专题30 等比数列-2016年高考数学(文)一轮复习精品资料(原卷版)

【考情解读】

1.理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

an＋1an数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或a＝q(n∈N*，q为非零常数)．

an－1n2. 等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn1；

－

通项公式的推广：an＝amqn

－m

.

a1（1－qn）a1－anq

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 1－q 1－q3．等比数列及前n项和的性质

(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．

(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn． 【高频考点突破】

考点一 等比数列中基本量的求解

【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( ) 15313317

A. B. C. D. 2442

(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an＝________．

(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，则n＝________．

规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，

一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

【变式探究】 在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

考点二 等比数列的性质及应用

【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7

S1031

(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________．

S532

规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

【变式探究】 (1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为( ) A．－3 B．±3 C．－33 D．±33

(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( ) A．52 B．7 C．6 D．42 考点三 等比数列的判定与证明

【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．

规律方法 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明

an＝q(n≥2，q为常数)；二是等an－1

比中项法，证明a2an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． n＝an－1·

【变式探究】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

5??

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列?Sn＋4?是等比数列．

?

?

【真题感悟】

【2015高考广东，文13】若三个正数a，b，c成等比数列，其中a?5?26，c?5?26，则b? ．

【2015高考新课标1，文13】数列?an?中a1?2,an?1?2an,Sn为?an?的前n项和，若Sn?126，则

n? .

1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )

A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9，成等比数列

2．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 3．（2014·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20

＝________．

4．（2014·全国卷） 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3

5．（2014·湖北卷） 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1. 1??

(1)证明?an＋2?是等比数列，并求{an}的通项公式；

?

?

1113

(2)证明＋＋…＋＜. a1a2an2

7．（2014·山东卷） 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n

－1

4n

，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1

8.（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．

9．（2014·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

10．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，

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