2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第05讲 子集

第5讲 子集

本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。 设a表示任意元素，A,B表示两个集合。若a?A?a?B ，则A?B ，即

集合A是集合B的子集。规定空集是任何集合的子集。

子集是由原集合中的部分元素构成。对于由n个元素组成的集合，它的每一个子集中元素的构成，都是对这n个元素进行选择的结果。由于对每一个元素的选择都有两种可能（选

nn上或不选），因此，对这n个元素共有2种不同选择结果，即由n个元素组成的集合共有2个不同子集。其中，不同的非空子集有2n?1个，不同的真子集有2n个。

A类例题 例1 求集合M?{x?R|x2?ax?a?3?0}的子集的个数。

分析 欲求集合M的子集的个数，可先求出集合M的元素的个数。 解 由x当a当a2?ax?a?3?0，得??a2?4a?12?(x?2)(x?6)。

??2或a?6时，??0? 原方程的解集为空集； ??2或a?6时，??0? 原方程的解集为单元素集； ?a?6时，??0? 原方程有两个不等的实数解。

当?2所以，当a当a??2或a?6时，集合M??，有1个子集；

??2或a?6时，集合M?{x0}，有2个子集； ?a?6时，集合M?{x1,x2}，有4个子集‘

当?2例2 求满足{a,b}?P?{a,b,c,d,e}的集合P的个数。

分析 本题要求的是集合{a,b,c,d,e}中，必定含有元素a,b的子集的个数，只要求出集合{c,d,e}的子集数。

解 由集合{c,d,e}的子集数为23?8，得所求集合P的个数为8。

例3 已知集合A?{2,3,4,5,6,7}，对X

?A，定义S(X)为X中所有元素之

和。求全体S(X)的总和S。

分析 要求出全体S(X)的总和S，只要求出每个元素出现的次数。

解 由集合元素的互异性，得集合A中某个元素在总合S中出现的次数，就是集合A中含有该元素的子集数。所以，

全体S(X)的总和S

来源学科网ZXXK]?(2?3?4?5?6?7)?25?8640。

情景再现

1．设集合A求集合A??{(x,y)|y?x2?4x?1}，B?{(x,y)|y?2x?1}。

B的子集的个数。

a,1}?{1,2,a}?{1,2,4,a2}，则a的值是_____。（1998年第

九届“希望杯”高一）

2．若数集{1,2,3,4,5,6,7}，且当a?A时，必有8?a?A，问：这样3．设非空集合A?{的A共有多少个？

B类例题 例4 在某次竞选中，各个政党共作出

p种不同的诺言(p?0)，任何两个政党都

p?1个。

至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于2（1972年加拿大数学竞赛）

分析 这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意，将“诺言”作为元素，运用集合进行分析和研究。

证明 将

p种不同的诺言构成集合A，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合A的子集。因而政党数应不大于集合A的子集数。

又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对

2p互补的子集。故政党数??2p?1。

2例5 证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序，使得任何两个相邻的子集

仅相差一个元素。 （1972年波兰数学奥林匹克）

分析 本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法，满足题设的要求。为此，可从特殊情况入手进行探索。

来源学科网若有限集元素的个数n当n当n?1 时，子集数为2，可排列为?,{a1}；

?2时，子集数为22，可排列为?,{a1},{a1,a2},{a2}； ?3时，子集数为23，可排列为

?,{a1},{a1,a2},{a2},{a2,a3},{a1,a2,a3},{a1,a3},{a3};??

每增加1个元素，子集数增加1倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素，得到又一列排列好的子集。再将排列好的子集倒序后，接排在原来已排好的子集列后面，得到符合条件的新的子集列。

证明 设有限集的元素个数为n。

当n当n当n?1时，子集数为2，全部子集可排列为:?,{a1}；

?2时，子集数为22，全部子集可排列为:?,{a1},{a1,a2},{a2}； ?3时，子集数为23，全部子集可排列为:

?,{a1},{a1,a2},{a2},{a2,a3},{a1,a2,a3},{a1,a3},{a3};??若n

?k时，子集数为2k，全部子集可排列为:A1,A2,?,A2k,且任何两个相邻的子集仅

当n相差一个元素。

?k?1 即增加一个元素ak?1 时，按下面的方法可得由k?1个元素组成的有A1,A2,?,A2k,ak?1?A2k,ak?1?A2k?1,?,ak?1?A1。

限集的全部子集的一个排列，

因为A1,A2,?,A2k共

2k

个子集中任何两个相邻的子集仅相差一个元素，所以，

ak?1?A2k,ak?1?A2k?1,?,ak?1?A1共2k个子集中任何两个相邻的子集也仅

相差一个元素。又Ak与ak?12?A2k也相差一个元素，因此，上述由k?1个元素组成的

有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列。

由此，我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法，即原命题得证。

例6设M

?{n|1?n?1995,n?N},A?M，15x?A。且当x?A时，

求|A|的最大值。 （1995年全国高中数学联赛）

分析 由题意，x与15x不能同属于集合A。按照集合A的这一本质特征，构造具有

最多元素的集合A。

解 由

1995[]?13315，又

x与

15x不能同属于集合

A，得

A1?{n|134?n?199,5n?N}?A。

由[133]?8， 得集合A2?{n|9?n?133,n?N}已不可能与集合A1同为15A|?1995?125?1870。

集合A的子集。故|设

A3?{n|1?n?8,n?N} ，经检验，A1?A3是满足条件的集合，且

|A1?A3|?1870。所以，|A|的最大值为1870。

来源:Z#xx#k.Com]

