?y?x*于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，公式得：I=0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，

0）外都连续，此时作曲线l为x?y??(0???1)，逆时针方向，并假设D为

?222L?及l?所围成区域，则

I??L?????????llL??l????Green公式??(lD*?Q?P?)dxdy???2??x?yx2?y2??2

六、由所给条件易得： f(0)?2f(0)?f(0)?0

1?f2(0)f(x)?f(?x)?f(x)1?f(x)f(?x)f(x??x)?f(x)又f?(x)?lim =lim

?x?0?x?0?x?x1?f2(x)f(?x)?f(0) ?lim ?f?(0)[1?f2(x)] ??x?01?f(x)f(?x)?x即

f?(x)?f?(0) 21?f(x)fn(x)?f?(0)?x?c即 f(x)?tan[f?(0)x?c] ?arcta又 f(0)?0 即c?k?,k?Z ?f(x)?tanf(?(0)x)

t2n?1 七、令x?2?t，考虑级数?(?1)

2n?1n?1?nt2n?3?3?t2 ?lim2nn??t2n?12n?1?当t2?1即t?1时，亦即1?x?3时所给级数绝对收敛；

当t?1即x?3或x?1时，原级数发散；

当t??1即x?1时，级数

?(?1)n?1n?1?1收敛； 2n?1当t?1即x?3时，级数

?(?1)nn?1?1收敛； 2n?1?级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案

一、1、1； 2、-1/6； 3、

?20dy?yy/2f(x,y)dx??dy?242y/2f(x,y)dx ； 4、

2f?(0)； 35、?8?； 6、2(x?y?z)； 7、y???y??2y?0； 8、0；

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数u?ln(x?y2?z2)在点A（1，0，1）处可微，且

?u?x?u?y?u?zA?1x?y?z1x?y?z1x?y?z222222(1,0,1)?1/2；

A??yy?zzy?z?22(1,0,1)?0；

A??22(1,0,1)?1/2

而l?AB?(2,?2,1),所以l?(,?

2321,),故在A点沿l?AB方向导数为： 33?u?zA?u?lA??u?xA?cos?+

?u?yA?cos?+?cos?

?12211??0?(?)???1/2. 23323??fx??2xy(4?x?y)?xy(?1)?02、由?得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)?4， 2f?x(4?x?2y)?0??y 又f(0,y)?0,f(x,0)?0

32 而当x?y?6,x?0,y?0时，f(x,y)?2x?12x(0?x?6)

令(2x?12x)??0得x1?0,x2?4

于是相应y1?6,y2?2且f(0,6)?0,f(4,2)??64.

?f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)?4，最小值为f(4,2)??64.

32?0?x?1?四、1、?的联立不等式组为?:?0?y?x?1

?0?z?1?x?y?所以I??10dx?1?x0dy?1?x?y0dz

(1??x?y?z)3 ?1?x1111dx[?]dy 2??0024(1?x?y) ?1113?x15(?)dx?ln2? ?02x?14216

2、在柱面坐标系中

F(t)?所以

?2?0t132?2?[hf(r)r?hr]dr d??dr?[z?f(r)]rdz?0003th22dF11?2?[hf(t2)t?h3t]?2?ht[f(t2)?h2] dt33?五、1、连接OA，由Green公式得：

I??L??OA??OA??L?OA??OA

Green公式?x2?y2?ax,y?0xx(ecosy?ecosy?m)dxdy?0 ??1?m?a2 82、作辅助曲面?1:? I??z?a?x?y?a???1222 ，上侧，则由Gauss公式得：

??+????122???=

?1?????

