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浅谈不定积分的几种简单解法

摘要 计算不定积分是微分课程的基本技能之一，本文就不定

积分方法和技巧，先介绍了它的三种基本计算方法，然后就几类典型的不定积分进行说明，并且介绍了几种特殊的积分方法和几类可积函数，最后针对一般类型的题总结出积分的策略，对求解不定积分有了进一步提高和认识。

关键词 积分概念；积分方法：第一类直接积分、第二

类换元积分、第三分部积分、以及特殊函数的积分；

不定积分是考试中常考内容之一，是学习以后知识和其他课程的基础，牢固

掌握不定积分非常重要。 怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点．不定积分的求解方法技巧性很强，灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法．为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一反三、触类旁通的教学效果，在初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

1 不定积分概念与基本公式

1.1 原函数与不定积分

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

1.1.1原函数的概念

如果在某区间

S

上可导函数F(x)的导函数为

f(x)

,即对每一个

x S,都有.则函数F(x)就称为f(x)在该区间上的原函数.

原函数存在的条件:

如果函数f(x)在区间S上连续,则在S上存在可导函数F(x),使得(x S),

即连续函数一定有原函数.

注 (1) 若f(x)在S上有原函数,则有无穷多个原函数; (2) 任意两个原函数只相差一个常数.

例1 验证F(x) 1(1 lnx)2和G(x) 1ln2x lnx是同一个函数的

2

2

原函数, 并说明两个函数的关系.

分析 依原函数的定义, 若F(x)和G(x)的导数都是某个函数f(x)的原函数, 即有F (x) G (x) f(x), 则F(x)和G(x)是f(x)的原函数. 所以, 只需验证F(x)和G(x)的导数是否为同一个函数即可. 解 因为F (x) (1 lnx) G (x) lnx

1x

11 lnx xx

11 lnx xx

11 lnx12

所以F(x) (1 lnx)和G(x) ln2x lnx是同一个函数

2x2

的两个原函数.

且有F(x) (1 lnx)2 ln2x lnx G(x) 说明两个原函数之间仅相差一个常数.

1.1.2 不定积分的概念

在区间S 上

F(x) f(x),x S

12121212

,则在区间S 上F(x)称为f(x)的原函数,

f(x)

称为F(x)的导函数.原函数不是惟一的,其一般形式F(x) C称为f(x)的不定积分,记作

f(x)y F(x) c

,也称为f(x)的积分曲线族.

不定积分：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I的不定积分，记作

f(x)dx，其中称

积分变量。

为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为

定义1.3若F是f的一个原函数，则称f 的不定积分是一个函数族{F C}，其中C是任意常数，为方便起见，写作 f(x)dx F(x) C. 这时又称C为积分常数，它可取任一实数值。

不定积分的性质:

（1）两个函数的和(差)的不定积分等于这两个函数不定积分的和(差),即

]x [f(x) g(x)d

f(x)dx

g(x)dx

（2） 求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面去,即

kf(x)dx k f(x)dx(k为常数，且k不为零).

例2 判断下列等式是否正确.

（1）d

1 x

2

x

1 x

2

dx

（2） (sinx) dx cosx c

分析 （1），（2）根据不定积分的性质进行判断；

解 （1）依照不定积分的性质

d f(x)dx f(x)dx

所以, 等式d

1 x

2

x

1 x

2

dx成立.

（2）依照不定积分的性质 f (x)dx f(x) c 所以, 等式 (sinx) dx cosx c不成立. 正确的应为

(sinx) dx sinx c

1.1.3 不定积分与微分的关系: （1）

[ F(x)dx] f(x)

F (x)dx F(x) c （2）

2 直接积分法

直接积分法的运用方法：

直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

例3 0sinxx

注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间[0,2 ]上有

0 x sinx

sinx

sinx x 2

2

利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.

2

sinxx sinxdx sinxdx

2

cosx0 cosx [ 1 1] [1 ( 1)] 4.

2

说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目.

3 换元积分法

3.1设g(u)在 , 上有定义，u (x)在 a,b 上可导，且a (x) b，

x a,b ，并记

f(x) g( (x)) '(x),x a,b ..

