必修1

第一章 集合与函数概念 高中入学第一课 （学法指导）

教学目的：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词：

1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，? 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题：

1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学：

请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。

高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构：

书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。

知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）

能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。

4.新课程标准的基本理念：

①构建共同基础，提供发展平台； ②提供多样课程，适应个性选择； ③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力； ⑤发展学生的数学应用意识； ⑥与时俱进地认识“双基”； ⑦强调本质，注意适度形式化； ⑧体现数学的

第 1 页

文化价值； ⑨注重信息技术与数学课程的整合； ⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排：

本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，必修① 第一章13课时(4+4+3+1+1)＋第二章14课时(6+6+1+1)＋第三章9课时(3+4+1+1)；必修②第一章8课时（2+2+2+1+1）＋第二章10课时（3+3+3+1）＋第三章9课时（2+3+3+1）＋第四章9课时（2+4+2+1）.

上课方式：每周新授6节，问题集中1节（双节连排时），两周学生讲课一次。 学习方式：预习后做节后练习；补充知识写在书的边缘；

主要活动：学校、全国每年的数学竞赛；数学课外活动（每期两次）。 6.作业要求： （期末进行作业评比）

① 课堂作业设置两本；② 提倡用钢笔书写，一律用铅笔、尺规作图，书写规范；③ 墨迹、错误用橡皮擦擦干净，作业本整洁；④ 批阅用“？”号代表错误，一般点在错误开始处；⑤ 更正自觉完成；⑥ 练习册同步完成，按进度交阅，自觉订正；⑦ 当天布置，当天第二节晚自习之前交（若无晚自习，则第二天早读之前交）。⑧ 每次作业按90、80、70、60四个等级评定，分别得分5、4、3、2，每本作业本完成后自行统计得分并上交科代表审核、教师评定等级，得分90％～98％为优良等级，98％及以上为优秀等级；

三、了解情况：初中数学开课情况；暑假自学情况；作图工具准备情况。

1.1.1 集合的含义与表示（一）

教学要求：使学生明确本章学习的重要性，初步理解集合、元素等概念，掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。 教学重点：理解集合概念，掌握集合元素的三个特征。 教学难点：体会元素与集合的属于关系。 教学过程：

一、新课引入：

集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。 二、讲授新课：

1.集合有关概念的教学：

考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点；

第 2 页

③所有的锐角三角形；④x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2；⑤东升高中高一级全体学生； ⑥方程x2?3x?0的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月,广东所有出生婴儿。

A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）

B.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。

C.讨论集合中的元素的特征：

分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。即集合元素三特征。

确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性：集合中的元素没有顺序。

D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： 不等式x-3>0的解；3的倍数；方2

程x－2x＋1＝0的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流 E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的. 2.集合的字母表示：

① 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。 ② 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a?A。 ③ 练习：设B＝{1,2,3,4,5}，则5 B，0.5 B， 3 B， -1 B。 3.最常见的数集：

① 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。 ② 这些数集是最重要的，也是最常见的，我们用符号表示：N、Z、Q、R。 ③ 正整数集的表示，在N右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。

④ 练习： 填∈或?：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， ?3 Q，3?2 R

4.小节：①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集。 三、巩固练习： 1.口答：P3 思考；P6 1题。

2.思考：x∈R，则{3,x,x2－2x}中元素x所应满足的条件？(变：－2是该集合元素) 3.探究：A={1,2}，B={{1},{2},{1,2}}，则A与B有何关系？试试举同样的例子 4.作业： P13 1、2题

第 3 页

1.1.1 集合的含义与表示（二）

教学要求：更进一步理解集合、元素等概念，掌握集合的表示方法，会用适当的方法表示集合。

教学重点：会用适当的方法表示集合。 教学难点：选择恰当的表示方法。 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：集合概念？什么叫元素？集合中元素有什么特征？集合与元素有何关系？ 2.集合A={x2＋2x＋1}的元素是 ，若1∈A，则x= 。

3.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系？ 二、讲授新课： 1. 列举法的教学：

① 比较：{方程x2?1?0的根}、{?1,1}、{x?R|x2?1?0}

② 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来。→P4 例1 ③ 练习：分别表示方程x(x2－1)=0的解的集合、15以内质数的集合。

注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同。 2. 描述法的教学：

① 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为{x?A|P}，其中x代表元素，p是确定条件。 →P5 例2

② 练习： A.“不等式x-3>0的解”与“抛物线y＝x-1上的点的坐标”用描述法表示 B. 用描述法表示方程x(x2－1)=0的解的集合、方程组??3x?2y?2解集。

2x?3y?27?2C.用描述法表示：所有等边三角形的集合、方程x2+1=0的解集。

③ 简写原则：从上下文关系来看，x?R、x?Z明确时可省略，如

,{{x|x?3k?2,k?Z}x|x?0}

2

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x+3x+2}与 {y|y= 2

x+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

第 4 页

④练习：试用适当的方法表示方程x3-8x=0的解集。

3.小结： 集合的两种表示方法，关键是会用适当的方法表示集合。 三、巩固练习：

1. P4、P6 思考；P6 2题。

2.用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

43.集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是 。

x?34.已知集合A＝{x|-3

5.已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x2－6x＋5=0}，用∈或?填空： 4 A，4 B，5 A，5 B

6.设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属A且属B的元素集合。 7.若集合A?{?1,3}，集合B?{x|x2?ax?b?0}，且A?B，则a= ， b= 。 8.课堂作业：书P6 ：2题； P7：1、3题。

1.1.2 集合间的基本关系

教学要求：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。 教学要求：弄清楚属于与包含的关系。 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？ （1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数 2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。

3.导入：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

二、讲授新课：

1. 子集、空集等概念的教学：

①比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

A?{3,6,9}与B?{x|x?3k,k?N*且k?333}；

C?{东升高中学生}与D?{东升高中高一学生}；

第 5 页

E?{x|x(x?1)(x?2)?0}与F?{0,1,2} ②定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：A?B(或B?A)

读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 当集合A不包含于集合B时，记作A?B

③用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： A B A?B(或B?A) ④集合相等定义：A?B且B?A，则A?B中的元素是一样的，因此A?B.