?1 =

x?y?z,0?z?a???22(x?y?z)dxdydz?2x?y?a??a22dxdy

2 =2?a0dzax2?y2?z2??zdxdy??a4

?2?0?z3dz??a4???a4

2x12六、由题意得：3??(x)?2?(x)?xe????(x)

即???(x)?3??(x)?2?(x)?xe 特征方程r?3r?2?0，特征根r1?1,对应齐次方程的通解为：y?c1e?c2e

*2x又因为??2是特征根。故其特解可设为：y?x(Ax?B)e

x2x22xr2?2

代入方程并整理得：A?即 y?*1,2B??1

1x(x?2)e2x 2x2x故所求函数为：?(x)?c1e?c2e?1x(x?2)e2x 2高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案

一、1、yey2z2?xex2z2； 2、5； 3、

?1?1dx?1?x2?1?x2dy?1?x2?y20f(x,y,z)dz；

4、f(0,0); 6、???(5、2?a3；

??P?Q?R ??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy，

?x?y?z???Gauss公式； 7、Ax2?Bx?C 8、P?0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dy?fx?(x,t)dx?ft?(x,t)dt，Fx?dx?Fy?dy?Ft?dt?0

由上两式消去dt，即得：

dyfx??Ft??ft?Fx? ?dxFt??ft?Fy?四、设(x,y)为椭圆x2?4y2?4上任一点，则该点到直线2x?3y?6?0的距离为

d?6?2x?3y13 ；令L?(6?2x?3y)2??(x2?4y2?4)，于是由：

?Lx??4(6?2x?3y)?2?x?0? ?Ly??6(6?2x?3y)?8?y?0 ?22L?x?4y?4?0??83838383得条件驻点：M1(,),M2(?,),M3(?,?),M4(,?)

35555555 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin?6?2x?3y13M1?13即为所求。 1322??z?x?y五、曲线?在yoz面上的

22??x?y?2y?z2?2y投影为??x?0(0?y?z)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

??0?y?2Dyz:?， y ??0?z?2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A?2Dyz??1?(?x2?x)?()2d? x ?y?z ?2Dyz??dydz2y?y2?2?dy?122y0dz2y?y2?8

2222六、将?分为上半部分?1:z?1?x?y和下半部分?2:z??1?x?y，

?1,?2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2?y2?1,x?0,y?0, 于是：

??xyzdxdy????1Dxy1?x2?y2dxdy

1； 15极坐标

???02d???2sin?cos??1??2??d??0122??xyzdxdy???xy(?1?x?y)(?dxdy)??2Dxy1， 15 ?I????1???=

?22 15七、因为

df(cosx)?1?sin2x，即f?(cosx)?1?sin2x

d(cosx)13x?c 322 所以f?(x)?2?x ?f(x)?2x?2八、?f(x)?ln[(1?x)(1?x)]?ln(1?x)?ln(1?x)

(?1)n?1n 又ln(1?u)??u,u?(?1,1]

nn?1?(?1)n?1n?(?1)n?12nx??x,x?(?1,1] ?f(x)??nnn?1n?1?(?1)n?1n ??x(1?xn),nn?1?x?(?1,1]

高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案

一、1、dx?2dy；2、x?2y?3z?6； 3、

?x6、?a； 7、y?2(2?x)e；

1532?； ； 4、32?； 5、

2022338、a0?????1?f(x)12dx；ak??2??f(x)coskxdx??k?1,2,?n,?

bk?1???f(x)sinkxdx??k?1,2,?n,?

二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C 三、??uxyyy?f?()?g()?g?() ?xyxxxy2y?2u1xyyyy ?2?f??()?2g?()?2g?()?3g??()

xxyyxx?xxxy2y1xf??()?3g??() ?

xyyxyy?2uxx1y1y ??2f??()?g?()?g?()?2g??()

xx?x?yyxxxxy ??yyxx?????g() f()xx2yy2?2u?2u 故x2?y?0

?x?y?x四、设M(x0,y0,z0)是曲面F?xyz?c?0上的任意点，则x0y0z0?c3，

在该

3n?(Fx?,Fy?,Fz?)M111c3c3c3?(y0z0,z0x0,x0y0)?(,,)?c3(,,)

x0y0z0x0y0z0111(x?x0)+(y?y0)+(z?z0)=0

y0x0z0于是曲面在M点处的切平面方程为：

即

xyz++=1 3x03y03z01993x0?3y0?3z0?x0y0z0?c3 622因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

V?这是一个定值，故命题得证。

2222五、由于介于抛物面z?4?x?y，柱面(x?1)?y?1及平面z?0之间的立体体积

22为定值，所以只要介于切平面?，柱面(x?1)?y?1及平面z?0之间的立体体积V为最大即可。

设?与z?4?x?y切于点P(x0,y0,z0)，则?的法向量为n?(2x0,2y0,?1)，且

2222z0?4?x0?y0，切平面方程为：2x0(x?x0)?2y0(y?y0)?(z?z0)?0 22 即z?2x0x?2y0y?4?x0 ?y0? 于是V?(x?1)2?y2?1??zd?极坐标?2??222?（2x0?cos??2y0?sin??4?x0?y0)d?

