曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算??x?y?dx，其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。

L2．计算?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax。

3．计算??x2?y2?ds，其中L为曲线x?a?cost?tsint?，y?a?sint?tcost?，

L?0?t?2??。

4．计算?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

4?4????33??5．计算??x?y?ds，其中L为内摆线x?acos3t，y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。

6．计算

?Lz2ds，其中L为螺线x?acots，y?asint，22x?yz?at?0?t?2??。

7．计算?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。

L8．计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线

L段AB。

9．计算?xdx?ydy??x?y?1?dz，其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直

L线。

10．计算??2a?y?dx??a?y?dy，其中L为摆线x?a?t?sint?，y?a?1?cost?L的一拱(对应于由t从0变到2?的一段弧)：

11．计算??x?y?dx??y?x?dy，其中L是：

L1）抛物线y2?x上从点?1,1?到点?4,2?的一段弧；

2）曲线x?2t2?t?1，y?t2?1从点?1,1?到?4,2?的一段弧。

1

12．把对坐标的曲线积分?P?x,y?dx?Q?x,y?dy化成对弧和的曲经积分，其

L中L为：

1）在xoy平面内沿直线从点?0,0?到?3,4?； 2）沿抛物线y?x2从点?0,0?到点?4,2?； 3）沿上半圆周x2?y??2x从点?0,0?到点?1,1?。 13．计算

??eLxsiny?mydx?excosy?mxdy其中L为x?a?t?sint?，

???y?a?1?cost?，0?t??，且t从大的方向为积分路径的方向。

14．确定?的值，使曲线积分????x4?4xy?dx?6x??1y2?5y4dy与积分路径

???无关，并求A?0,0?，B?1,2?时的积分值。

15．计算积分??2xy?x2?dx??x?y2?dy，其中L是由抛物线y?x2和y2?xL所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。

16．利用曲线积分求星形线x?acos3t，y?asin3t所围成的图形的面积。 17．证明曲线积分??3,4??1,2?6xy?2?y3dx?6x2y?3xy2dx在整个xoy平面内与路

???径无关，并计算积分值。

18．利用格林公式计算曲线积分

??xyL2其中L为正向星形cosx?2xysinx?y2exdx?x2sinx?2yexdy，

???线x?y?a232323?a?0?。

L19．利用格林公式，计算曲线积分??2x?y?4?dx??5y?3x?6?dy，其中L为三顶点分别为?0,0?、?3,0?和?3,2?的三角形正向边界。

20．验证下列P?x,y?dx?Q?x,y?dy在整个xoy平面内是某函数u?x,y?的全微分，并求这样的一个u?x,y?，3x2y?8xy2dx?x3?8x2y?12yeydy。

21．计算曲面积分??x2?y2dx，其中?为抛物面z?2?x2?y2在xoy平

????????? 2

面上方的部分。

22．计算面面积分??2xy?2x2?x?zds，其中?为平面和三坐标闰面所围

???立体的整个表面。

24．求抛物面壳z?12x?y22???0?z?1?的质量，壳的度为t?z。

25．求平面z?x介于平面x?y?1，y?0和x?0之间部分的重心坐标。 26．当?为xoy平面内的一个闭区域时，曲面积分??R?x,y,z?dxdy与二重积

?分有什么关系？

27．计算曲面积分??zdxdy?xdydz?ydzdx其中?为柱面x2?y2?1被平面

?z?0及z?3所截的在第一卦限部分的前侧。

28．计算

222222式中为球壳 ????xdydz?ydxdz?zdxdyx?a?y?b??????z?c??R2的外表面。

29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积

??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy化成对面积的曲面积分，其中?是

?平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。

30．利用高斯公式计算曲面积：

1）??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中?为平面x?0，y?0，z?0，x?a，

?y?a，z?a所围成的立体的表面和外侧。

2）???x?y?dxdy??y?z?xdydz，其中?为柱面x2?y2?1与平面z?0，z?3?所围立体的外表面。

?31．计算向理?穿过曲面?流向指定侧的通量：

3

???221）???2x?z?i?xyj?xzk，?为立体0?x?a，0?y?a，0?z?a，

?流向外侧；

???2）???x?y?z?i??y?z?x?j??z?x?y??k，?为椭球面

?x2y2z2???1，流向外侧。 a2b2c2???232．求向理场??ai?cos?xy?j?cosxzk的散度。

?xy???33．利用斯托克斯公式计算曲经积分?ydx?zdy?xdz其中?为圆周，

x2?y2?z2?a2，x?y?z?0，若从x轴正向看去，这圆周取逆时针方向。

34．证明?y2dx?xydy?xzdz?0，其中?为圆柱面x2?y2?2y与y?z的交

?线。

????3235．求向量场a??x?y?i?x?yzj?3xyk，其中?为圆周

????z?2?x2?y2，z?0。

??36．求向量场???z?siny?i??z?xcosy?j的旋度。

?37．计算

x?y?z???y?2?z2dx?z2?x2dy?x2?y2dz，其中?为用平面

?????3切立方体0?x?a，0?y?a，0?x?a的表面所得切痕，若从ox轴2的下向看去与逆时针方向。

(B)