⑤真子集定义：若集合A?B，存在元素x?B且x?A，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A B（或B A）。 读作：A真包含于B（或B真包含A）。 ⑥练习：举例子集、真子集、集合相等；探讨{x|x2?3?0}。 ⑦空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：?。并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

⑧填空：1 N，{1} N。 → 比较：a?A与{a}?A。 ⑨讨论：A与A有和关系？ A?B,B?C，则由什么结论？ 2.教学例题：（1）写出集合{a,b,c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）已知集合A?{x|x?3?2}, B?{x|x?5}，并表示A、B的关系。

出示例题 → 师生共练 → 推广：n个元素的子集个数

23. 练习：已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N},用适当符号填空：

A B，A C，{2} C,2 C

4.小结： 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论。注意包含与属于

三、巩固练习：

1. 练习： 书P8 2、3题。

2. 探究：已知集合A?{x|a?x?5}，B?{x|x?2}，且满足A?B，求实数a的取值范围。

3. 设集合A?{四边形},B?{平行四边形},C?{矩形}，D?{正方形}，试用Venn图表示关系。

4. 课堂作业：书P13 5、6题。

第 6 页

1.1.3 集合的基本运算（一） 交集、并集

教学要求：理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系，会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。 教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。

教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。 教学过程：

一、复习准备：

1.已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S， {x|x∈S且x?A}= 。

2.用适当符号填空：0 {0} 0 Φ Φ {x|x2＋1＝0,X∈R}

{0} {x|x<3且x>5} {x|x>6} {x|x<－2或x>5} {x|x>－3} {x>2} 二、讲授新课：

1.教学交集、并集概念及性质：

① 探讨：设A?{4,5,6,8}，B?{3,5,7,8}，试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）.

② 讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？

③ 定义交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。 ④ 讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？ → A∩A＝? A∩Φ＝?

B A B A(B) A A B A

⑤ 图示五种交集的情况：? ⑥ 练习（口答）：

A＝{x|x>2}，B＝{x|x<8}，则A∩B＝ ；

A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ 。

⑦定义并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set）。记作：A∪B，读作：A并B。用描述法表示是：? ⑧分析：与交集比较，注意“所有”与“或”条件；“x∈A或x∈B”的三种情况。 ⑨讨论：A∪B与集合A、B的关系？→ A∪A＝ A∪Ф＝ A∪B与B∪A ⑩练习（口答）： A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ; 设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ; A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ 。 2.教学例题：

1.出示例1：设A＝{x|-14或x<－5}，求A∩B、A∪B。

第 7 页

格式 → 结果分析 → 数轴分析 → 比较：解方程组 → 变：A＝{x|-5≤x≤8} 2. 指导看书P10 例5、P11 例6、例7。

3.练习： 设A＝{(x,y)|4x＋y＝6}，B＝{(x,y)|3x＋2y＝7}，求A∩B。

格式 → 几何意义 → 注意结果 → 变题：B：4x＋y＝3 或 B:8x＋2y＝12

4.小结：交集与并集的概念、符号、图示、性质；熟练求交集、并集（数轴、图示）。 三、巩固练习： 1.若{-2，2x,1}?{0,x2,1}＝{1,4}，则x的值 。

2.已知x∈R，集合A={-3,x2,x＋1}，B={x－3，2x－1,x2＋1}，如果A∩B={-3}，求A∪B。

（解法：先由A∩B={-3}确定x）

3.已知集合A＝{x|a-1

64.若A＝{(x,y)|y＝}，B＝{(x,y)|y＝x＋1}，则A?B＝ ；

x5.课堂作业：书P14 7、8、9题。

1.1.3 集合的基本运算（二） 全集与补集

教学要求：了解全集、补集的意义，正确理解补集的概念，正确理解符号“CUA”的涵义，并正确应用它们解决具体问题。 教学重点：补集的有关运算。 教学难点：补集的概念。 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？ 2. 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？

3. 讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？ 二、讲授新课：

1.教学全集、补集概念及性质：

① 预备题：U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

第 8 页

②结论：集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 → 画图分析 ③定义全集（universe set）：含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合，记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ④定义补集（complementary set）：已知集合U, 集合A?U，由U中所有不属UA于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集，记作：CUA，读作：“A在U中补集”，即CUA?{x|x?U,且x?A}。补集的Venn图表示如右：

（说明：补集的概念必须要有全集的限制）

练：U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则CUA= ，CUB= ； → 图形分析 ⑤ 讨论：A.在解不等式时，把什么作为全集？在研究图形集合时，把什么作为全集？

B. Q的补集如何表示？意为什么？ ⑥ 练习（口答）：

设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则CUA＝ ； 设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则CUA＝ 。 2.教学例题：

例：U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求CUA、CUB。

出示 → 学生试逐个求 → 再试用图示求 3.练习：

设U=R，A＝{x|－1

4.探究：结合图示分析，下面的一些集合运算基本结论。 A∩B＝B∩A, A∩B?A, A∩B?B, A∩φ=φ; A∪B=B∪A, A∪B?A, A∪B?B, A∪φ=A; A∩CUA=φ, A∪CUA=S, CU(CUA)=A