22 ??(2x0?4?x0?y0)

??V??x??(2?2x0)?0?0 则由?，得驻点（1，0）

??V??2?y0???y0 且V(1,0)?5?,z0?5.

由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面?为：z?2x?3 六、联接BA，并设由L及BA所围成的区域为D，则

I??L??BA2??BA??L?BA??BAGreen公式???(excosy?1?excosy?1)dxdy?0D ?2???2?4? 七、令y??z(y)，则y???z12dzdz22?z?0 ，于是原方程可化为：zdy1?ydy2??dydz21?y??0，其通解为z?c1e 即?c1(y?1)2 dy1?y ?dydy?c1(y?1)2 即?c1dx 2dx(y?1)故原方程通解为：y?1?1

c1x?c2八、易求得该幂级数的收敛区间为(?1,1).

??1xnxn?x?(?1,1)，令S(x)??，则S?(x)??()???xn?1?

1?xnnn?1n?1n?1?注意到S(0)?0，?S(x)??x0S?(x)dx??dx??ln(1?x) 01?xx

高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案

ax?1y?1z?1dx?(1?xez?y?x)dy2?；??一、1、；2、；3、4、 em(a?x)f(x)(a?x)dx；z?y?x?0169?11?xe 5、对任意闭曲线l，Pdx?Qdy?0或

l??P?Q或?u(x,y),使得du?Pdx?Qdy； ??y?x4 6、2?a； 7、y?ce?3x1?e2x； 8、发散 5二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A

?u?u?uzyz?1zyzyzz?1?yx?yxlnx?lny ?xyzlnx；三、1、；?x?z?y2、??u1?f1??xy?ux1??2f1??f2??yzy?uy??2f2? ?zz ?du??u?u?u1x1ydx?dy?dz?f1?dx?(?2f1??f2?)dy?2f2?dz。 ?x?y?zyzyz四、1、因为积分域D关于y?x对称，所以

I???Daf(x)?bf(y)af(y)?bf(x)d????d?

f(x)?f(y)f(y)?f(x)D1af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)[??d????d?] 2Df(x)?f(y)f(y)?f(x)D故I? = 2、I?112； (a?b)d??(a?b)?R2??2D???(x?2?y2?z2)dV?2???x(y?z?1)dV?2???yzdV

????+2???ydV?2???zdV????dV

? 因为?关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变

量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：

I?432222?3zdV??R (x?y?z)dV?dV?????????3??? ?6?R0dz43432zdxdy??R??R(1?R2)。 ??33x2?y2?R2?z22?242?五、令P?2xy(x?y),Q??x(x?y)

4 则

?P?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1，?y?Q??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1 ?x 由已知条件得

?Q?P，即有(x4?y2)(??1)?0，所以???1 ??x?y 所求的一个原函数为 ： u(x,y)??1(x,y)(1,0)2xyx2dx?4dy 422x?yx?yy0 ??x0dx??x2y dy??arctanx4?y2x2六、易知

1?x2?(1?x)21 ???(1?x)3(1?x)3(1?x)3(1?x)2(?1?x?1)

?1 又??xn1?xn?0?11n?1? ? ?()?nx?21?x(1?x)n?1??11n?2 ?()???n(n?1)x??(n?1)nxn?1 32(1?x)(1?x)n?2n?1?1?xn?1 ??(n?1)nx??3(1?x)n?12?nxn?1?n?1??n2xn?1 ， 其中

n?1?(?1?x?1)