情景再现

4．在一次IMO竞赛中，k个领队共使用n种不同语言。如果任何两个领队至少使用一种共同语言，但没有任何两个领队使用的语言完全相同。求证：k

?2n?1

。

5．已知A?B?{a1,a2,a3}，当A?B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，

则这样的(A,B)对的个数有____________个。 （1993年全国高中数学联赛）

6．设集合A是整数集Z的子集，其中的元素有正整数，也有负整数，且若a,b?A（允

许

a?b），则

a?b?A，求证：若

a,b?A，则

a?b?A。

C类例题

1,2,?,n}及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”例7 对{：对每一

个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替的减或加后继的数（例如，

{1,2,4,6,9}的“交替和”是9?6?4?2?1?6;{5}的“交替和”是5）。对n?7，

求所有这些“交替和”的总和。 （第1届美国数学邀请赛）

分析 求所有这些“交替和”的总和的关键，在于每一个数字在“交替和”中出现的次数及符号。

1,2,?,n}的全部子集分为两类：含元素n的子集共有2解 对集合{素n的子集也有2n?1个，不含元

n?1个。

将含元素n的子集{n,a1,a2,?,ak}与不含元素n的子集{a1,a2,?,ak}相对应，得这两个子集的“交替和”恒为n。

所以，所有这些“交替和”的总和为2n?1?n。当n?7时，“交替和”的总和为

7?26?448。

例8 已知集合S中有10个元素，每个元素都是两位数。求证：一定可以从S中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素和相等。

(1972年14届IMO)

分析 本题要求的是从集合S的子集中，找到两个元素和相等的子集。这两个子集即使有公共元素，只要同时除去公共元素就可以满足题意。

证明 由集合S中每个元素都是两位数，故它们的总和不超过1000。而集合S共有

210?1024个子集。由抽屉原理，得集合S的子集中至少有两个子集的和相等。若这两个

子集有公共元素，只要同时从这两个子集中同时除去公共元素，得到两个无公共元素的子集，且使两个子集的元素和相等。即命题得证。

情景再现

7．设集合M?{n|1?n?10,n?N}。现对M的任意一个非空子集X，令aX表示X中最大数与最小数之和，那么，所有这样的aX的算术平均值为___________。

8．由前2n个正整数组成的集合M?{m?N|1?m?2n,n?N?}，从中任取

n?1个元素组成M的子集A，求证：集合A中必有两个数ai,aj,使得ai?aj?A，

或者aj来源学*科*网?2ai。

习题5

1． 若{2,|a?1|}?{2,3,a2?2a?1}，试确定a的值。

2．已知集合A?{n|1?且B?Cn?10,n?N}，B?{1,2,3,4,5}，若C是A的子集，

??，则子集C有多少个？

3．若

A?{n?N|1?n?2m?1,m?N}，且

a?A时，必有

2m?a?A，求证：这样的子集共有2m?1个。

4．已知集合X的和记为

?{n|1?n?k,k,n?N}，对A?X, 将A中所有元素

S(A)，将

X分为互不相交的两个子集

A,B且

A?B?X，若

S(A)?2S(B)，求k的所有值。

5．矩形城市的道路非常规则，恰好东西向、南北向的道路分别有m,n条。一位妇女住

在城市的西南角，工作在东北角。她每天步行去工作。如果每个交叉路口不得经过两次，证明她所能选取的路线数目竞赛）

6．已知集合{n|1?f(m,n)不大于2mn。 （第9届加拿大数学

n?10,n?N}，求满足至少含有两个元素且任意两个元素的

差的绝对值大于1的子集的个数。

（1996年上海爱朋思杯赛）

7． 设集合A?{x|1?x?100,x?N}且对任意的x,y?A，必有2x?y，

则子集A所含元素个数的最大值为___________________.