5.小结： 补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn图）。 三、巩固练习：

1.已知U={x∈N|x≦10}，A={小于10的正奇数}，B={小于11的质数}，则CUA= 、CUB= 。

2.已知集合A={0,2,4,6}, CUA={-1,-3,1,3}，CUB={-1,0,2}，则B= 。（ 解法：Venn图法

3.定义A—B={x|x∈A，且x?B}，若M={1,2,3,4,5},N={2,4,8}，则N—M= 。 4.课堂作业：书P14 10、11、12题。

第 9 页

CUA

集合习题课 （2节课）

教学要求：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号。

教学重点：交集、并集、补集的运算。 教学难点：集合知识的综合。 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？ 2.交、并、补有何综合性质？

3.集合问题的解答方法：Venn图示法、数轴分析法。 二、讲授新课：

1.交集、并集、补集的基本运算： ①出示例1：设U=R，A={x|-5

学生画图→在草稿上写出答案→订正

小结：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。 ②出示例2：全集U={x|x<10，x∈N?}，A?U，B?U，（CUB）∩A={1,9}，A∩B={3}，CUA)∩(CUB)={4,6,7}，求A、B。

学生分析方法→填写图中各块的元素→

小结：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。 2.交集、并集、补集、子集、空集的性质运用：

①出示例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若A∪B=A，求实数a的值。

分析提问：两个集合有何特点？B有哪些可能？ →师生共练 变题：B?A，??？ B是A的真子集，??？

小结：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，注意判别式。

②出示例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a分析提问：B与A有何关系？数轴如何表示？→对端点的要求是怎样的？ 小结：数轴分析法 → 变为：A?B 三、巩固练习：

1.已知A={x|-21}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1

第 10 页

2. P={0,1}，M={x|x?P}，则P与M的关系是 。

3.已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为 人。

4.满足关系{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A共有 个。

5.已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少个元素？ （解法：先用Venn图求B，再求集合B的子集个数 2n）。 6.已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。 7.设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。 8.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A?B={-2，0，1}，求p、q。 9. A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A?B ={3，7}，求B。 10.已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围。 11.课堂作业：书P14 B组题。 课外作业：阅读P14～16 材料

第 11 页

1.2.1 函数的概念（一）

教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例： A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2.

B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表） ②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:A?B

③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y?f(x),x?A. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）. ④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数y?ax?b(a?0)、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的定义域与值域？ ⑤练习：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域.

第 12 页

2.教学区间及写法：

① 概念：设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|aa}、{x|x≤b}、{x|x

④ 用区间表示：函数y＝x的定义域 ，值域是 。 （观察法） 3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、巩固练习： 1. 已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)

2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？ 3. 课堂作业：书P21 1、2题.

1.2.1 函数的概念（二）

教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点：值域求法。 教学过程：

一、复习准备：

3x21. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为

x什么？

2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝

k的定义域与值域. x二、讲授新课： 1.教学函数定义域：

①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

xx?3 f(x)=2； f(x)=2x?9； f(x)=x?1－

2?xx?2第 13 页

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式） ②练习：求定义域（用区间）→

1x?2 f(x)＝ ??3x?4； f(x)＝9?x＋x?3x?4③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组） 2.教学函数相同的判别： ①讨论：函数y=x、y=(x)、y=

2x3x2、y=4x4、y=x2有何关系？

②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ; B. f ( x ) = x； g ( x ) =

、

x2

C．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = x2 ②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。 3.教学函数值域的求法：

?52① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；y＝；f(x)＝x2?3x?4 ；f(x)

x?3x?2＝ x?3先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个 ②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

11三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：f(x)?1?x?；f(x)?

1?1/xx?4x?122. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)。 变：f(x)?，求f(f(x))

x?1 解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法； 解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法） 3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 。

4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。 解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域 5.课堂作业：书P27 1、2、3题。

第 14 页

2

1.2.2 函数的表示法（一）

教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 教学难点：分段函数的表示及其图象。 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势。 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值。 具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。 ②出示例1. 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）． ③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.

④看书P22例4.下表是某班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

98 87 91 92 88 95 甲

90 76 88 75 86 80 乙

68 65 73 72 75 82 丙

班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？ 小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论

第 15 页

讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？ 2．教学分段函数：

①出示例2：写出函数解析式，并画出函数的图像。

邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克（0

③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

?2x?3,x?(??,0)三、巩固练习：1.已知f(x)＝?2，求f(0)、f[f(-1)]的值。 2.作业：P27 7,8，

2x?1,x?[0,??)?9题

1.2.2 函数的表示法（二）

教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念． 教学难点：理解概念。 教学过程：

一、复习准备：

1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化

第 16 页

为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）. 二、讲授新课： 1. 教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

A?{1,4,9}, B?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方； A?{?3,?2,?1,1,2,3}，B?{1,4,9}，对应法则：平方；

231,,}, 对应法则：求正弦； 222② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:A?B” 关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.

③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？ → 举例一一映射的实例 （一对一） 2.教学例题：

① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}； A={ P | P是平面直角体系中的点}， B?{(x,y)|x?R,y?R}； A={高一某班学生}，B= ？

（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：A中任意，B中唯一）

② 讨论：如果是从B到A呢？

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1；

A?{30?,45?,60?}, B?{1,A?N*,B?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数； A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数；

111设X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}f:x?x取倒数；

234 A?{x|x?2,x?N},B?，Nf:x?小于x的最大质数 3. 小结：映射概念.

三、巩固练习： 1. 练习：书P26 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.

第 17 页

1.2 函数及其表示 （练习课）

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题． 教学难点：函数记号的理解. 教学过程：

一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）

811. 说出下列函数的定义域与值域： y?； y?x2?4x?3； y?2.

x?4x?33x?512. 已知f(x)?，求f(2)， f(f(3))， f(f(x)).

x?1?0(x?0)?3. 已知f(x)???(x?0)，作出f(x)的图象，求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值.