七、方程的特征方程为：r?6r?9?0，其特征根为r1?r2?3，

故方程的通解为：y?(c1?c2x)e

3x

高等数学（下）模拟试卷五

ln(x?y)一． 填空题z?（每空3分，共21分）

y1．函数的定义域为 。

2．已知函数z?ex2?y2，则dz?(1,0) 。

?z3．已知z?exy，则?x? 。

2ds?224．设L为x?y?1上点?1,0?到??1,0?的上半弧段，则?L 。

5．交换积分顺序?1?edx?lnx0f(x,y)dy? 。

(?1)n?6.级数n?1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程y??sinx的通解为 。

二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数z?f?x,y?在点?x0,y0?的全微分存在是f?x,y?在该点连续的（ ）条件。

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要

2．平面?1:x?2y?z?1?0与?2:2x?y?z?2?0的夹角为（ ）。

????A．6 B．4 C．2 D．3 (x?5)n?n3．幂级数n?1的收敛域为（ ）。

A．?4,6? B．?4,6? C．?4,6? D．?4,6?

?y1(x)????y(x)4．设y1(x),y2(x)是微分方程y?p(x)y?q(x)y?0的两特解且2常数，则下

列（ ）是其通解（c1,c2为任意常数）。

A．y?c1y1(x)?y2(x) B．y?y1(x)?c2y2(x) C．y?y1(x)?y2(x) D．y?c1y1(x)?c2y2(x)

5．?在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?3,x?0,y?3,y?0，z?0,z?3所围的闭区域。

A．D．

???zdv?03dx?dy?zdz00300333 B．

?30dx?dy?zdz0033 C．

?30dx?dy?zdz3003

?30dx?dy?zdz

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

?z?z,z1、已知lnz?e?xy?0，求?x?y。

x?1y?2z??(1,0,2)1?23的直线方程。 2、求过点且平行直线

3、利用极坐标计算D一象限的区域。

22(x?y)d???22，其中D为由x?y?4、y?0及y?x所围的在第

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

1、利用格林公式计算曲线积分?L(y2?ex)dx?(2xy?5x?sin2y)dy，其中L为圆域D：

x2?y2?4的边界曲线，取逆时针方向。

2、判别下列级数的敛散性：

(1)?(?1)n?1?n?11

n2(2)?nn n?13

?五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1f(x,y)?x3?y2?3x?3y?121、求函数的极值。

dy?y?e?x2、求方程dx满足yx?0?2的特解。

x3、求方程y???2y??8y?2e的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.）

5．将?01dx?1?x20f(x2?y2)dy化为极坐标系下的二重积分 。

(?1)n?26.级数n?1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。

?7．微分方程y??2x的通解为 。

二、选择题：（每题3分,共15分.）

1．函数z?f?x,y?的偏导数在点?x0,y0?连续是其全微分存在的（ ）条件。

A．必要非充分， B．充分， C．充分必要， D．既非充分，也非必要，

2．直线

l:xy?2z?2??110与平面?:x?2y?z?3的夹角为（ ）。

????A．6 B．3 C．2 D．4

xn?n23．幂级数n?13n的收敛域为（ ）。

A．(?3,3) B．[?3,3] C．(?3,3] D．[?3,3)

?*4.设y(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解，y(x)是方程y???p(x)y??q(x)y

?0的通解，则下列（ ）是方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解。

A．y(x) B．y(x)?y(x) C．y(x) D． y(x)?y(x)

***5．

2z???dv?在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?y?z?R的上半

RR2222球体。

A．

?2?02?0d??rdr?z2dz00 B．

?2?02?0d??rdr?z2dz00Rr

? C．

d??dr?0RR2?r20zdz2? D．

d??rdr?0RR2?r20z2dz

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

?z?z,3z?3xyz?5?x?y 1、已知，求

2、求过点(1,0,2)且平行于平面2x?y?3z?5的平面方程。

3、计算

??(xD2?y2)dxdy，其中D为y?x、y?0及x?1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

2(x?y)dx?(x?siny)dy2y?2x?x1、计算曲线积分?L，其中L为圆周上点(0,0)到

(1,1)的一段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

???xdydz?ydzdx?zdxdy?，其中?是由

z?0,z?3,x2?y2?1所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

?1?(?1)(2)?4nsinn?lnn n?13 (1)n?2五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1f(x,y)?3x2?6x?y3?2y2?131、求函数的极值。

