一二年级发散思维及开发智力

小学数学解题思路技巧目录

第一章 基础知识

§1．1 神奇的1和0 §1．2 余数的妙用 §1．3 周期现象

第二章 填速算与技巧

§2．1 加减巧算 §2．2 乘法巧算§ 2．3 连续自然数求和

第三章 填数问题

§3．1 用运算符号连算式 §3．2 找规律填数 §3．3 奇怪的算式 §3．4 调整法趣谈

第四章 火柴棒游戏

§4．1 简单的变式运算 §4．2 复杂的变式游戏 §4．3 图形游戏

第五章 图形问题

§5．1 怎样数图形的个数 §5．2 图形的识别与划分 §5．3 怎样剪拼图形

第六章 简单应用题

§6．1 解应用题的综合法与分析法 §6．2 倍数问题 §6．3 有关平均分的问题 §6．4 事物推理问题 §6．5 钟面上的数学问题

第七章 模拟试题

模拟试题一 模拟试题二 模拟试题三 模拟试题四 模拟试题五 模拟试题六 模拟试题七

神奇的1和0

［知识要点］

1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。

⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。

⑶ α÷0无意义。

2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；中间有一个0或几个0连在一起都只读一个0。

［范例解析］

例1 计算下面由数字1组成的“金字塔”，把所有的1都加起来，看谁算得快。

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

解 “金字塔”每层的和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。 它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

例2 请回答：数字3最少是几个数字相乘的积？最多呢？

解 由于3×1=3，所以3最少是两个数字的积，最多可看成是一个数3和无穷多个数1的积。

例3 我们做一个数字计算游戏。任取一个不是1的数，如果是双数就除以2（如取18，就18÷2）；如果是单数就乘以3加上1后再除以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们取数3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数7呢？

解 将数3按这两种方法计算有：

3×3＋1=10 10÷2=5 5×3＋1=16 16÷2=8 8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1 简记为：3→10→5→16→8→4→2→1 同样，对于数7有：

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

数3和数7经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是1。这种计算方法称“角谷猜想”。

例4 2÷0得几？说明理由。

解 假定2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。这说明，找不到一个数与0的积等于2，故2÷0无意义。 例5 把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么：

⑴ 两个0都不读出来的数是什么数？

⑵ 只读出一个0的数是什么数？

⑶ 四位数中最大的一个数是什么数？ ⑷ 四位数中最小的一个数是什么数？

解 ⑴ 9900 ⑵ 9090 ⑶ 9009 ⑷ 9900

例6 计算：⑴ 1300×3 ⑵ 1600×5 ⑶ 470×3 ⑷ 5008×5 解

［思路技巧］

任何一个数中间或末尾的0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间有几个0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有0的时候，可以先用乘数去乘0前面的数，然后在乘得的数的末尾填写0，填写0的个数要与被乘数末尾的0的个数相同。

总之，0和1有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只用1和0来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。

［习题精选］

1．填空。

1×（ ）=1 1＋（ ）=1 1－（ ）=1 2－（ ）=1 1÷（ ）=1 7÷（ ）=1 2．计算。

⑴ 617×0×4 ⑵ 5783×9×0 ⑶ 80×3×1 ⑷ 2030×3×4 ⑸ 3020×2×3 ⑹ 7010×1×2 3．用“角谷猜想”计算方法填数。 ⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→

⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□

→□→1 4．在6的后面添上一个0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？ 5．1400末尾的两个0可以不读，也可以不写，对吗？为什么？

6．1005中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？

7．0、2、4、6、8五个数字的和与2、4、6、8、0五个数字的积相比，不用计算，你说是和大？还是积大？

8．比比看，谁做得又对又快？

1＋0 0＋1 1×1 1×0 1－1 0＋0 1÷1 0×0 1－0 0÷1 1＋1 6×1 6÷1 7＋0 0＋7 7－0 0÷7 7－7 7×7 （6－6）×4 （8－8）×0 0÷（8－4） 1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1

9．用四个3、三个0写成七位数，按下面的要求写出各多位数：

一个零都不读出来 （ ） 只读出一个零 （ ） 读出两个零 （ ） 读出三个零 （ ）

10．数字迷。

下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数： ⑴ 7 6 25 53 19 这个数被3除余1；

这个数比最小的两位数大；

这个数加上1，再乘以5正好是最小的三位数； 这个数的几？

⑵ 30500 53010 400200 7003000 这个数只读出一个零； 这个数的最高位在二节中； 这个数各个数位上的数的和为8； 这个数是几？

11．用1、0、0、4四个数字写出两个四位数，要使它们是差是99，这两个四位数分别是（ ）和（ ）。

余数的妙用

［知识要点］

1．被除数=除数×商＋余数；

2．余数要比除数小；

3．会解有余数除法的应用题。

［范例解析］

例1 如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？

解 14÷3 = 4余2

每班分得4个还余2个。

例2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？

解 第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8； 第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；

第三个竖式是对的，余数3小于除数5。

说明 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系

是：

被除数 = 除数×商＋余数 被除数－余数 = 除数×商 例3 把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？

解 11÷3 = 3余2； 12÷3 = 4余0； 13÷3 = 4余1； 14÷3 = 4余2；

15÷3 = 5余0； 16÷3 = 5余1； 17÷3 = 5余2。

说明 一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。 “余数”在我们生活中还有不少的用处呢！

例4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？

解 可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成 50÷6 = 8（组）余2（只）

于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡各配9只。 例5 今天是星期三，再过20天是星期几？

解 今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了

3天。所以有

（20＋3）÷7 = 3余2

即再过20天是星期二。

例6 把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。

（ ）÷（ ） = （ ）余（ ） 分析 第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数18。其次，除数比余数要大，因此，