?x?1(x?0)?二、教学典型例题：

1.函数f(x)记号的理解与运用：

① 出示例1. 已知f(x)=x2?1 g(x)=x?1求f[g(x)] （师生共练→小结：代入法；理解中间自变量） ② 练习：已知f(x)=x?x+3 求： f(x+1), f(

21) x已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

）?x?2x,求f(x）③ 出示例2. 若f(x?1 分析：如何理解f(x?1？ 如何转化为f(x） ） 解法一：换元法，设t?x?1，则……

）?x?2x?(x?1)2?1，则…… 解法二：配元法，f(x?1 解法三：代入法，将x用(x?1)2(x?1)代入，则…… 讨论：f(x）中，自变量x的取值范围？

1x④ 练习：若f()?， 求f(x）.

x1?x第 18 页

2. 函数应用问题：

①出示例3. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y2（元）. Ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型 ）

1三、巩固练习：1. 已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x).

x112.若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)?f(x?)的定义域 443.设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.

第 19 页

1.3.1单调性与最大（小）值 （一）

教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程：

一、复习准备：

1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？

3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课：

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x2 (x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？ 当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。 ⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？ y＝x2的单调区间怎样？ ③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。 2.教学增函数、减函数的证明：

1①出示例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、f(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。

x（由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）

第 20 页

k（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，V当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明. （学生口答→ 演练证明）

③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1

②出示例2：物理学中的玻意耳定律p?1的(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数。 x2.判断f(x)=|x|、y=x3的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x2－2x的单调性。 推广：二次函数的单调性 4.课堂作业：书P43 1、2、3题。

1.3.1单调性与最大（小）值 （二）

教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.

教学重点：熟练求函数的最大（小）值。

教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。 教学过程：

一、复习准备：

三、巩固练习：1.求证f(x)＝x＋

1.指出函数f(x)＝ax＋bx＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？ 3.知识回顾：增函数、减函数的定义。 二、讲授新课：

1.教学函数最大（小）值的概念：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

f(x)??2x?3，f(x)??2x?3 x?[?1,2]；f(x)?x2?2x?1，f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

第 21 页

22

② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）

③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.

2.教学例题：

① 出示例1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？

（学生讨论方法 → 师生共练：配方、分析结果 → 探究：经过多少秒落地？）

② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？ （引导：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值； →小结：数学建模）

3③ 出示例2：求函数y?在区间[3，6]上的最大值和最小值．

x?23 分析：函数y?,x?[3,6]的图象 → 方法：单调性求最大值和最小值.

x?2 → 板演 → 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.

3?x → 变式练习：y?,x?[3,6]

x?233④ 探究：y?的图象与y?的关系？

x?2x⑤ 练习：求函数y?2x?x?1的最小值. （解法一：单调法； 解法二：换元法） 3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结：最大（小）值定义 ；三种求法. 三、巩固练习：

1. 求下列函数的最大值和最小值：

53（1）y?3?2x?x2,x?[?,]； （2）y?|x?1|?|x?2|

222.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 房价（元） 住房率（%） 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 160 55 （分析变化规律→建立函数模型→求解最大值） 140 65 3. 课堂作业：书P43 A组5题；B组1、2题. 120 75 100 85

第 22 页

1.3.2 奇偶性

教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点：熟练判别函数的奇偶性。 教学难点：理解奇偶性。 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫增函数、减函数？

2.指出f(x)＝2x2－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x2－1|的单调区间

3.对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x)。 二、讲授新课：

1.教学奇函数、偶函数的概念：

1①给出两组图象：f(x)?x、f(x)?、f(x)?x3；f(x)?x2、f(x)?|x|.

x 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征

② 定义偶函数：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（even function）.

③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义. （如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)），那么函数f(x)叫奇函数。

④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）

⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。 （假如f(x)是奇函数呢？） 2.教学奇偶性判别：

① 出示例：判别下列函数的奇偶性：f(x)＝3x4、f(x)=4x3、f(x)＝－4x＋5x、f(x)

1＝3x＋3、f(x)＝2x?4＋3。

x分析判别方法（先看定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)并与f(x)进行比较） → 板演个例 → 学生完成其它

② 练习：判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x＋1|+|x－1|

13x2f(x)＝2、f(x)＝x＋、 f(x)＝、f(x)＝x,x∈[-2,3] 2x1?xx第 23 页

62

③ 小结奇偶性判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-x)的关系。 →思考：f(x)=0的奇偶性？ 3.教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。 ②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习： 1.设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

12.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求f(x)、g(x)。

x?13.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

4.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（ ）函数，且最 值是 。 5.课堂作业：书P40 1、2题

函数的基本性质（练习）

教学要求：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

教学重点：掌握函数的基本性质。 教学难点：应用性质解决问题。 教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？ 2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？ 二、教学典型习例： 1.函数性质综合题型：

①出示例1：作出函数y＝x－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答

→ 思考：y＝|x－2x－3|的图像的图像如何作？→

第 24 页

22

②讨论推广：如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？ （偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）

2. 教学函数性质的应用： ①出示例 ：求函数f(x)＝x＋

1 (x>0)的值域。 x分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广

②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？

分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。 2.基本练习题：

①判别下列函数的奇偶性：y＝1?x＋1?x2???x?x(x?0)、 y＝?2

?x?x(x?0)?（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=? ）

②求函数y＝x＋2x?1的值域。

x?2cx?d③判断函数y=单调区间并证明。 （定义法、图象法； 推广： 的单调性）

x?1ax?b④讨论y=1?x2在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）

三、巩固练习：

ax2?b1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。 （c=0）

x?c2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。 3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。 4. 求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。 5. 课堂作业： P43 A组6题， B组2、3题。

第 25 页

第二章 基本初等函数（1） 2.1.1 指数与指数幂的运算(一)

教学要求：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念．

教学重点：掌握n次方根的求解.