1．计算?yds，其中L为抛物线y2?2px由?0,0?到?x0,y0?的一段。

L2．计算

?Ly2ds，其中L为摆线x?a?t?sint?，y?a?r?cost?一拱

?0?t?2??。

4

3．求半径为a，中心角为24的均匀圆弧(线心度??1)的重心。 4．计算?zds，其中L为螺线x?tcost，y?tsint，z?t?0?t?2??。

L5．计算?L1ttL，其中为空间曲线，dsx??costy??sint，222x?y?zz??t上相应于t从0变到2的这段弧。

6．设螺旋线弹簧一圈的方程为x?acost，y?asint，z?kt?0?t?2??，它的线心度为??x,y,yz??x2?y2?z2，求：

1）它关于z轴的转动惯量Iz； 2）它的垂心。

7．设L为曲线x?t，y?t2，z?t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分?Pdx?Qdy?Rdz化成对弧长的曲线积分。

L8．计算?行)。

L?x?y?dx??x?y?dy，其中L为圆周x2?y2?a2(按逆时针方向绕

x2?y29．计算?ydx?zdy?xdz，其中L为曲线x?acost，y?asint，z?bt，

L从t?0到t?2?的一段。

10．计算??x2?y2?dx??x2?y2?dy，其中L为y?1?|x|?0?x?2?方向为xL增大的方向。

11．验证曲线积分?值。

?2,1??1,0?2xe?y?ydx?x2ey?x?2ydy与路径无关并计算积分

??? 5

∴?eLx2?y2ds??exdx??0a2a20?e2x2dx??4eaadt

0a ?ex|0?e4343432x2a20?aea?????ea?2?a??2 44??5．解：x?y?acos4t?sin4t ds?x?2?y?2dt?????3acostsint???3asint?cots?2222

?9a2sin2tcos2tdt?3asintcostd t47??4?33?32cos4t?sin4tsintcostdt ∴??x?yds?3a??L?0????16?2?1 ?3a??co6st?sint??4a3

6?6?06．解：ds?x?2?y?2?z?2dt?∴?73?7??asint?2??acost?2?a2dt?2adt?2a?2?02adt

L2?z2a2t2ds??220x?y?acost?2??asint?2t2dt

12?8?2at3|0?2a?3。

337．解：?xydx??yyyL?112??2?1dy?2?ydy?2y5?15141??14 58．解：直线段AB的方程为

xyz??，化成参数方程为 321 x?3t，y?2t，z?t，t从1变到0 故?x3dx?3xy2dy?x2ydz

L ??01??3t??3?3t?2t?3012?2??3t??2tdt

2? ?87?t3dt??87 49．解：直线的参数方程为

x?1?t，y?1?2t，z?1?3t(0?t?1)

?

Lxdx?ydy??x?y?1?dz

11

????1?t??2?1?2t??3?1?t?1?2t?1??dt

01 ???6?14t?dt?13

0110．解：??2a?y?dx??9?y?dy

L ??2?0??2a?a?1?cots??a?1?cots???a?a?1?cots??asint?dt

2?02?0 ?a2? ?a2??1?cost?cotssint?dt?a?222?01?1???1?co2st?sin2tdt ??2?2?1dt?a2? 22111．解：1)原式?? ??21??y2?y2y?y?y2dy

2?????1134?1?2y3?y2?ydy??y4?y3?yh2??

323?2?1?2)原式??010???2t??t?1?t2?1?4t?1??t2?1?2t2?t?12tdt

??????????? ??10t3?5t2?9t?2dt

5959131?10??10? ??t4?t2?t?2?dt??t4?t2?t2?2t??

