江西省南康中学2012届高三下学期数学（理）试题（四）

江西省南康中学2012届高三下学期数学（理）试题（四）2012.2.23

一、选择题(共50分)

1、已知i为虚数单位, 则复数i(1?i)的模等于（ ）

21 B. C. 2 D. 2

223?3?2．已知点P(sin且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) ,cos)落在角θ的终边上，

443?5?7??A. B. C. D.

44443．设平面向量a?(1,2)，b?(?2,y)，若a//b，则3a?b?( )

A .

A.5 B. 6 C. 17 D.26 4、设随机变量X~B(n,p)且EX?1.6DX?1.28，则（ ）

A．n?8C．n?5p?0.2 p?0.32

B．n?4 D．n?7p?0.4 p?0.45

15. 已知定义域为R的偶函数f(x)在(??,0]上是减函数，且f()＝2，则不等式

2f(log4x)?2的解集为 （ ）

221A. (0,)(2,??) B. (2,??) C. (0,) )(2,??) D. (0,2226、设数列{an}是公比为a(a?1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N

＊

，点(Sn，Sn?1)在直线( )

B. y?ax?b上 C. y?bx?a上 D. y?bx?a2A.y?ax?b上 上

x7、p:f(x)?e?lnx?2x?mx?1在(0,??)内单调递增，q:m??5，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长相等，其外接球的表面积为4? ，则侧棱长为（ ）

323222 B、 C、 D、 3333x2y29.过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲线的两ab开始1条渐近线的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是 ( ) k?1,s?02A．2 B．3 C．5 D．10 s?s?3k10、设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1?D，存在唯一的x2?D， f(x1)?f(x2)k?k?2?C成立（其中C为常数）使得 ，则称函数y?f(x)在D上

23的均值为C， 现在给出下列4个函数： ①y?x ②y?4sinx ③y?lgx k?100x ④y?2，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（ ）

是A、 ①② B、 ③④ C、①③④ D、①③

A、

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否输出S结束第11题

二、填空题(25分)

11、给出如图所示的程序框图，那么输出的数是 12、定义在(?1,1)的函数f(x)??5x?sinx，

如果f(1?a)?f(1?a)?0，则实数a的取值范围为 213. 甲乙两人进行乒乓球单打决赛，采用五局三胜制，对于每局比赛 甲获胜的概率为

21，乙获胜的概率为，则爆出冷门（乙获冠军） 33 的概率为

222214.若⊙O1:x?y?5与⊙O2:(x?m)?y?20(m?R)相交于

A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度 是 15、（坐标系与参数方程选做题）（1）若P(2,?1)为曲线

?x?1?5cos?(0???2?)的弦的中点，则该弦所在 ??y?5sin?直线的倾斜角为

（2）已知命题“?x?R,|x?a|?|x?1|?2”是假命题， 则实数a的取值范围是____ ____； 三、解答题

16、已知向量m=（1, 1），向量n与向量m夹角为

（1）求向量n；

?C?（2）若向量n与向量q =（1，0）的夹角为，向量p?(cosA,2cos2)，其

22中A、B、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求|n?p|的取值范围；

，且m?n=－1．

17、已知甲盒中装有1，2，3，4，5号大小相同的小球各一个，乙盒中装有3，4，5，6，7号

大小相同的小球各一个，现从甲、乙盒中各摸一小球（看完号码后放回），记其号码分别为

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x,y，如果x?y是3的倍数，则称摸球人为“好运人”.

⑴求某人能成为“好运人”的概率；

⑵如果有4人参与摸球，记能成为“好运人”的人数为?的分布列及数学期望.

18、如图，三棱锥

P?ABC中，AB?BC，AB?BC?kPA，O,D分别为AC,PC的中点,OP?面ABC. (1)若k=1，试求异面直线PA与BD所成角的余弦值， P(2）当k为何值时，二面角O-PC-B大小为？

?3

DOABC19.已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1?3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1?1,且a2b2?12,S3?b2?20. （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式。

? （Ⅱ）令Cn?Sncos(an?)(n?N),求{cn}的前n项和Tn.

20、函数f(x)定义在??1,0?(0,1?上的偶函数，当x???1,0)时，f(x)?x3?ax

（1）当x?(0,1?时，求f(x)的解析式; （2）若a?3判断f(x)在(0,1?上的单调性;

（3）是否存在a，使得当x?(0,1?时，f(x)最大值为?1？

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x2y2321．（本题满分12分）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，x轴被抛物线

2abC2:y?x2?b截得的线段长等于C1的长半轴长.

（1）求C1,C2的方程；

（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l:y?kx

与C2相交于A,B两点，直线MA,MB分别与C1相交于D,E. ①证明：MD?ME为定值;

②记?MDE的面积为S，试把S表示成k的函数，并求S的最大值.

