高等数学训练之数项级数

第六讲 数项级数的敛散性判别法

§1 柯西判别法及其推广

比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I：设

?u，?vnn?1n?1??n都是正项级数，存在c?0，使

?un?cvn(n?1,2,3,...)

n

（i） 若

?vn?1收敛，则

?un?1?n也收敛；（ii） 若

??un?1?n发散，则

?vn?1?n也发散．

比较原理II（极限形式）设

?u，?vnn?1n?1?n均为正项级数，若

limun?l?(0,??)

n??vn

则

?u、?vnn?1n?1??n同敛散．

根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设

?un?1?n为正项级数，

（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）有nun?q?1（q为常数），

则

?un?1?n收敛；

?（ii）若从某项起，nun?1，则?un发散．

n?1证（i）若当n?N时，有nun?q?1，即un?qn，而级数

?qn?1?n收敛，

根据比较原理I知级数

?un?1?n也收敛．

?（ii）若从某项起，nun?1，imun?0则un?1，故ln??，由级数收敛的必要条件知

?un?1n 1

发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设

?un?1?n为正项级数，limnn???则：（i）当r?1时，?unun?r，

n?1?收敛；（ii） 当r?1（或r???）时，?un发散；（iii）当r?1时，法则失效．

n?1

例1 判别下列正项级数的敛散性

123(1)?()2?()3?357?nn?()?2n?1；(2)?nen=1?n?n

(3)?n?xn（?为任何实数，x?0）．

n=11解 (1) 因为r?limun??1n??2n，所以原级数收敛．

(2) 因为rn?limnun?lim??n??n??en??，所以原级数发散．

(3) 对任意?，r?limnun?x．当0?x?1时收敛；当x?1时发散；当x?1时，

?1，即???1时收敛；当???1此时级数是p?级数，要对p???进行讨论，当??时，即???1时发散．

?1nn例2 判别级数?n[2?(?1)]的敛散性．

n?13解 由于

n12?(?1)nn limun?limnn[2?(?1)]?limn??n??3n??3n不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为

n12?(?1)2?1nnnu?n[2?(?1)]???q?1 n3n33由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列?an?单调减少，且是否收敛？并说明理由．

?1?n(?1)a发散，试问级数?n???a?1n?1n?1?n???n 2

解 答案：级数

?1????a?1n?1?n??n收敛，证明如下：

由于?an?单调减少且an?0,根据单调有界准则知极限liman存在．设liman?a,则

n??n??a?0．如果a?0,则由莱布尼兹判别法知

n(?1)a(?1)an发散矛盾，收敛，这与??nnn?1n?1??故a?0．再由?an?单调减少，故an?a?0,取q? 0?nun?1?1， a?111??q?1 an?1a?1n根据柯西判别法1知

?1????n?1?an?1??收敛．

下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设

?un?1?n为正项级数，如果它的通项un的

an?ban?b?a?0?次根的极限等于r，即limn??un?r．则当r?1时，级数收敛；当r?1时，

级数发散；当r?1级数可能收敛也可能发散．

证 因为liman?bun?r，即对任给正数?，存在正整数N1，当n?N1时，有

n??

?r????an?bun??r??? （1）

对于任给常数b，总存在N2，当有n?N2时有

an?b?0 （2）

取N?max?N1,N2?，当n?N时，式（1）和式（2）同时成立．

当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上述讨论，存在N，当n?N时，式（1）

an?b和式（2）同时成立，那么有un?q，正项级数

?qn?1??an?b?qb?(qn?1?an)收敛（因为其为等

比级数且公比0?q?1），由比较审敛法知，级数

n?un?1n收敛．

当r?1时，取?足够小，使r???q?1，由上面的讨论，存在N，当n?N时，式（1）

an?b和式（2）同时成立，则un?q

，正项级数

?qn?1?an?b?qb?(qn?1?an)发散，由比较审敛法知，

3

级数

?un?1?n发散．

当r?1时，取un??11an?bu?limlim?1．a?0,b，那么，对任何为常数，有而npp/(an?b)n??n??nn?11发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． ??2nnn?1n?1?1?例4 判别级数???n?1?3n?1?解 因为lim2n?1un?limn???2n?1的收敛性．