3232?4??4?01211??12．解：1）L的方向余弦cos?34，cos? 554?3?????????Px,ydx?Qx,ydy?Px,y?Qx,yds ?L?L??5?5?2）ds?1??2x?dx，cos??2dx1 ?2dx1?4xcos??sin??1?12x ?221?4x1?4xP?x,y??2xQ?x,y?ds 21?4x2x?x2

故?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??L3）ds?2dx?1?x??1?dx，cos??2x?x2dscos??sin??1?2x?x2?1?x

12

故?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??LL?2x?xP?x,y???1?x?Q?x,y??ds

213．解：因为

?P?Q??excosy?m ?y?x 故原积分与路径无关，于是

原式?OB??BA

?a0??0dx??0?a?e?acosy?m?ady

?2a?2?ma2。 ?e?asin14．解：P?x4?4xy?，Q?6x??1y2?5y4，由

?P?Q?，得 ?y?x4?xy??1?6???1?x??2y2，解得??3 故当??3时，所给积分与路径无关

????x0,0?1,2?4?4xy3dx?6x2y2?5y4dy

??? ??x4?4x?0dx??6?1?y2?5y4dy?001??2??79 5取AC?CB计算，其中A?0,0?，C?1,0?，B?1,2? 15．解：原式?10L1??L2

??2x3?x2?x?x42xdx ??1001????????2y3?y42y?y2?y2dy

???? ??2x5?2x3?x2dx ????2y5?4y4?2y2?dy?10??

1 301y??Q?P?1? 又??? ?????dxdy?1?2xdx?dy1?2xdx???????x?y?0y230?D?D ∴

??Q?P??????x??y??dxdy??LPdx?Qdy

?D??Q?P?1可得面积 ??1，?x?y16．解取P??y，Q?x，

13

A1???dxdy?D1xdy?ydx ?L2设A1为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积

A?4A1?4?1xdy?ydx 2?3222 ?2?20?acost?3asintcots?asint?3acost??sint??dt

?20 ?ba2?32sintco2stdt??a2

8DLL注：还可利用??dxdy??xdy??ydx 17．解：P?6xy2?y3，Q?6x2y?3xy2

?Q?P?12xy?3y2 ?12xy?3y2，?x?y 因为

?Q?P?，所以积分与路径无关 ?x?y 取路径?1,2???3,2???3,4?

原式???24x?8?dx??54y?9y2dy?236

1234??18．解：

?Q?P?2xsinx?x2cosy?2yex，?x2cosx?2xsinx?2yex ?x?y??Q?P? 原式??????x??y??dxdy?0。

?D?19．解：

?Q?P?3，??1 ?x?y??Q?P? 原式??????x??y??dxdy????3???1??dxdy???4dxdy

?D?DD ??dx?032x304dy??8xdx?12 03320．解：1）

?Q?P?2x?，故2xydx?x2dy是某个u?x,y?的全微分。 ?x?y14

u?x,y????x,4??0,0?2xydx?xdy??0dx??x?dy?x2y

002xy?x,y??Q?P2）?3x2?16x?，u?x,y???3x2y?8xy2dx?x3?8x2y?12yeydy

?0,0??x?y???? ??0dx??x3?8x2y?12yeydy

00xy?? ?x3y?4x2y2?12yey?ey?12

22?zydxdy?1?4x2?4y2dxdy 21．解：Dxy：x2?y2?2，dx?1?zx??故原式?Dxy???x2?02?02?y21?4x2?4y2dxdy

2020? ?? ??

r2?ud??d??20??rco?s?9??rsin???1?4?rco?s?222?4?rsin??rdr

2r21?4r2rdr?2?149? 301222r1?4rd?rh2? ?02??u1?4udu?22．解：原式?Dxy??|x||y|?x2??y2?1?z?x?zydxdy

?4??xyx2?y21?4x2?y2dxdy

DxyI????这里DxyI为Dxy在第一象限部分

?20?4?d??rsin?cos?1?4rrdr?4?01?422011sin2?d??741?4r2rdr

02??r0141?4rdr???21?4r2?t132?15?t4?2t2?1t2dt?2?1255?1 42023．解：z?6?2x?2y，ds?1???2?dxdy?3dxdy

15

原式?Dxy???2xy?2x33?x002?x?6?2x?2y?3dxdy

?3?dx? ??27 4?6?3x?2x2?2xy?2ydy

?24．解：M???zds????12x?y21?x2?y2dxdy 2Dxy?? ??2?0d??20122?r1?r27dr?63?1 215??

25．解：平面z?x这部分的面积

22?S???1?z??zxydxdy???2dxdy

DD?2?dx?011?x0dy?2 2因而x?1?x1211 xds?xdx2dy????00S?321?x1211 y???yds?dxy2dy??00S?32 z?121 zds?xds????S?32?

?111?故重心坐标为?,,?

?333?26．解：因为曲面积分?有向曲面，所以??R?x,y,z?dxdy????R?x,y,0?dxdy?Dxy当积分曲面取在?的上侧时为正号，取在下侧时为负号

?27，解：Dxy?AB，面积为0，??zdxdy?0

?Dyz???0,y,z?|x?0,0?y?1,0?z?3?，

16

Dzx???x,0,z?|0?x?1,y?0,0?z?3? 原式?Dyz??301?y2dydz???1?x2dzdx

Dzx??dz?101?ydy??dz?023101?x2dx

113?y??2??1?yh2?arcsiny???。

2?2?0228．解：根据轮换对称，只要计算??z2dxdy

?