教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（a2、a3）

2. 回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. → 记法：a,3a 二. 讲授新课:

1. 教学指数函数模型应用背景：

① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.

实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）

计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？

② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t

t15730年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为P?(). 探究该式意义？

2③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

2. 教学根式的概念及运算：

① 复习实例蕴含的概念：(?2)2?4,?2就叫4的平方根；33?27，3就叫27的立方根.

探究：(?3)4?81,?3就叫做81的？次方根, 依此类推,若xn?a,那么x叫做a的n次方根.

② 定义n次方根：一般地，若xn?a,那么x叫做a的n次方根.( n th root ),其中

第 26 页

n?1,n???

简记：na. 例如：23?8，则38?2

③ 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: 记：?na 27?3,3?27??3, 记：x?na 当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: (?3)4?81,81的4次方根就是?3,

n30?0

④ 练习：b4?a,则a的4次方根为 ； b3?a, 则a的3次方根为 . ⑤ 定义根式：像na的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical exponent）, a叫做被开方数（radicand）.

强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.

⑥ 计算(23)2、343、n(?2)n → 探究： (na)n、a的意义及结果？ （特殊到一般）

nnnn(na)n?a. 当n是奇数时，a结论：⑦ 出示例1.求值化简：

3nn?a；当n是偶数时，a?|a|???a(a?0)

?a(a?0)?(?a)3；

4(?74)；

6(3??6)；

2(a?b)2（a?b）

（师生共练2个 → 学生试练其余2个 → 订正 → 变指数训练 → 小结：性质运

用）

3. 小结：n次方根, 根式的概念； 根式运算性质. 三、巩固练习： 1. 计算或化简：5?32；3a6 （推广：

npamp?nam， a?0）.

2. 化简：5?26?7?43?6?42 ；23?31.5?612 3. 作业：书P65 1题.

2.1.1 指数与指数幂的运算(二)

教学要求：使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.

教学重点：有理数指数幂的运算.

教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程：

第 27 页

一、复习准备：

1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质：(na)n=？、a=？、2. 计算下列各式的值：(2?b)2 ；(3?5)3；234，5a10，379 二、讲授新课：

1. 教学分数指数幂概念及运算性质:

① 引例：a>0时，5a10?5(a2)5?a2?a →

1053nnnpamp=？

a12??；

3a2?(a)?a →

323323a??.

② 定义分数指数幂：规定a?nam(a?0,m,n?N*,n?1)；

mna?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1)

③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：nam(a?0,m,n?N?n?1)；235；354 B. 求值 27； 5； 6； a. ④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？

⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 指数幂的运算性质：a?0,b?0,r,s?Q

2325?43?52ar·ar?ar?s； (ar)s?ars； (ab)r?aras．

2. 教学例题：

25?3① 出示例1. 求值:27; 16; ()?3; ()3

495 （学生试练 →订正→变式：化根式）

?23432② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式(b?0)：b2?b; b3?5b3;3b4b;

（师生共练前2个 → 学生口答最后一个 →小结：运算性质的运用） ③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：(3ab)(?8ab)?(?6ab)；(mn) （师生共练前1个 → 学生口答最后一个 →小结：单项式运算）

231212131656143816.

第 28 页

④ 出示例4. 计算：

a3a?3a4(a?0)， (2mn)?(?mn?3)6 (m,n?N?);

2?351012(416?332)?464 （学生试练前2个 → 订正 → 讨论：根式运算？分数指数幂运算？ →师生共练第3个）

⑤ 讨论：32的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

无理数指数幂a(a?0,?是无理数)是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？

3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质. 三、巩固练习：

1. 练习：书P59 1、2、3 题. 2. 作业：书P65 2、4题.

2.1.1 指数与指数幂的运算（三） 练习课

教学要求： n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点：掌握根式与指数幂的运算. 教学难点：准确运用性质进行计算. 教学过程：

一、复习提问: （学生回答,老师板演） 1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？

2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？ 3. 基础习题练习： （口答下列基础题）

(x?0)?n① n为 时，xn?|x|??............

(x?0)?② 求下列各式的值： 326; 二、教学典型例题： 1．出示例1.

1已知a2?4?16;

682426481； 6(?2)； 15?32； x； ab.

?a12=3，求下列各式的值:

（注意：补充立方的乘法公式）

第 29 页

3a21a23212（１）a?a ； （２）a?a ； （３）

?12?2?a?? ．

?a讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）

小结：平方法；乘法公式； 根式的基本性质

npamp?nam（a≥0）等；

注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，6(?8)2?3?8. 2. 出示例2. 从盛满1升纯酒精的容器中倒出

11升，然后用水填满，再倒出升，又用33水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

讨论：题目含义？ （用图形示范） → 两次之间的关系？ 师生共练 → 变式训练：n次后？

小结方法：摘要→审题； 探究 → 结论； 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答

三、巩固练习：

1. 化简：(x?y)?(x?y). 2. 已知f(x)??x,x1?x2?0，试求3.

21?用根式表示(m4n3)，

-1

12121414f(x1)?f(x2)的值.

其中m,n?0.

12?124. 已知x+x=3,求下列各式的值：(1)x?x32,(2)x?x.

332?325. 求值：253236; 273; ()249425?; ()2; 81?92; 23?31.5?612

4346. 已知x?a?3?b?2, 求x2?2a?3x?a?6的值.

7. 探究：an?(na)?2a时, 实数a和整数n所应满足的条件.

第 30 页

n

2.1.2 指数函数及其性质（一）

教学要求：使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课：

1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例：

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③ 定义：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

④讨论：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？

2. 教学指数函数的图象和性质：

① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

1③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： y?()x， y?2x （师生共作→小结

2作法）

11④ 探讨：函数y?2x与y?()x的图象有什么关系？如何由y?2x的图象画出y?()x22的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？

第 31 页

⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P62) ⑥ 出示例1. 函数f(x)?ax（a?0,且a?1）的图象经过点（2，，求f(0),f(?1),f(1)?）的值.