(i)若g(u)在 , 上存在原函数G(u)，则f(x)在 a,b 上也存在原函数

F(x),F(x) G( (x)) C，即

f(x)dx g( (x)) '(x)dx g(u)du

G(u) C G( (x)) C. (1)

(ii)又若 '(x) 0,x a,b ，则上述命题(i)可逆，即当f(x)在 a,b 上存在原函数F(x)时，g(u)在 , 上也存在原函数G(u)，且G(u)=F( 1(u)) C，即

g(u)du g( (x)) '(x) f(x)dx

=F(x) C F( 1(u)) C. (2)

以上(i)和(ii)分别称为第一换元积分法和第二换元积分法，公式（1）和（2）分别称为第一换元公式第二换元公式。

3.2 基本积分公式如下：

（1） 0dx C. （2）1dx dx x C.

x 1

(3) xdx C( 1,x 0). （4）

1

x

x

1

xdx lnx C(x 0).

ax

C(a 0,a 1). （5） edx e C. (6) adx lna

x

（7） cosaxdx sinax C(a 0). （8） sinaxdx cosax C(a 0).

2

(9)secxdx tanx C.

1a

1a

2

(10) cscxdx cotx C.

(11) secxtanxdx secx C. (12) cscxcotxdx cscx C. (13)

dx x

2

arcsinx C arccosx C1.

dx

arctanx C arccotx C1(14) 2

1 x

例

4 求 tanxdx.

解 由

tanxdx

sinx(cosx)'

dx , cosxcosx

可令u cosx,g(u)

1

，则得 u

1

tanxdx u lnu C.

lncosx C.

分析：用第一换元积分法来求不定积分。利用该方法求不定积分的步

骤是：（1）将f(x)凑成g( (x)) '(x)形式；（2）作变量代换，令（3）换回原来的变量，即 (x)代替u，从而求出u (x),du u'(x)dx；函数的积分。

22

例5 求 a xdx(a 0).

解 令x asint,t

2

，于是

a2 x2dx acostd(asint) a2 cos2tdt

a2a21 (1 cos2t)dt (t sin2t) C 2 22

a2xxx

=(arcsin ()2)+C 2aaa

=(a2arcsin xa2 x2)+C.

12xa

分析：利用第二换元积分法求不定积分，该方法的步骤为：（1）变量代换；（2）换回原来的积分。

4 分部积分法

定理2 若 u(x)与v(x)可导,不定积分存在,则也存在,并有

v (x)u(x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx,常简写作 udv uv vdu.采用不定积分

法解决的不定积分,关键是正确选定v (x),对于出现在不定积分的反函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数, v (x)的选择顺序应该是首先考虑指数函数,其次是三角函数,然后个是幂函数,再然后是对数函数,最后考虑反三角函数.即反对幂三指,倒过来使.只要记住这些,一般情况下你都是百战百胜的将军. 具体的请看下面例题

xcosxdx 例6 求

,v cosx,有分部积分公式得 解: 令u x

xcoxsdx xsixn sixndx xsixn coxs c

arctaxndx 例7 求

x,v 1,有分部积分公式的 解： 令u arctan

xarctxa n arctxadnx

x12

dx xarctxa ln1( x) c2

21 x

5

P(x)

Q(x)dx

有理函数的不定积分

P(x)P(x)

这种类型积分的处理，一般来说,是把真分式Q(x)若(Q(x)是假分式可化为

多项式与真分式之和)分解为若干简单的部分分式之和，再分别求出每一部分的积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下： 第一步 对分母Q(x)在实数系内作标准分解：

第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形

k

(x a)如的因式，它所对应的部分分式是

A1A2Ak

2

(X a)k； x a(X a)

对于每个形如

(x2 px q)k

的因式，它所对应的部分分式是

B1x C1B2x C2Bkx Ck

x2 px q(x2 px q)2(x2 px q)k

，把所有的部分

P(x)

分式加起来就是Q(x)。（部分分式中的常数系数Ai

\Bi\Ci尚为待定的）

第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。具体请看例15

例8

x 1(x

2

1

2

1)

dx

2

Q(x) x 1(x2 1) 解: 按上述步骤执行如下：

部分分式分解的待定形式为

P(x)ABCx D Q(x)(x 1)(x 1)2x2 1

用Q(x)乘上式两边得一恒等式

222

1 A x 1 (x 1) B(x 1) (Cx D)x( 1)

然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：

A C 0

A B 2C D 0

A C 2D 0 A B D 1 解得

1

A 2 1 B 2 1C

D 02

P(x)11x

Q(x)2(x 1)2(x 1)22(x2 1)

故

x 1(x

2

1

2

1)

dx

111x

dx dx dx 2 2

2(x 1)2(x 1)2(x 1)

111lx c22x 14ln(x2 1)

完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分： (a)

x a1

k

dx

Lx M2

dxp 4q 0 (x2 px q)k

; (b) .