Dxy：?x?a???y?b??R2

22 注意到：z?e??R2??x?a???y?b?，再利用极坐标可得

22 ???z2dxdy???c?R2??x?a?2??y?b?2?dxdy? ??????Dxy ????c?R2??x?a???y?b???D2xy2?dxdy

?? ?4e??R2??x?a???y?b?dxdy

22Dxy ?4e?2?0d??R0 R2?r2rdr?1 ?8?e??R2?r2?3??32?83??Re ?3?0R?于是原式??R3?a?b?c?

329．解：原式????Pcos??Qcos??Rcos??ds，这里cos?，cos?，cos?是

??的法向理n的方向余弦而?是平面3x?2y?23z?6在第一卦限部分的上侧?cos??0，取n?3,2,23。

cos??332?22?23?????2?2323，cos??，cos??

555?3223?R?Q?R?dx。 故原式?????5?55???

17

30．解：1）

?P?Q?R???2x?2y?2z ?x?y?z??P?Q?R? 原式???????x??y??z??dxdydz?2????x?y?z?dxdydz

???? ?2?dx?dy??x?y?z?dz?2?000aaaa0?a2?dx??ax?ay???dy 0?2??a?2a3a3?4?ax??dx?3a ?2?? ?0?22??a20P??y?z?x，Q?0，R?x?y

?P?Q?R???y?z ?x?y?z2?0139d??rdr??xsin??z?dz???。

002故原式?????y,z?dxdydz???31．解：????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

???P?Q?R? ???????x??y??z??dxdydz

??? ?????2?x?2xz?dxdydz??dx?dy??2?x2?2xz?dz

2aaa?000 ?a?a0??a2?2a?ax?axdx?a??2?6??

??22?3??2）?????ds????x?y?z?dydz??y?z?x?dzdx??z?x?y?dxdy

S?4 ?????1?1?1?dxdydz?3??bc?4?abc。

3?32．解：P?exy，Q?cos?xy?，R?cosxz2

?P?R?Q?yexy，??2xzsinxz2 ??xsin?xy?，?x?z?y??????P?Q?R???yexy?xsin?xy??2xzsin?xz2? 故div???x?y?z 18

33．解：取?为平面x?y?z?0，被所围成的部分的上侧，?的面积为?a2，

?的单位法向量为

?111??n??cos?,cos?,cos????,,?

?333?1原式????13??yy13?1?11?ds????????ds ???z333???z3??xx33 ??2。 ds??3?a???1???134．证：平面y?z的单位法向理n??cos?,cos?,cos????0,,??

22??由斯托克斯公式得

左边????cos???xy2cos???yxycos??1?y?z?ds ds????z2?xz ?1?y?z?dxdy?0 ??2Dxy35．解：闭曲线?是xoy平面上的圆周x2?y2?4(逆时针方向)，它的参数方程为x?2cos?，y?2sin?，z?0?0???2??，故环流量为

??Rdx?Qdy?Rdz???x?z?dx?x3?yzdy?3xy2dz

?????2?0?2cos???2sin???8cos?2cos??d?

32?0??4?sin?cos?d??16?2?0cos??d??0?12??12?.

???ijk??????36．解：rot???i?j。

?x?y?zz?siny??z?xcosy?0 19

37．解：证平面x?y?z?3a合科立方体内的部分为?，它在oxy平面上23?111?的射影为Dxy，面积为a2，取平面的上侧，单位法向量?，于是由,,???4?333?斯托克斯公式得

1原式????13??yz2?x213?1ds??4???x?y?z?dx ?z3?22x?y3??xy2?z2 ??6a???139ds??6a??dxd?y?6aa2??a3。

423Dxy(B)

12?x?t?1．解：L的参数方程?2p，则

?y?t??1?1222?ds?x?2?y?2dt??t?1dt?t?pdt ?p?p??2所以?yds??Ly0012112tt?p2dt?t?p2pp3??3y0201?22?y?p03p????32??p3?

?2．解：ds?x?2?y?2dt?a2?1?cost??a2sin2tdt

2??t2t?? ?a2?1?cots??12?1??1?2sin???2asin

2??2??所以?yds??L22?0t2a2?1?cost?2asindt

22??ttt?tsindt?8a3??1?co2s?sindt

0222?2? ?8a3?2?04sint2t1? ??16a3?cos?cos3?cos52325?t?2563a ??2?0152?3．解：取坐标系如图，设重心坐标为G?x,y?，由扇形的对称性可知y?0，

20

?xds?1?又x??24a?ds?LL4?4acos?ad?