（讨论方法→学生口答→变式→讨论：确定指数函数重要要素是什么？→小结：待定系数法）

⑦ 出示例2. 比较下列各组中两个值的大小：20.6,20.5； 0.9?2,0.9?1.5 ； 2.10.5,0.52.1 ；

与1

（讨论：利用什么性质？ → 师生共练，注意格式 → 小结：单调性；利用中间数）

⑧ 练习：A. 比较大小：(?2.5) ,(?2.5)

2345?2?322 B. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：()m?()n； 1.1m?1.1n

333.小结：指数函数模型应用思想；指数函数概念；指数函数的图象与性质；单调法 三、 巩固练习： 1. 函数y?(a2?3a?3)ax是指数函数，则a的值为 . 2. 比较大小：a?0.80.7,b?0.80.9,c?1.20.8； 10,0.4?2.5,2?0.2,2.51.6. 3．探究：在[m，n]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域？

4. 练习：书P64 1、2题； 课堂作业：书P65 5、6、7题.

2.1.2 指数函数及其性质（二）

教学要求：熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识 教学重点：掌握指数函数的性质及应用． 教学难点：理解指数函数的简单应用模型． 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 指数函数的定义？底数a可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数

第 32 页

11的图象是2. 在同一坐标系中，作出函数图象的草图：y?2x，y?()x，y?5x，y?()x,

251y?10x,y?()x

103. 提问：指数函数具有哪些性质？ 二、讲授新课：

1.教学指数函数的应用模型： ① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？

（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法） ② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？

③ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →

一般形式：

2. 教学指数形式的函数定义域、值域：

① 讨论：在[m，n]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域？

② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：y?2?1; y?3; y?0.4.

讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）

x5x?11x?11的定义域和值域. 2 讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？ 3. 练习：

2x?1① 求指数函数y?2的定义域和值域 ② 已知下列不等式，比较m,n的大小

② 出示例2. 求函数y?2?x?3m?3n； 0.6m?0.6n； am?an(a?1) ； am?an(0?a?1).

4. 小结：指数函数应用模型y?kax(k?R,a?0且a?1)；定义域与值域；单调性应用.

第 33 页

三、巩固练习：

1. 一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3

3?2?130.76?0.7522. 比较下列各组数的大小： ()与（0.4）2 ； （）. 与（3）532x?1*3. 求函数y?x的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

2?14. 课堂作业：书P65 8、9、10题.

2.2.1对数与对数运算 （一）

教学要求：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互

转化．

教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化. 教学难点：对数概念的理解. 教学过程： 一、复习准备：

1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭 11（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：()4＝？，()x22＝0.125?x=?）

2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：(1?8%)x=2?x=? ）

问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由1.01x?m求x 二、讲授新课：

第 34 页

1. 教学对数的概念： ① 定义：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）. 记作 x?logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 → 探究问题1、2的指化对

② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数log10N简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828??为底的对数，以e

为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作lnN → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3

③ 讨论：指数与对数间的关系 （a?0,a?1时，ax?N?x?logaN）

负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N > 0 ） loga1??， logaa?? 2. 教学指数式与对数式的互化：

1① 出示例1. 将下列指数式写成对数式：53?125 ；2?7?；3a?27； 10?2?0.01

128 （学生试练 → 订正→ 注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体）

② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：log132??5； lg0.001=-3； ln100=4.606

2 （学生试练 → 订正 → 变式：log132?? lg0.001=？ ）

2③ 出示例3. 求下列各式中x的值：

2； lne3?x ?8?；6 lgx?4log64x?； logx3 （讨论：解方程的依据？ → 试求 → 小结：应用指对互化求x）

1④ 练习：求下列各式的值： log525 ； log2 ； lg10000

16⑤ 探究：logaan?? aloagN??

3. 小结：对数概念；lgN与lnN；指对互化； 如何求对数值 三、巩固练习：

1. 练习：课本70页练习1，3题

2．计算： log927； log3243；log381； log(2?3)(2?3)； log34625.

453. 作业：书P70 2、4题

第 35 页

2.2.1对数与对数运算（二）

教学要求： 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.

教学重点：运用对数运算性质解决问题 教学难点：对数运算性质的证明方法 教学过程： 一、复习准备：

1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：ax?N?x?logaN 2． 提问：指数幂的运算性质？ 二、讲授新课：

1. 教学对数运算性质及推导：

① 引例： 由apaq?ap?q，如何探讨logaMN和logaM、logaN之间的关系？

设logaM?p, logaN?q，由对数的定义可得：M=aMN=aa=a

∴logaMN=p+q，即得logaMN=logaM + logaN p，N=aq ∴

pqp?q② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 ，则

Mloga(MN)=logaM+logaN; loga=logaM-logaN； logaMn=nlogaM(n?R)

N③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式） 2.教学例题：

xyxy① 出示例1. 用logax, logay, logaz表示下列各式：loga2; loga5

zz（学生讨论：如何运用对数运算性质？ → 师生共练 → 小结：对数运算性质的运用）

② 出示例2. 计算：log525；log0.41；log2(48?25)；lg9100 （学生试练 → 订正 →小结）

logcb③ 探究：根据对数的定义推导换底公式logab?（a?0，且a?1；且c?1；c?0，

logca第 36 页

3

． b?0）

作用：化底 → 应用：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？

1n④ 练习：运用换底公式推导下列结论：logambn?logab；logab?

logbam3. 小结：对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式. 三、巩固练习：

1. 设lg2?a,lg3?b，试用a、b表示log512.