?ndy?y?ex2、求方程dx满足y

x?0?1的特解。

x3、求方程y???5y??6y?(x?1)e的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题（每空3分，共24分）

1z?2222(x?y)25?x?y1．二元函数的定义域为

2．

yz?x3．的全微分dz? _ 5．设

z?arctan?zy??xx，则______________________

1?n8．级数n?02的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．f?x,y?在点?a,b?处两个偏导数存在是f?x,y?在点?a,b?处连续的 条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充分

（C）充分必要 （D）既非充分也非必要

2．累次积分

(A) （C）

??dx?0101x0f(x,y)dy改变积分次序为

?10dy?f(x,y)dxdy?y20 （B）

?dy?01x01f(x,y)dx

3x?10f(x,y)dx （D）

?10dy?2f(x,y)dxy3．下列函数中， 是微分方程y???5y??6y?xe（A）y?(ax?b)e23x3x3x的特解形式(a、b为常数)

3x （B） y?x(ax?b)e（C）y?x(ax?b)e （D） y?ae 4．下列级数中，收敛的级数是 n??2n?1n?1（A） （B） n?12n?1 （C） ?z?222x?y?z?4z?x5．设，则 1??(?3)n?nn?12 （D）

?(?1)n?nn?1?

xxxx?(A) z (B) 2?z (C) z?2 (D) z

得分 三、求解下列各题（每题7分，共21分）

x?z?z2 z?ulnv,而u?,v?3x?4y,阅卷人 y?x?y 1. 设，求

3n?nn22. 判断级数n?1?的收敛性 3.计算

xe??D2?y2dxdy22x?y?1所围，其中D为

区域

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

2.计算二重积分

?I????x?y?dxdyD，其中D是由直线y?x,x?1及x轴围成的平面区域.

32f(x,y)?y?x?6x?12y?5的极值. 3.求函数

xn?2nn?44.求幂级数n?1

的收敛域.

（下）模拟试卷五

一、填空题：（每空3分，共21分）

x2?y2x2?y2??(x,y)x?y,y?02xedx?2yedy12、

， 、

，3、0,4、2?，

5、?01dy?eeyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、y??cosx?c（c为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B

zF(x,y,z)?lnz?e?xy???1? 1三、解：、令

F?zyz??x??xFz1?zez ???4?

Fy?zxz???z?yF1?zez ???7?

1,?2,3????2? 2、所求直线方程的方向向量可取为?x?1yz?2???23???7? 则直线方程为：1?3、原式

四、解：1、令

??4d??r3dr002???4?

?? ???7?

P(x,y)?y2?ex,Q(x,y)?2xy?5x?sin2y,???(D?P?Q?2y,?2y?5?y?x???3?

原式

?Q?P?)dxdy?x?y???6?

?20? ???8?

2、(1) 此级数为交错级数 ???1?

nn?1(n?1,2,??) ???4?

故原级数收敛 ???6?

(2) 此级数为正项级数???1?

因

n??lim1n?01 ，

?1(n?1)2n?113lim??1n??3n23n 因 ???4? 故原级数收敛 ???6?

2f(x,y)?3x?3?0，fy(x,y)?3?y?0得驻点(1,3),(?1,3) 五、解：1、由x???2?

A?fxx(1,3)?6,B?fxy(1,3)?0,C?fyy(1,3)??1在(1,3)处

2AC?B?0,，所以在此处无极值 ???5? 因

在(?1,3)处

A?fxx(?1,3)??6,B?fxy(?1,3)?0,C?fyy(?1,3)??12

因AC?B?0,A?0，所以有极大值

f(?1,3)?152???8?

2、通解

y?[?e?xe?dx?c]e?dx?1dx ???3?

?x?x ?xe?ce ???6?

yx?0?c?2

?xy?(x?2)e特解为 ???8?

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r2?2r?8?0

有两不相等的实根r1?2,r2??4 所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e*x2)y(x)?ae 设其特解

2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?

?5aex?2ex,a??将其代入原方程得

25

2y*(x)??ex5???6? 故特解

3)原方程的通解为y?c1e?c2e2x?4x2

?ex

5???7?