?aasin? sin?|4??424?

4．解：

ds?x?2?y?2?z?2??cost?tsint???sint?tcost2??1dt

?2?t2dt 所以?zds??Lt001t2?t2dt?2?t23??3t0201?2??2?t03???32??22?

?5．解x2?y2?z2?etcost?etsint?et ds?x?2?y?2?z?2dt ????2???2t2?2e2t

?etcost?etsint??2?esint?etcost?et???22dt

?3e2tdt?3et 所以?1Lx2?y2?z22ds??102e2t223et

?33?t?tedt??e2?02L?031?e?2 2??6．解：M????x,y,z?ds ??2?0?a2cos2t?a2sin2t?k2t2?a2sin2t?a2cos2t?k2dt

? 1）Iz??x2?y2??x,y,z?ds??L??2?0?x2?y2x2?y2?z2ds

??? ??2a2?k2dt??a2a2?k23a2?4?2k2

03112?x??x,y,z?ds?acosta2?k2t2a2?k2dt 2）x???MLM02?a2a2?k2t2??????6ak2 ?2

3a?4?2k2 21

1y?M1??y?x,y,zds??LM?2?0asinta2?k2t2??a2?k2dt

?6?ak2 ?2

3a?4?2k21z?M1??z?x,y,zds??LM?2?0kta2?k2t2??a2?k2dt

3?ka2?2?2kh2 ?

3a2?4?2k2??7．解：由x?t，y?t2，z?t3得

dx?dt，dy?2tdt?2xdt，dz?3t2dt?3ydt

ds?1?4x2?9y2dt

故cos??dx1 ?22ds1?4x?9ydy2x ?22ds1?4x?9ydz3y ?22ds1?4x?9yP?2xQ?3yRL co?s? co?s?故?Pdx?Qdy?Rdz??L1?4x?9y22ds

8．解：圆周的参数方程为x?acost，y?asint?0?t?2?? 故?L?x?y?dx??x?y?dy

x2?y21?2a1?2a???acost?asint???asint???acost?asint??acost??dt

02??2?0?a2dt??2?

2?0L9．解：?ydx?zdy?xdz?? ??2?0?asint??asint??bt?acost???acost?b?dt

??a22sint?abtcots?abcotsdt???a2

?10．解：如图C?OA?OB，

OA：y?x，AB：y?z?x

22

故原式??x2?x2dx??x2??2?x?dx

2011??2?? ??x2??2?x?d?2?x??212??4 3

11．解：由于P?2xey?y，Q?x2y?x?2y 又

?P?Q??2xey?1，故曲线积分与路径无关，?y?x2110

取折线?1,0???2,0???2,1?，则原式??2xdx??4ey?2?2ydy?4e。 12．解：由于P???x?x2?y232?，Q?y?x2?y232?，

又

?P?Q???3xyx2?yh2?y?x???52故当路径不过原点时，该曲线积分与路

径无关，取折线?1,1???2,1???2,2?，得 原式?21xdx?x2?1?32??21ydy?4?y?232?2 413．解：取参数方程x?acost，y?sint?0?t?2??

112?面积A??xdy?ydx??abcos2t?sin2tdt??ab

2L20??14．解：L不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图

?L????ABBO??P?P????????x??y??dxdy，

?D?因为

?P?P??0?1???1??0 ?x?yABBO故?????LLAB?0，所以

1171???1?sin2ydy??x2dx???sin2 0064

原式?????BO??15．解：作代换y?tx，得曲线的参数方程

3at3at23a1?2t33at2?t3 x?，y?，由于dx?dt，dy?dt

32321?t31?t31?t1?t???????? 23

从而xdy?ydx?9a2t2?1?t?32dt，故面积

19a2 S??xdy?ydx?2L2??1?t?0??t2323a2?1?32dt??a ???32?1?t?02??16．解：由于x?y?0时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点?0,0?，作逆时针方向的圆周l：

x?rcos?，y?rsin?，0???2?

使l全部补L所包围，在L和l为边界的区域D内，根据格要公式，有

??Q?P?ydx?xdyydx?xdy ???dxdy????????x?y?L2x2?y2l2x2?y2?D1??????Px2?y2?Q∵ ，故上式为零 ??222?y?xx?y??22222??rsin??rcos?ydx?xdyydx?xdy∴?????d? 2L2x2?y2l2x2?yh202r??????12?d????。 ?0222?zydxdy?1?4x2?4y2dxdy 17．解：Dxy：x2?y2?2，ds?1?zx 原式?Dxy2232?x?y??????1?4x22?4yh2dxdy

111? 16 ?3?2?0d??20?2?r?1?4r2rdr?18．解：Dxy：x2?y2?2ax，z?x2?y2

x2y2?1?2?2dxdy?2dxdy ds?1?z?zdxdy 22x?yx?y2x2y 原式?2??xy??x?y?x2?y2dxdy

Dxy??? ?2?2?d???22aco?s0?r2sin?co?s?r2?sin??co?s?rd?