变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg3的值. 2. 计算：lg14?2lglg27?lg8?3lg107lg243； . ?lg7?lg18；

lg1.2lg933. 试求lg22?lg2?lg5?lg5的值

111*4. 设a、b、c为正数，且3a?4b?6c，求证：??

ca2b5. 作业： P75 2、3、 4题

第 37 页

2.2.1对数与对数运算（三）

教学要求：能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力．

教学重点：用对数运算解决实践问题. 教学难点：如何转化为数学问题 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：对数的运算性质及换底公式？

2. 已知 log23 = a， log37 = b, 用 a, b 表示log4256

3. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪

7一年我国人口总数将超过14亿？ （答案：12?(1?0.0125)x?14 →1.0125x?→

6lg7?lg6x??12.4）

lg1.0125二、讲授新课：

1.教学对数运算的实践应用：

① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M?lgA?lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）. （Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）

② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？

③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：

（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

第 38 页

（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？

④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想

⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？

结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数P?(5730思考：t关于P的函数？ （t?log57301x)； 212x）

2. 小结：初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象

三、巩固练习：

1. 计算： 51?log0.23； log43?log92?log1432 22. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？

3 . 作业： P83 9、11、12题

第 39 页

2.2.2 对数函数及其性质（一）

教学要求：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题.

教学重点：对数函数的图象和性质

教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程：

一、复习准备：

11. 画出y?2x、y? ()x的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.

22. 根据教材P73例，用计算器可以完成下表： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 讨论：t与P的关系？（对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系t?log573012P，

生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数） 二、讲授新课：

1.教学对数函数的图象和性质：

① 定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数y=logax叫做对数函数(logarithmic function).

自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）

② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：y?2log2x，

y?log5(5x) 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (a?0，且a?1)．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y?log2x；y?log0.5x ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）

引申：图象的分布规律？ 2. 教学例题

第 40 页

① 出示例1．求下列函数的定义域：y?logax2； y?loga(3?x)； y?loga(9?x2) （讨论分析：求定义域的依据？ → 师生共练 → 小结：真数>0）

② 出示例2. 比较大小：ln3.4,ln8.5；log0.32.8,log0.32.7；loga5.1,loga5.9

（讨论分析：比大小的依据？ → 师生共练 → 小结：利用单调性比大小；注意规范格式）

2.小结：对数函数的概念、图象和性质; 求定义域；利用单调性比大小. 三．巩固练习： 1．求下列函数的定义域： y?log0.2(?x?6)； y?3log2x. 2．比较下列各题中两个数值的大小：

log23和log23.5； log0.34和log0.20.7；log0.71.6和log0.71.8； log23和log32． 3. 已知下列不等式，比较正数m、n的大小：

log3m＜log3n ； log0.3m＞log0.3n ； logam＞logan (a＞1) 3. 探究：求定义域y?log2(3x?5)；y?log0.54x?3. 4. 作业： 教材P81 1、2、3题.

第 41 页

2.2.2 对数函数及其性质（二）

教学要求：了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.

教学重点与难点：理解反函数的概念 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：对数函数y?logax(a?0,且a?1)的图象和性质？ 2. 比较两个对数的大小：log107与log1012 ； log0.50.7与log0.50.8 3. 求函数的定义域y??1?log32x? ； y?loga(2x?8) 二、讲授新课：

1. 教学对数函数模型思想及应用:

① 出示例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式pH??lg[H?]，其中[H?]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？

（Ⅱ）纯净水[H?]?10?7摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.

②讨论：抽象出的函数模型？ 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想 2．反函数的教学:

① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）

② 探究：如何由y?2x求出x？

③ 分析：函数x?log2y由y?2x解出，是把指数函数y?2x中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为y?log2x.

那么我们就说指数函数y?2x与对数函数y?log2x互为反函数

④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y?2x及其反函数y?log2x图象，发现什么性质？

⑤ 分析：取y?2x图象上的几个点，说出它们关于直线y?x的对称点的坐标，并判断它们是否在y?log2x的图象上，为什么？

第 42 页

?1

x⑥ 探究：如果P0(x0,y0)在函数y?2的图象上，那么P0关于直线y?x的对称点在函

数y?log2x的图象上吗，为什么？

由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线y?x对称)

⑦练习：求下列函数的反函数： y?3x； y?log6x

（师生共练 → 小结步骤：解x ；习惯表示；定义域） 3.小结：函数模型应用思想；反函数概念；阅读P84材料 三、巩固练习：

x1.求下列函数的反函数： y=(2)x(x∈R)； y=loga (a＞0,a≠1,x＞0)

2-1x2．己知函数f(x)?a?k的图象过点（1，3）其反函数y?f?x?的图象过（2，0）点，求f?x?的表达式.

*3．教材P83 B组3题.

4. 作业： P83 A组12题； B组2题

第 43 页

2.2.2 对数函数及其图象的练习

教学要求：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 教学重点：应用性质解决问题 教学难点：综合应用 一、复习准备：

提问：对数函数的图象和性质？ 二、基础练习：

1.根据对数函数的图象和性质填空．

① 已知函数y?log2x，则当x?0时，y? ； 当x?1时，y? ；当0?x?1时，y? ； 当x?4时，y? ．

② 已知函数y?log1x，则当0?x?1时，y? ；

3当x?1时，y? ；当x?5时，y? ； 当0?x?2时，y? ；当y?2时，x? ． （小结：数形结合法求值域、解不等式） 2.判断下列函数的奇偶性：

f(x)?ln(1?x2?x)

3.（1）证明函数f(x)?log2(x?1)在(0,??)上是增函数。

（2）探究：函数f(x)?log2(x?1)在(??,0)上是减函数还是增函数？

(此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法)