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、 填空题：（每空3分，共21分）

1(x,y)x?1?y?x?1?2232xcos(x2?y2)dx?2ycos(x2?y2)dy1、?， 、，、,

?2y?x?c（c为?常数）67，、绝对收敛，、，

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D 三、解：

31、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?

4、22，5、?20d??f(r2)rdr01F?zyz??x?2?xFzz?xy ???4?

Fy?zxz???2Fzz?xy ???6? ?y2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?

则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?

03、原式01?3 ???6?

??dx?(x2?y2)dy1x???4?

四、解：1、令

原式

P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?siny),11?P?Q???1?y?x???3?

??(x2?0)dx??(1?siny)dy00???6?

53 ???7?

2、令P?x,Q?y,R?z???2?

?cos1?原式

????(??P?Q?R??)dv?x?y?z???5?

???7? ? ?9????8?

3、(1) 此级数为交错级数 ???1?

????3dv111??0 因n??lnn ，lnnln(n?1)(n?2,3??) ???4? 故原级数收敛 ???5?

(2) 此级数为正项级数???1?

limn?143lim??1n???34nsinn3 因 ???4? 故原级数发散 ???5?

2f(x,y)?4y?y?0f(x,y)?6x?6?0yx五、解：1、由，得驻点(?1,0),(?1,4)

???3?

A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?4(?1,0)4n?1sin?在处

2AC?B?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5? 因

在(?1,4)处

A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??4

2AC?B?0,，所以在此处无极值 ???7? 因

2、通解

y?[?exe??1dxdx?c]e?dx ???3?

x?(x?c)e ???5?

yx?0?c?1,

x特解为y?(x?1)e ???7?

1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3 3、

2x3xy?ce?ce12所以对应的齐次方程的通解为 （c1,c2为?常数） ???3?

*x2)y(x)?(ax?b)e 设其特解

2ax?3a?2b?x?1,a?将其代入原方程得

15,b?24

15y*(x)?(x?)ex24???6? 故特解

3)原方程的通解为y?c1e2x?c2e3x15?(x?)ex24???7?

高等数学（下）模拟试卷七参考答案一．填空题：（每空3分，共

2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25??yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.

yx22y?e(C1cos2x?C2sin2x) 7.8?8. 2 y?Cx1?xy 4. 5. 6.

22二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

?z?z?u??z?v?2xln(3x?4y)?3x2?1.解：?x?u?x?v?xy2(3x?4y)y2 ?z?z?u?y?u?y??z?v?v?y??2x2yln(3x?4y)?4x2?3(3x?4y)y2 3n?12.解：limun?1(n?1)?2n?1x??u?limnx??3n?(5分)n?2n ?32?1???(6分)所以此级数发散????(7分)3. 解：??ex2?y2dxdyD=? 2?1r2 0d??0erdr??(5分)=? 2?1 02er210d???(e?1)??(7分)

四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为y?e???1xdx[?lnxe??1xdxdx?c] ???(6分)=x[?lnx1xdx?C]?x[?lnxdlnx?C] ?x[12(lnx)2?C]?????????(10分) 2. 解：???x?y?dxdy=?1dx?xx?y?dy??(6分)D 0 0?=? 1? 0??xy?1?x 1312y2??0dx?? 02x2dx?2??(10分)

………(4分)………(7分)

??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2??fy(x,y)?3y?12?0fxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B2=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B2=24>0，且A<0，2)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，4.解：此幂级数的收敛半径：R=limn??anan?11n24n?lim?4??(6分)n??1(n?1)24n?1x?4时幂级数变为?1是收敛的p-级数2nn=1??(-1)nx??4时幂级数变为?2绝对收敛?????????????(8分)n=1nxn 所以?2n收敛域为[-4，4]????????????????(10分)n?1n?4

?

??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2??fy(x,y)?3y?12?0fxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B2=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B2=24>0，且A<0，2)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，4.解：此幂级数的收敛半径：R=limn??anan?11n24n?lim?4??(6分)n??1(n?1)24n?1x?4时幂级数变为?1是收敛的p-级数2nn=1??(-1)nx??4时幂级数变为?2绝对收敛?????????????(8分)n=1nxn 所以?2n收敛域为[-4，4]????????????????(10分)n?1n?4

?

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