? 24

?2?2??sin?cos??sin??cos???2?1642acos4?d??2a4。 415??19．解：半球壳?的方程为z?a2?x2?y2 Dxy：x2?y2?ah2

22 ds?1?zx?zyds?aa?x?y222dxd y Iz????x?y??0ds??0??22?Dxyax2?y222??2a?x?ydxdy

?a?0?2?0d??a0r2a2?r2rdr?4?0?a4。 32?a?20．解：质量为M????0ds?2?0??dxdy?2?0????2??x2?y2?ax2?a2?0 4从而垂心的坐标为

1x?M8 ?2?a42?0??xdxdy?2?ax2?y2?ax8xax?xdx??0?a2a2?a0xdx?ax?x2ax?x2dy

2?a2a?2?a??a?2??t????xdt ?2??2?82?a?a2?tdt? ? ???0?a2?2?1y?M1z?M?22?0?dx?0aax?x2?ax?x2ydy?0

?acos?042?0??zdxdy?2?ax2?y2?ax?2??d??28ardr?3?2??20cos3?d??16a 9??a16a?即重心坐标为?,0,?。

?29??21．解：由于曲面z?x2?y2得x2?y2?z2?a2分成上下两部分，记成S上，

2222?x?y?z?a? S下，又由?2??z?x?yh2 25

解得：z?a2，x2?y2?a2，所以

I????x2?y2?ds???0ds

S上S下 ???x2?y2Dxy??aa?x?yar3a?r22222dxdy

? ??2?0ad??20dr?2?a4?40sin?d??2?a46?8?52?

yoz，22．解：证z在xoy，在x?y?z?1?2，?3，zox平面上的部分分别为?1，

面上的部分为?4。

??xzdxdy?xydydz?yzdzdx???xzdxdy????x?0dxdy?0

?1?1Dxy??xzdxdy?xydydz?yzdzdx???xydydz????0?ydydz?0

?2?2Dyz??xzdxdy?xydydz?3?4?yzdzdx???yzdzdx????0?zdzdx?0

?2Dzx故原式???xzdxdy?xydydz?yzdzdx

?3??xzdxdy?3??x?1?x?y?dxdy?3?dx??4Dxy011?x0?1?x?y?dy?1

8 (另解：可求得??xzdxdy??11，由对称性可得原式?也可用高斯公式)

824x2y2x2y223．解：Dxy：2?2?1，z??c1?2?2由轮换对称，只要计算积分

abab1dxdy再利用广义极坐标可得 ??z?1dxdy?????2?Dxy1c1?xy?a2b222dxdy???Dxy?1c1?xy?a2b222dxdy

26

2???cDxy12ab2?rdxdy?d?dr ??00222cxy1?r1?2?2ab14?ab??1?r2c??10?4?ab c?bcacab?4?22于是原式?4??????bc?a2c2?a2b2。

bc?abc?a??24．解：证?1，?2分别为锥面的底面和侧面而cos?，cos?，cos?为锥面外法线的方向余弦Dxy：x2?y2?h2，则

???y?z?dydz??z?x?dxdy??x?y?dxdy

?1 ?Dxy2??x?ydxdy?d?r???0?0?cos??sin??dr?0

2?h又对?2上的任一点?x,y,z?有

cos?cos?cos??? xy?r故ds在各坐标平面上射影分别为

xxyycos?dx??cos?ds?dxdy，cos?ds??cos?ds?dxdy cos?ds??dxdy，

z2zz于是???y?z?dydz??z?xdxdy???x?y?dxdy

?2

????y?z?cos???z?x?cos???x?y?cos??ds

S2 ?y?x???????y?z?z?x?x?ydxd y???2?z?Dxy? ??2???x?y?dxdy?0

Dxy故原式?0?0?0

25．证：由格林第一公式得

???u?vdxdydz???u????u?v?u?v?u?v??v?dx?????????dxdydz ?n?x?x?y?y?z?z???同理

27

???v?udxdydz???u????u?v?u?v?u?v??u?dx???????dxdydz ???n?x?x?y?y?z?z???两式相减得：

?v???v??u?v?v?udxdydz?u?v??ds。 ?????????n?n?26．解：设c???BA，其中BA为从B到A的直线段，则c为封闭曲线，由斯托克斯公式得

?cPdx?Qdy?Rdz????dydz??x2x?yzdzdxdxdy??，其中?是以c为边界且

?y?z22y?xzz?xy与c构成右手系的任曲面。

∴

??h0?L??C??BA??c??AB??AB

?h3z?ak0dz?