对于(a)，已知

lx a

1

1 x akdx

(1 k)(x a)k 1

k 1k 1

对于（b）令

t x

p

2，便有

Lx MLt Ntdt

dx dt Ldt N (x2 px q)k t2 r2 (t2 r2)k (t2 r2)k， （1）

其中

p2p

r q ,N M L

42。

2

当k 1时，（1）式右边两个不定积分分别为

t122

dt ln(t r) c (t2 r2)k

2

dt1t

arct c (t2 r2)krr

当k 1时，（1）式右边第一个不定积分为

t1

dt c22k 1 (t2 r2)k

2(1 k)(t r)

对于第二个不定积分，记

Ik

dt

(t2 r2)k

可用分部积分法导出递推公式如下：

dt1(t2 r2) t2

Ik 22k 2 22k(t r)r(t r)

11t2 2Ik 1 2 2dt2k

rr(t r)

111

I td2k 1222k 1 r2r(k 1) (t r)

11t

I [ Ik 1]k 12222k 1r2r(k 1)(t r)

经整理得到

Ik

dtt2k 3

Ik 1

(t2 r2)k2r2(k 1)t(2 r2)k i2r2(k 1) （2）

重复使用递推公式（2），最终归为计算I1，且

I1

dt1t

arct c

r (t2 r2)kr

6 三角函数有理式的积分 R sinx,cosx dx

R sinx,cosx dx是三角函数有理式的 。一般通过变换

t tan

x

2，可把他化为

有理函数的不定积分。这是因为

xxx2sincos2tan

2tsinx

1 t22x2x2xsin cos1 tan

222

，

x

sin2cosx

x

cos2 sin2

2

cos2x

1 tan2

x

1 tan2

2

x

2

1 tx1 t22，

2t1 t22

Rsinx,cosxdx R(,) 1 t21 t21 t2dt

，所以。

例

1 sinx

dx 9 求 sinx1 cosx

t tan

x

2，代入公式得

解: 令

1 1 1 t2

t 2 dt 2t lt c 2 t 2 2

注:上面所用变换

1x1x2xtan t lt c

42222

x

2对三角函数有理式的不定积分虽然总是

t tan

有效的，但当被积函数是及sinx,cosx的有理式时，采用t tanx往往较

为简. 如下题：

例10

dx

a2sin2x b2cos2x ab 0

解: 由于

dxse2cxd(taxn)

a2si2nx b2cos2 a2ta2nx b2 令x a2ta2nx b2

t tanx，就有

dxdt1d at 2 a2si2

a (at)2 b2nx b2cosx a2t2 b2

1at1a

arct c arcttanx) cabbabb

总结

不定积分是微积分中重要的部分，不定积分的概念，性质，求法，以及应用在数学分析中有着至关重要的位置，也是微积分中的基础部分，所以掌握不定积分的求法是学习微积分的基础，不定积分的求法很多种，这里主要讲了利用定义求法、直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分步积分法五种最基本的方法，也是最常用的方法，遇到不定积分的题目时，应当先分析题目结构，然后选择最方便求解的方法。

本文的写作目的在于让大家了解积分的基本知识，认识到积分的学习不难，只要细心总结，认真学习基本知识，那么不定积分的求法就可以深刻的掌握，对高等数学可以从容应对。

在这篇论文的写作过程中，我感受到了知识的丢失和自己知识面的不足，不能系统全面得总结不定积分的知识。同时认识到即使是旧知识，只要细心总结，认真思考，都会有所收获，积分知识关键在于学习。

由于时间以及个人的一些原因。本论文未能对不定积分的求法作深入的探讨，只考察了不定积分的基本性质和不定积分求法的五种方法，而且讨论主要介绍了计算方法的原理和简单实例，而且讨论较为粗浅。事实上，积分是高等数学必须掌握的基础知识，在现代科技中有大量的应用。也是深入研究数学的基础。

掌握不定积分的求法，对我们的工作和继续教育有重要意义。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系 数学分析（上册）第三版[M],高等教育出版社 2001. [2] 张天德，韩振来. 数学分析同步辅导及习题精解第三版（上册）[M] .天津科学技术出版社,2009 .

[3] 同济大学数学系，高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007. [4] 徐利治等，大学数学解题方法诠释[M].合肥：安徽教育出版社，1999. [5] 贾晓峰等.微积分与数学模型，下册[M] 北京：高等教育出版社,1999. [6] 郭思乐.努力提高学生的数学思维素质[J].数学通报，1993，（1）.

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