4. 求函数f(x)?log0.2(?4x?5)的单调区间．

225 解法：先求定义域 → 设u??4x?5(x?)，讨论u的单调性→ 讨论?(u)单调性

4→结论

（小结：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减” → 变底训练） 三、巩固练习 1.比较大小：

1loga?和logae(a?0且a?1) ；log2和log2(a2?a?1)(a?R)

22．已知loga(3a?1)恒为正数，求a的取值范围．

第 44 页

3．求函数f(x)?lg(x2?8)的定义域及值域．(注意：函数值域的求法) 4．函数y?logax在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值；

5. 求函数y?log3(x2?6x?10)的最小值．

（注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．） 6. 求下列函数的反函数：

x?12 ?6x?10(x??；3) y?2x?3； y?lgy?2x?1(x?3)； y?xx?1ax?b*7. 探究：求y?(ac?0)的反函数，并求出两个函数的定义域与值域，通过对

cx?d定义域与值域的比较，你能得出一些什么结论？ 课后作业 1．求y?loga(5?4x)的单调递增区间；

2．已知y?loga(2?ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围

2.3 幂函数

教学要求：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质. 教学过程：

一、新课引入：

（1）边长为a的正方形面积S?a，这里S是a的函数； （2）面积为S的正方形边长a?S，这里a是S的函数； （3）边长为a的立方体体积V?a，这里V是a的函数；

（4）某人ts内骑车行进了1km，则他骑车的平均速度v?tkm/s，这里v是t的函数；

（5）购买每本1元的练习本w本，则需支付p?w元，这里p是w的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）

第 45 页

?12123

二、讲授新课：

1、教学幂函数的图象与性质

① 给出定义：一般地，形如y?x(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数.

?1② 练：判断在函数y?,y?2x2,y?x3?x,y?1中，哪几个函数是幂函数？

x③ 作出下列函数的图象：（1）y?x；（2）y?x；（3）y?x；（4）y?x；（5）

122?1y?x3．

④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律： （Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增

函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（Ⅲ）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 2、教学例题：

① 出示例1：讨论f(x)?x在[0,??)的单调性.

（复习单调性的定义→ 师生共练 → 变式训练：f(x)?3x）

23230.9. ② 出示例2. 比较大小：(a?1)与a；(2?a)与2；1.1 （教师示范 → 学生板演 → 小结：单调性比大小）

3、小结：幂函数的的性质及图象变化规律，利用幂函数的单调性来比较大小. 三、巩固练习：

1. 练习：教材P87 1、2题.

21.51.5???12与

?122. 讨论函数y?x的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 3. 比较下列各题中幂值的大小：2.3与2.4；0.31与0.35；(2)4. 作业：课本P87 3题；P91第10题

第 46 页

3434236565?32与(3)?32.

基本初等函数习题课（2课时）

教学要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质. 教学重点：指数函数的图象和性质.

教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.

?1?2. 求下列函数的定义域：y?8；y?1???；y?loga(1?x)2(a?0,且a?1)

?2?3. 比较下列各组中两个值的大小：log67与log76；log3?与log20.8；

12x?1x1.012.7与1.013.5

二、典型例题：

例1、函数y?log1x?2的定义域为 .

212例2、函数y?()x?3x?2的单调区间为 .

21?x(a?0且a?1).判断f(x) 的奇偶性并予以证明. 1?x例4、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利

例3、已知函数f(x)?loga率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ） （小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ） 三、 巩固练习：

1. 教材P66 10题 P83 12题

2.函数y?log3(?4x?5)的定义域为 ，值域为 . 3. 函数y?2?x2?3x?2的单调区间为 . ax?b4. 若点(2,)既在函数y?214的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=______，

第 47 页

b=_______

x?25. 函数y?a?1(a?0，且a?1)的图象必经过点 .

6. 计算0.064?13?4?3???????2?0???43?16?0.75?0.01? .

12?5?7. 求下列函数的值域：

11?xy?52?x ; y???1??3??; 四、课后作业：

xy???1??2???1第 48 页

; y?1?2x

第三章 函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点

教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.

教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件. 教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数. 教学过程：

一、复习准备：

思考：一元二次方程ax+bx+c=o(a?0)的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象之间有什么关系？

.二、讲授新课：

1、探讨函数零点与方程的根的关系：

① 探讨：方程x2-2x-3=o 的根是什么？函数y= x2-2x-3的图象与x轴的交点?

方程x2-2x+1=0的根是什么？函数y= x2-2x+1的图象与x轴的交点？ 方程x2-2x+3=0的根是什么？函数y= x2-2x+3的图象与x轴有几个交点？ ② 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： → 推广到y=f(x)呢？

一元二次方程ax+bx+c=o(a?0)的根就是相应二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点横坐标.

③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

④ 讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系？

结论：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x) 的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点

⑤ 练习：求下列函数的零点 y?x2?4x?4；y?x2?4x?3 → 小结：二次函数零点情况

2、教学零点存在性定理及应用： ① 探究：作出y?x2?4x?3的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号

②观察下面函数y?f(x)的图象，在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）. 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）． 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞)．

第 49 页

22

③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c?(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

④ 应用：求函数f(x)=Lnx+2x-6的零点的个数. （试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）

⑤小结：函数零点的求法

代数法：求方程f(x)?0的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

⑥ 练习：求函数y?2x?3的零点所在区间.

3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理 三、巩固练习：1. P97, 1,题 2,题 （教师计算机演示，学生回答） 2. 求函数y?x3?2x2?x?2的零点所在区间，并画出它的大致图象.

3. 求下列函数的零点：y?x2?5x?4；y?(x?1)(x2?3x?1)；y??x2?x?20； f(x)?(x2?2)(x2?3x?2).

4. 已知f(x)?2(m?1)x2?4mx?2m?1：（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个

零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值． 5. 作业：P102, 2题；P125 1题

第 50 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ahmp.html