32??u??u??u?i?j?k 27．证：gradu??x?y?z?i? ro?tgrad??u?x?u?x?j??y?u?y?k??2u?2u????2u?2u????????i???j ?????z??z?y?y?z???z?x?x?z??u?z??2u?2u?? ????y?x??x?y??k?0

??(C)

a2a4?1．解：ds?1?2a?xh24a2?x2??3a2?2x2dx?dx，|x0|?0 22a2?x2??于是当x0?0时，有

S??x003a2?x2aa?x0dx?ln?x0?|z0|?|x0| 224a?x02a?x?? 28

当x0?0时，有

3a2?2x2aa?x0S??dx?ln?x0?|z0|?|x0|

x02a2?x24a?x00??故当|x0|?a时，有S?|Z0|?|x0|

xx2．解：ds?1?sin2dx?chdx，于是

aa?x?d?sh???11???a?ds?dx? 2??????xxaya2ch21?sh2aaxcha??

?L1??x? ?arctan?sh??

a?a???a3．解：ds?e2t?cost?sint??e2t?sint?cost??e2tdt?3etdt

22 质量为M??0??3etdt?3

于是垂心坐标为

01??2cots?sint2t x0??etcots3etdt??e2tcotsdt?e????m5010t2sint?cots2tt y0??ecots3edt??e2tsintdt?e??m??500???2 5??1??

5 z0?010tt1t2tee3edt?edt? ??????m2 4．解：∵

但??C?BA??C??BA， ∴ ?C??C?BA??AB

AB??0dx?0，又

?RR???Q?P?2y2y??4????Pdx?Qdy??dxdy???C?BA????x?y??R2?x2R2?x2?D?D???dxdy ?? ?4??dxdy?4D?2R2?2?R2

∴原式?2?R2

29

x1?y2f?xy?5．解：P?，Q?2y2f?xy??1

yy???Py2yf?xy??y2f??xy?x?1?y2f?xy?y2f?xy??xy3f??xy??1 ??22?yyy?Q1y2f?xy??xy3f??xy??122 ?2yf?xy??1?xyf??xy?y??xyy2??????故当y?0时，

?P?Q，因此只要路径不过x轴，点A到点B的曲线积分??y?x?2??2?与路径无关，取路径A?3,??C?1,??B?1,2?，有

?3??3?1?49?2?f?x??3?dx?21y2f?y??1dy ?23y223原式??13?? ?2213121?2???dx?fxdx?fydy?dy ??222????3323?3?33y231 ??1?3???3f?y?dy??2f?y?dy?22y322??4

23yyyy2y6．解：x?0时，有P?1?2cos，Q?sin?cos

xxxxx?P2yyy2y ??2cos?2sin

?yxxxx?Qyyy2yyy2yyy2y??2cos?2cos?3sin?2cos?3sin ?xxxxxxxxxxx 改右半平面????x,y?\\x?0?，由于?是单连通区域，且在其上

?Q?P?，故在?上的是某函数u?x,y?的全微分，且可取 ?x?yu?x,y???x1y?y2y????1?x2cosx?dx????siny?ycosy?dy ?? 30

x ???x?y?x???ysiny|yysiny?ysin??x?1?x 1?2,??于是原式????x?1?ysiny?x?????1 ?1,??7．解：P?x?xysinx，Q?f?x?2

?P?Q?y?xsinx，?x?xf??x??f?x?xh2 即f'?x??1f?x??x2xsinx 解此一阶线性微分方程得

1f?x??e?xdx???x2sinxe??1xdxdx?C??

?? ?x?sinx?xcosxe?

由f?????2???0得e??1，故所求函数为

f?x??x?sinx?xcosx?1? 8．解：所求的功W???2,4?xdx?ydy?1,1??x2?y2?32，P?x?x2?y2?32，

?P3?Q3?xy?y??2xy2?x2?y2?32，

?y??2?x2?y2?32

当x2?y2?0时，此积分与路径无关

故W??2x1?x2?y2?32dx??4y1?4?y2?23dy

4 ?121?x2?1?1114?y212?25

9．解：由格林公式各

I????3?3x2?3y2?dxdy??2?D0d??R?3?3x20?xdx

31

Q?y?x2?y2?32

?R2R4?R2?2??6???2?4???3?R??1?2?? ????1）当R?0（舍去），R?2时，I?0

2）由IR?6?R?6?R3?0，得R?0（舍去），r?1

???6??18?R2，I??|R?1??12??0 IR3故当R?1时，I取最大值，I?1???

