大一期末 高数复习资料

一、定积分及其应用

1、计算定积分

xedxx(tanx x)dx （1） 0 （2） 1

4

1

x

1

（3）01

7

dxx 1

. （4）1

4

dxx(1 x).

（5）1

5

lnxdx

2. 判断广义积分1

2

e

dx

xlnx的敛散性

1y 与

3、求曲线x

4、求曲线

y x,x 2所围成图形的面积。

与直线

y x

x 3,y 0围成的图形绕x

轴旋转所得的旋转体体积。

二、无穷级数

1.填空 （1）若e

x

, 那么

n 0

xn

n!

xxe2

（2）级数

1

nn 03

的和________________

的收敛半径________________

( 1)n 1xn

（3）幂级数

nn 1

2.判断级数敛散性

1 22

1）1+

1 23

1 32+1 331 42+ 3

1 4

2n

2）

n(n 1)n 1

3） (3n 2)n

n 14n 1

na

5） sin 2

n 1

4）

n 1

( 1)nn a

2

2

n 1

3、求级数下列级数的收敛半径和收敛域 1）

n 1

xn

n

2）

( 1)

n 1

n 1

xn 1 1 x x2 x3 ( 1)n 1xn 1

4、将函数lnx展开成(x-1)的幂级数,并求展开式成立的区间.

5.将函数f(x) 6.将函数f(x)

1x 4x 3

1x2 4x 3

2

展开成x 1的幂级数. 展开成x + 1的幂级数.

三、多元函数

1． 填空

（1）设f(x y,x y) x2 y2, 则f (x, y.

（2）若z exy, 那么 z

2

x

(1,1)

z

（3）若z y, 那么 x

x

(1,2)

2.求下列函数的全微分dz. (1)

z x2 y2

（2）z xy

(3) z

yy (4) z arctanx x

3．求下列偏导数 （1）z x

2z

求 x y

2

y

2

,

2z求 x y

（2）z ln(x y)，

2z 2zy

（3）已知z arctan，求2,2

x x y

3

3

2

2z

和 x y

2z

（4）设z x y 3xy xsiny，求

x y

4. 设z f(2xy,x2 y2), 其中f具有一阶连续的偏导数, 求 z,

x

z y

.

x

5. 设z f(x y,xy), 其中f具有一阶连续的偏导数, 求 z,

z y

.

6. 设生产某种产品的数量与所用两种原料A、B的数量x、y

间有关系式f(x,y) 0.5x2y. 现在用300元购买原料, 已知A、B两种原料的单价分别为2元、5元, 问A、B两种原料各购进多少时, 可使产品的数量最多?

7.工厂生产两种产品Ⅰ、Ⅱ, 总成本为C Q12 2Q1Q2 Q22 5, Q1及Q2分别为Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量, 两种产品的需求函数为

Q1 26 P1, Q2 10

1

P2, 4

P1、P2分别是两种产品的出售单价. 若

生产的产品都能卖出, 问两种产品的产量Q1、Q2各为多少时, 工厂取得的利润最大?

四、二重积分

1. 设D为正方形区域: x 1, y 1, 则 dxdy

D

2. 设D为圆域: x2 y2 a2,

求 2dxdy

D

3. 计算 x2ydxdy, 其中D由y x2与y = x 所围成的平面区域.

D

4. 设区域D为0 x 1，0 y 1，求 xydxdy

D

5. 计算 xydxdy, 其中D是由y 1, y = x , x = 2所围成的平面区

D

x

域.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aif1.html