(1991年河南省集训题)

8．已知集合S?{n?N|1?n?1997}.A?{a1,a2,?,ak}是S的子

集，且具有下述性质：“A中任意两个不同元素的和不能被117整除。”试确定k的最大值并证明你的结论。（1997年全国高中数学联赛）

答案

情景再现

1．

?y?x2?4x?1 解 ??x2?6x?2?0

?y?2x?1?36?8?28?0，得|A?B|?2。

B的子集的个数为4。

a?2?a?4或a?a?a?0或a?1。经检验，

由?所以，集合A?2．

解 由题意，

a的值是0或4。

3．

解 由题意，1与7，2与6，3与5中每一对数必须在同一个集合A内。因此，所求集合A的个数等同于以1与7，2与6，3与5及4为元素的集合的非空子集的个数。所以，这样的A共有24．

4?1?15（个）。

略证 设n种不同语言构成集合P，则任何一个领队对应于集合P中不互补的非

2n空子集。所以， k??2n?1。

25．

解由集合

A,B都是A?B的子集，A?B且A?B?{a1,a2,a3}。当

A??时，B有1种取法；当A为一元集时，B有2种取法；当A为二元集时，

B有4

种取法；当

A为三元集时，B有7种取法。故不同的(A,B)对有

1?3?2?3?4?7?26（个）。

6．

证明 设集合A中，最小的正整数为x，最大的负整数为y。 由x?A,y?A, 则x?y?A。又y?x?y?x，则x?y不可能是非零

，即x,y分别是集合A中最小的正整数和最大的负整数矛盾）

整数（否则，与

x?y?0?y??x。

由题意，易得x?A? 综上，x?Anx?A(n?N*)。

?A?{a|a?nx,n?Z}。

若a,b?A，则 得证。 7．

a?mx,b?nx,?a?b?(m?n)x?A。即原命题

略解 集合

M中元素

k，以最大数出现的次数等于集合

{n?N|1?n?k?1}的非空子集数2k?1，以最小数出现的次数等于集合{n?N|k?1?n?10}的非空子集数210?k。所以，所求的平均值为

1210?1

[1?(20?29)?2?(2?28)???10?(29?20)]

?1210?1[(1?10)(20?2???29)]?11。

8． 略证 设子集A?{a1,a2,?,an?1}，且a1作差，得

?a2???an?1?2n。

bi?an?1?ai,i?1,2,?,n，且b1?b2???bn?an?1?2n。

于是 1?b1,b2,?,bn,a1,a2,?,an?1 由抽屉原理，必有

bi 或 bi

?2n,

?aj?i?j??an?1?ai?aj?ai?aj?an?1?A； ?ai?2ai?an?1(?aj)。即原命题得证。

习题5

1．

略解

|a?1|?3?a?2或a??4;

|a?1|?a2?2a?1?a?1或a??3。

经检验，a的值为?4或2。 2． 解

1

由集合

A的子集中除去不含集合

B中元素的子集，得子集C 共有

210?25?992（个）。

解2 子集C的元素是由集合{6,7,8,9,10}的任意一个子集中的元素，与集合B的

任意一个非空子集中的元素组成。所求的子集C共有25?(25?1)?992（个）。

3． 证明 由题意，1与2m?1，2与2m?2,?中每一对数必须在同一个集合A内。

因此，所求集合A的个数等同于以1与2m?1，2与2m?2,?及m为元素的集合的非空子集的个数。所以，这样的A共有24．

略解 由题意，S(B)因而，k若km?1（个）。

11?S(X)?k(k?1)。 36或k?1是3的倍数。

?3m，集合A取集合X中形如3m或3m?2的元素构成，集合B取集合

X中形如3m?1的元素构成，则集合A,B满足题设要求；

若k?3m?1，集合A取集合X中形如3m或3m?1的元素构成，集合B取

3m?2的元素构成，则集合A,B满足题设要求。

集合X中形如

所以，所求k的值为3m或3m?1(m?N)。

5． 略证 设mn条道路构成集合P。这位妇女的每条路线对应于集合P的一个子集。所

以，他所能选取的路线数

f(m,n)不大于集合P的子集数，即有f(m,n)?2mn。

6． 略解 设ak表示集合Ak集合Ak?2?{n|1?n?k,n?N}满足题设条件的子集数。考察

?{n|1?n?k?2,n?N}满足题设条件的子集构成。它的满足条件

的子集可分为两类：一类不含元素k个；另一类含元素k?2，即集合Ak?1中满足条件的子集，应有ak?1?2，此类子集或者是集合Ak中满足条件的子集有ak个，或者是

{1,k?2},{2,k?2},?,{k,k?2}等有k个。因此，

ak?2?ak?1?ak?ka3?1,a4?3,({1,3})，

k?N.

易知，

({1,3},{1,4},{2,4})，

由上式可依次推得，

a5?7,a6?14,?,a10?133.

7． 略解 由[100502512]?50,[]?25,[]?12,[]?6,? 2222

构造满足条件且元素最多的子集：

{1}?{4,5,6}?{13,14,?,25}?{51,52,?100} 共有元素67个。

来源学科网[2],?, [116]8． 略解 将1997按除以117的不同余数分为117类：[0]，[1]，

（[n]表示除以117的余数为n）.

由1997个元素。

由题意，余数之和为117的两类不能同在一个子集内，从而构造含元素最多的子集：取[1],[2],?,[58]类的所有元素及[0]类的一个元素构成集合个。即

?117?17?8，得[1],[2],?[8]每类各18

个元素，其余各类各

17

A，此时共有元素995k的最大值为995。

（证明略）

学科网

w。w-w*k&s%5￥u 学科网 w。w-w*k&s%5￥u

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ai1t.html