210．解：补上?1：x2?y2?1，z?1，上侧由高斯公式

I????3dxdydz???x?1?x2z?dydz?y?1?x2z?dzdx?z?1?x2z?dxdy

??11 ?3???12?1???1?x2dxdy

3x2?y2?1?? ??????2?02d??xx2cos?d??01?4

11．解：由对称性可知

原式?8??xyzds，?1：x?y?z?1

?122?zydxdy 而??xyzds???xy?1?xy?1?zx?1D ?3?dx?011?x0?y2y3?xy?1?x?y?dy?3???1?x?x?x?dx

023?0?11?x1x1?x3x333? ?3???1?x???1?x??dx?3??1?x?dx?

00261203?? 故原式?833 ?1201512．解：取?1：x?1，y2?z2?1方向与x轴同上，则 I????1??2?1?x?dydz???2?1?x?dydz?1?2???dxdydz???4dydz

??1 ?2?2?0d??rdr?2dx?4??4??r?r3dr????3?

0r0111?? 13．解：利用格林公式 原式

32

???y?2xy?dx??x2?2x?y?dy???y?2xy?dx??x2?2x?y2?dy L?OAOAD?????2x?2???1?2x?dxdy??0???dxdy?4?

D14．解：P?3y?x?x?y?3，

?P6?x?y?y?3x?Q6?x?y?，， ?Q??434?y?x?y??y?x?y??x?y? 当x?y?0时，有

?2,3?1,0??P?Q，积分与路径无关 ??y?x

???3y?x?dx??y?3x?dy?2?xdx?3y?6dy

?1x3?0?2?y?3?x?y?3233111??dy?8 ??0?y?2?3dy 0x1?y?2?21?11??11?26 ????????4????

2?52??254?2515．解：Iz????x2?y2?ds?SDxy???x2?y2?2dxdy

??2?0d??h02r3dr?24?h 216．解：P?x,y??y2?2xy?ax2?x?2?y22?，Q?x,y???x2?2xy?by2?x2?y22?

?P2y?2x4yy2?2xy?ax2 ， ??232222?yx?yx?y???Q??2y?2x?4y?x?2xy?by? ???x?x?y??x?y?22222223??? 令

?P?Q?，得 ?y?x x3?x2y?xy2?y3?x3?y3???b?xy2??2?a?x2y 比较系数得，a??1，b??1 ∴du?y2?2xy?x2?x2?y22?dx?x2?2xy?y2?x2?y22?dy

33

∴u?x,y????x,y??1,1?x1y2?2xy?x2x2?2xy?y2dx?dy 222222x?y1x?y?? ??1?2x?x222?1?x??x?y?d?1?x?dxdx ???2???1?x?1?x??1?x?1?22x2xx1221221dx??yx2?2xy?y2dy

2

?? ?y1y?x?y?dydy ?2x222?122x?yx?y??x?11xyxx?y ?????222222221?xh2x?yx?11?xx?yx?yx?y?l

x2?y2故u?x,y?的形式

22z?1z?2???17．解：，其中，，分别是在，，???z?x?y?213??????????1?2?3上的曲面块。

???????1D1ex2?y2e222dxdy?lim????02?0d??edr??2?e

?1 ???????2D2x?ydxdy?lim????02?0d??212?e2dr?22?e2

???????3D32ex2?y222x?ydxdy???2?0d??2erdr??2?e?2?e

?∴???e2x?y22dxdy??2?e?22?e?2?e2?2?e

?2?e??2?1

????18．证：设??Pi?Qj?Rk，且P，Q，R具有二阶连续导数 ?i??∵?????xP?j??yQ?k??R?Q????P?R????Q?P???????y??z??i???z??x?j????x??y??k ?z??????R 34

?∴?????????i??x?P?Q??y?z?j??y?P?R??z?x?k??z?Q?P??x?y

??2Q?2P?2P?2Q????2R?2Q?2Q?2P?? ????x?y??y2??z2??x?y??i????y?z??z2??x2??y?x??j

??????2P?2Q?2R?2R?? ????z?x??x2??y2??x?y??k

????2P?2Q?2R????2P?2P?2P????2P?2Q?2R?? ????x2??x?y??x?z??i????x2??y2??z2??i????y?z??y2??y?z??i

????????2P?2Q?2R????2Q?2Q?2Q????2P?2Q?2R??????y?z??y2??y?z??j????x2??y2??z2??j????z?x??z?y??z2??k ????????2R?2R?2R??????x2??y2??z2??k ???????P?Q?R??????P?Q?R??22??????i??Pi???j??Qj ?????x??x?y?z??y??x?y?z?????P?Q?R??2? ?????k??Rk ?z??x?y?z????????????2?

35

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