1?0?1,由广义柯西判别法1知，级数

n??3n?1?1????n?1?3n?1??2n?1收敛．

注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设

?un?1?n为正项级数，如果它的一般项un的nm（m是大于

m1的正整数）次根的极限等于r，即limnun?r．则当r?1时，级数收敛；当r?1时，

n??级数发散；当r?1时，级数可能收敛也可能发散．

证 因为limnun?r，即对任给的正数?，存在正整数N，当n?N时有

mn??r???nun?r??m

当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上面的讨论，存在N，当n?N时， 有un?q．因为q?nmnm又正项级数?q收敛（因q?(0,1)），由比较审敛法知?qn?q，

nnn?1n?1??m收敛 ，所以

?un?1n收敛．

当r?1时，取?足够小，使r???q?1．由上面的讨论，存在N，当n?N时，有

un?qnm?1，那么limun?0，所以级数?un发散．

n???n?1当r?1时，同样取un?P1?p?0?，那么 npPlimnmn??11??1???lim?lim??n??1/nm??1 nmnpn???n??n??4

这说明r?1时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．

注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取a?1,b?0，在广义柯西判别法2中，取m?1便得定理2（柯西判别法2）．

?例5 判断级数

????2n?1?n?12?n?n2的收敛性．

n2解 因为limnun?limn?n??n??收敛．

2?n???2n?1??limn1??1，由广义柯西判别法2知原级数

n??2n?12定理5（广义柯西判别法3） 设wn?unvn,un?0,vn?0,(n?1,2,n)，若

??vnlimun?u，lim?v．则当uv?1时，级数?wn收敛；当uv?1时，级数?wn发n??n??vn?1n?1n?1散[2]．

为证明定理5，需要一些预备知识：

Stolz定理 设?an?、?bn?为两个数列，数列?bn?在某顶之后单调递增,且

limbn???，若limn??an?an?1a（或??），则limn?l（或??）． ?l，

n??b?bn??bnn?1nn??命题1 设数列?xn?．若limxn?l，则lim证 令an?x1?x2?x1?x2?n??n?xn?l?limxn。

n???xn，bn?n，由Stolz定理，

xn?limxn?l

n??n?(n?1)n??limx1?x2?n??n?xn?lim命题证毕．

命题2设an?0，(n?1,2,)．liman?a，则limna1a2n??n??an?a?liman．

n??n??证 由an?0，考虑数列?lnan?，由对数函数的连续性易知limlnan?lna．再 由命题1知

limna1a2n??an?limlna1?lna2?n??nlnna1a2an?lnan?lna

根据指数函数的连续性便得

limna1a2n??an?limen???elna?a,

a?0或a???时，结论仍成立，这里证明略去．

命题3 设vn?0，lim

vnv?v，则limnvn?v?limn．

n??vn??n??vn?1n?15

广义积分证由

???1f(x)dx同时收敛，同时发散．

f(x)单调减少，故对x?[k?1,k]，

kuk?1?f(k?1)?f(x)?f(k)?uk，

kk?1uk?1??uk?1dx??k?1f(x)dx??kkk?1f(k)dx??ukdx?uk

k?1nnk所以

?uk?1nk?1???k?2nk?1f(x)dx??f(x)dx??uk1k?2 （3）

若广义积分

???1，有 f(x)dx收敛，则对任何自然数n,由上不等式（3）

nnn?? Sn??uk?u1??uk?u1??f(x)dx?u1??k?1k?211f(x)dx

既部分数列?Sn?有界，故级数

??un?1?n收敛．

反之，若级数

?un?1n收敛，则由不等式（3），则对任何自然数n(n?1),有

n?1?

?n1f(x)dx?Sn?1??uk??uk?S （4）

k?1k?1又知f(t)?0,则F(x)?调有界准则知广义积分

??xaf(t)dt是x的单增函数，由（4）可知F(x)有上界S，根据单

???1f(x)dx收敛．定理证毕．

的敛散性，其中p?0为常数．

例12讨论级数

1?pn?1n(lnn)解 取

f(x)?1,p?0px(lnx)．它在[3,??)上非负，单调减少且连续．令

un?f(n)?1. pn(lnn)当p?1时，limx??3?x1dt?lim[lnlnx?lnln3]???,

x??tlnt当p?1时，lim

x??3?x111?p1?pdt?lim[(lnx)?(ln3)] px??t(lnt)1?p11

???,当0?p?1,? ??(ln3)1?p?p?1,当p?1.?故级数

1?pn(lnn)n?1??当p?1收敛，当0?p?1时发散．

注 对于正项级数

??1dx,,同 考察广义积分?p?p1xlnx(lnlnx)n?1n(lnn)(lnlnn)样可推得当p?1收敛，当0?p?1时发散．

§4 拉贝尔判别法与高斯判别法

柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了．拉贝（Raabe）以p?级数

1作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯?pn?1n?1(Gauss)以级数?pn?1n(lnn)定理11 （拉贝判别法）设