高三数学理科训练题（四）参考答案

一、选择题 题号 答案

1 C

2 D

3 A

4 A

5 A

6 B

7 B

8 B

9 C

10 D

二、填空题

11、7500 15、（1）

12、(1,2)

13、

17 81 14、4

? （2）(??,?3)(1,??) 4三、解答题

16、（1）设n?(x,y),由m?n??1，可得x?y?1

n?(x,y),由m?n??1，可得x?y?1 ①

与

夹角为

22，有m?n?m?ncos3?4

所以n?1,x?y?1 ②

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由①②解得 ??x??1?x?0或? ?即n?(?1,0)或n?(0,?1)

?y?0?y??1（2）由n与q垂直知n?(0,1)，由2B=A+C 知B??3,A?C?2?2?若 ,0?A?33n?p?cos2A?cos2C?=1?cos(2A?21?cos2A1?cos2C ?22

?3)

2??5??10?A??,?2A??,??1?cos(2A?)?

333332211?515?1?cos(2A?)?，即n?p?[,) 223424n?p?[25,) 22

17、解：设某人能成为“好运人”的事件为A，则基本事件数为5?5?25，而x?y是3的倍数的情况有1+5,2+4,3+3,3+6,4+5,5+4,2+7,5+7共8种情况

?P(A)?8 25817k8k),即P(??k)?C4()?()4?k 252525（2）?的分布列为?~B(4,832? 252518、解（1）?OA=OC，AB=BC?AO?BO?OP?平面ABC ?OP?OA,OP?BO

E??4?

?如图建系，设AB=a则PA=a,PO?2a 2

?2????2?,B?0,?,C???A?a,0,0a,0?2??2????????2?2??,BD????PA??a,0,?a?2?2?????cos?PA,BD??????22?22??0,0,? D??a,0,a?a,0,0?,Pa????4?22??4???222?a,?a,a?

?424?33，则PA与BD所成角的余弦为 33（2）设AB=a则PA=h，?OB?平面POC

??2?为平面POC的一个法向量 a,0 ?OB??0,?2???

设n??x,y,z?为平面PBC的一个法向量

PzDAxOC第 5 页 共 8 页

yB

????222?,PC???? ?BC???a,?a,0a,0,?h?2???2???2??x?y?0?n?BC?0?? ?由?有?2?ax?hz?0??n?PC?0??2令x?1则y??1,z??

?2a2a?? ，即n??1,?1,??2h2h???11有h?a 22

?由cos?3?OB?nOB?n?

?PA?323a?AB?kPA?k? 2323?故k?时二面角O-PC-B的平面角为

3319、解：(Ⅰ)设公差为d，公比为q，则a2b2?(3?d)q?12

3(3?d)?q?9?3d?q ?2d0?q?11,q?11?3d 3 S3?b2?3a2?b2?(3?d)(11?d)?33?2d?3d2?12,3d2?2d?21?0,(3d?7)(d?3)?0，

?an?是单调递增的等差数列，d>0.

则d?3,q?2,an?3?(n?1)?3?3n,bn?2n?1

323?S?n?n,n是偶n??22 (Ⅱ) cn?Sncos3n???

??S??3n2?3n，n是奇n??22

当n是偶数，

Tn?c1?c2?c3??a2?a4?a6?当n是奇数，

?cn??S1?S2?S3?S4??an?6?12?18??Sn?1?Sn3n(n?2)

?3n?4Tn?Tn?1?Sn?3(n?1)(n?1)3233?n?n??(n?1)2

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?3n(n?2),n是偶??4综上可得Tn??

??3(n?1)2,n是奇??420、解：（1）f(x)??x?ax

（2）f?(x)??3x?a?a?3x?0

23?f(x)为增函数

2（3）f?(x)?a?3x?0 x?

aaa,x2?? x1? 3332当a?0时，f?(x)?a?3x?0，f(x)为减函数无最大值

2

aa,x2??33（不合） 当a?0时，

aa?1时，f()??1无解不合 当33x1?当a?1时，f(1)?a?1??1 a?0（不合） ?不存在 3c3222?，a?b?c，?a?2b ① a22 在y?x?b中，令y?0，得x??b,?2b?a② 由①②得，a?2,b?1

21、解：（1）由已知

2?

x2?y2?1,C2:y?x2?1 4? ?C1:4?y?kx2(2)由?得x?kx?1?0 2?y?x?1 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?k,x1x2??1 6?

而M(0,?1),?MA?MB?(x1,y1?1)?(x1,y2?1)

?x1x2?(y1?1)(y2?1)

?x1x2?y1y2?y1?y2?1?x1x2?kx1x2?k(x1?x2)?12

??1?k2?k2?1?0 ?MA?MB?MD?ME,?MD?ME?0 8?

22（3）设A(x1,kx1),B(x2,kx2),A在y?x?1上，?kx1?x1?1

kx?12?x1，?直线AM方程为：y?x1x?1,代入 即kx1?1?x1，?kAM?1x1x2?y2?1， 412 得(?x1)x?2x1x?0，

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8x14x12?18x24x22?1 ?D(2,2)，同理E(2,) 24x1?14x1?14x2?14x2?1 ?S?MDE22118x11?x18x21?x2 ?S?MD?ME???22224x1?14x2?110?

32k2?4,(k?R) 由（2）知，x1?x2?k,x1x2??1，?S?24k?2532t32 令k2?4?t,t?2，?S?2?,(t?2)

4t?94t?9t925 又u?4t?,在t?[2,??)时，u为增函数，?umin?，

t264当t?2，即k?0时，Smax?

25

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