?作为比较对象，得到了高斯判别法．

??un?1n为正项级数，若有

un?1??1??1??o??(n??), （5） unn?n?则在??1时，级数

?un?1?n收敛；而在??1时，级数

?un?1?n发散．

证略．

注 等式（5）式其实相当于

?un?1?limn??1???? （6） n??un??推论（拉贝判别法的极限形式）设

??un?1?n为正项级数，且极限（6）存在，

?则：（i）当??1时，级数时，拉贝判别法失效．

?un?1n收敛；（ii）当??1时，级数

?un?1n发散；（iii）当??1 12

例 13 讨论级数

?1?3(2n?1)???(2n)?n?1?2?4??ss当s?1,2,3时的敛散性．

解 对于任何s,都有

u?2n?1?limn?1?lim???1． n??un??2n?2??n因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性．下面用拉贝判别法来讨论： 当s?1时，由于

?u?2n?1?n1?n?1?n?1??n?1????1(n??) ?un?2?2n?2?2n?2?故当s?1时级数发散；

当s?2时，由于

??2n?1?2?n(4n?3)?un?1?n?1??1(n??) ??n?1?????2un???2n?2???(2n?2)??此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性；

当s?3时，由于

??2n?1?3?n(12n2?18n?7)?un?1?3n?1??n1????1(n??)?????3un?(2n?2)2????2n?2???此，当s?3时级数收敛．

还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法： 定理12（高斯判别法）设

因

?un?1?n为正项级数，若有

un?11??1??1???o??(n??), （7） unnnlnn?nlnn?则在??1时级数

?un?1?n收敛；而在??1时级数

?un?1?n发散．

注 级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的．一般说来，部分和Sn不易求得，于是级数的敛散性判别法就应运而生．以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理．它须用预知其敛散性的级数作比较对象．若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法．这两个方法简单易行，但当极限为1时，方法就失效了．若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数．拉贝选取了p?级数，从而得到了以他命名的判别法．拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的?可能为1，此法仍可能失效．于是又得寻求比p?级数收敛得慢的级数，级数

13

?n?(lnn)n?1?1p就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别

?11法的用途更广．沿此思路下去又会发现级数?较收敛散得?ppn?lnn?(lnlnn)n?(lnn)n?1n?1?更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法．如果某级数，用上述的

判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy）收敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了． §5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法 阿贝尔变换 为了求和数S和数

??aibi?a1b1?a2b2?...?ambm，阿贝尔给出了一个初等变换，引进

i?1mB1?b1,B2?b1?b2,B3?b1?b2?b3,,Bm?b1?b2??bm

b1?B1,b2?B2?B1,b3?B3?B2,m,bm?Bm?Bm?1.?am(Bm?Bm?1)

S??aibi?a1B1?a2(B2?B1)?a3(B3?B2)?i?1?(a1?a2)B1?(a2?a3)B2???(ai?ai?1)Bi?amBmi?1m?1?(am?1?am)Bm?1?amBm

即

?abi?1mii?amBm??(ai?ai?1)Bi

i?1m?1?amBm??(ai?1?ai)Bi （8）

i?1m?1公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似：

?baf(x)g(x)dx?f(x)G(x)|a??G(x)df(x)

babab?f(b)G(b)??G(x)df(x) （9）

其中，G(x)b??g(t)dt,G(a)?0．如果把Bi换成G(x)，ai?1?ai换成df(x)，

ax?换成?a，则(8)式就转化为(9)式．

阿贝尔引理 如果 （i）{ai}(i

?1,2,,m)单调（增或减）的；

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（ii）{Bi}(i则

?1,2,,m)有界，即存在M?0,使Bi?M;

S??abi?1mii?M(a1?2am) （10）

证 利用阿贝尔变换： S??aibi?amBm??(ai?1?ai)Bi

i?1i?1mm?1S??abi?1mii?amBm??ai?1?aiBii?1m?1

由于ai?1?ai是同号（an单调），Bi?Mm?1，于是有

S?Mam?M?ai?1?ai?M(a1?2am)．

i?1推论 如果ai?0,(i?1,2,,m)，并且a1?a2?a3??am．那么

S?Ma1

（11）

下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克

雷判别法．用它们判别形如

?abi?1?ii?a1b1?a2b2?...?anbn?...

级数的敛散性十分有效．

定理13（阿贝尔判别法） 如果：（i）

?bn?1?n收敛，（ii）数列{an}单调有界，即存在正数

K，使得|an|?K(n?1,2,3,...)．则级数

证 利用阿贝尔引理来估计和数

?ab收敛．

nnn?1??ab??akkk?n?1i?1n?mmn?in?ib （12）

由条件（i）

?bn?1?n收敛，即对任给??0，存在N，当n?N时,对任何自然数P，有

bn?1?bn?2?...?bn?p??

取?为阿贝尔引理中的M, 再由条件（ii），则有

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