第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是7×4大于18，所以最后一个括号中只能填数4。即题中式子填数如下： （ 18 ）÷（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ）

［思路技巧］

１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。 ２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。

［习题精选］

１．看图填数。

⑴ 11÷3 = ______( 根 )……______（ 根 ）

⑵ 14÷4 = ______( 份 )……______（ 个 ） 14÷3 = ______( 个 )……______（ 个 ）

２．下面各题的计算对吗？把不对的改过来。

⑴ 38÷5 = 6……8 49÷6 = 7……7 49÷8 = 5……9

33÷4 = 8……1 2÷1 = 1……1 17÷3 = 5……2

３．（ ）里最大能填几？

（ ）×8＜55 （ ）×5＜19 （ ）×7＜33 （ ）×9＜62 （ ）×6＜50 （ ）×4＜14 ４．55除以7，商几余几？除以8呢？除以9呢？

５．

被4除没有余数的：________________

被9除没有余数的：________________

６．⑴ 用下面各数除以2时，得到哪些余数？除以4时，得到哪些余数？

11、13、14、15、17、19

⑵ 用下面各数分别除以5、6时，各得到哪些余数？ 11、12、13、14、15、16、17

７．把23、7、3、2填入两个式子中，使它们的余数相同。

（ ）÷（ ） = （ ）……（ ） （ ）÷（ ） = （ ）……（ ） ８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？

（ ）÷7 = （ ）……1 （ ）÷6 = （ ）……5 （ ）÷5 = （ ）……4 ９．在□里填上适当的数。

１０．在机场上停着20架飞机，准备每3架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？ １１．⑴ 把16张风景画片平均分给5个同学，每人分得几张？还剩几张？

⑵ 把16张风景画片分给同学，每人分得5张，可以分给几个同学？还剩几张？

１２．⑴ 一件衬衣前面要钉5个纽扣，袖口要钉2个纽扣，一共要钉几个纽扣？

⑵ 现有45个纽扣，每件钉7个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？ １３．有30千克水果糖，每盒装4千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？ １４．一个星期有7天，十月份有31天，十月份里有几个星期零几天？

１５．⑴ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？

⑵ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，会场两边各插4面旗，中间插1面旗，共插了几面旗？

周期现象

［知识要点］

自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国民间流传着“初三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是周期现象。

算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被3除的余数是： 1、2、0、1、2、0、1、2、0、…… 它是1、2、0重复出现的一列数，即周期是3。

本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。

［范例解析］

例1 有一串黑白珠子排列如图1-4所示。

○●○○○●○○○●○○○●○○○●○…… 图1-4

其中黑珠与白珠共有70个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？ 解 我们由图1-4可知○●○○四个珠子是一个周期，又70÷4=17余2，即这一串珠子经过17次重复后还余2个珠子○●，因此，最后一个是黑珠子。

一个周期的4个主张中有3个白珠，最后2个主张中有一个白珠，白珠一共应有： 3×17＋1 = 51＋1 = 52（个）

说明 对于周期问题，关键是要抓住周期规律这一重要环节，问题才好解决。 例2 1994年4月10日是星期六，那么这一年的7月5日是星期几？ 解 从4月10日至7月5日的天数是：

（30－9）＋31＋30＋5 = 87（天） 又一个周期的周期是7，所以 87÷7 = 12余3

即87天经过12个星期又3天，这3天应是星期六、星期日、星期一。 我们推算出7月5日是星期一。

例3 1、2、0、1、2、0、1、2、0……第1995个数字是多少？ 解 这一列数中，它的一个周期是：1、2、0，即周期是3。又

1995÷3 = 665

故这一列数按12、0重复665次，所以第1995个数字是0。 例4 1＋2＋3＋4＋…＋1992＋1993被5除的余数是多少？

分析 这个问题如果先求和，就比较麻烦。我们知道，这1993个数被5除的余数周期性

的出现，组成下面一列数：

1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0……

我们知道，1、2、3、4、0是一个周期，周期是5。并且一个周期的5个余数的和是：

1＋2＋3＋4＋0 = 10

又10÷5 = 2，即是一个周期中5个数字之和可被5 除尽。这就是说，前5个数字的和能被5整除，接着的5个数字的和同样也能被5整除，等等。这样，有多少个5个数字的和可以被5整除呢？

我们知道，1993÷5 = 398余3。

即应有398个5个数字的和可以被5整除。只考虑最后三个数的余数是1、2、3。 又1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1余1

所以，它们的和被5除的余数是1。

［思路技巧］

１．对于周期问题，解决的关键是要正确观察出周期的规律。

２．有些问题，虽然不是周期问题，我们可以巧妙地将它转化为周期问题来解决。

［习题精选］

１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5……，第273个数字是多少？

２．某年3月5日是星期四，那么这一年的10月1日是星期几？ ３．某年的9月15 日是星期五，那么这一年的5月5日是星期几？ ４．同样大小的红、白、黑三色球共193个，它们按如图1-5规则排列，其中红球有多少个？最后一个球是什么颜色？

５．1＋2＋3＋4＋……＋1993＋1994的和被9除的余数是多少？

６．有14个数排成一横排，每个数写在一个方格子里，它们具有这样的性质：任何三个相邻的数加起来都是10；另外从左边算起的第4个数等于5，第12个数等于4，问第8和数“？”等于多少？

5 ？ 4 ７．1＋2＋3＋……＋9999＋10000被7除的余数是多少？

８．1994年的1月5日是星期三，问这一年的7月1日是星期几？

９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3……这一列数的第186个数字是多少？这186个数的和是多少？

１０．拼音字母A、B、C按下面的规律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C……共有178个字母。请填下列空格：

⑴ 一个周期A、B、A、A、C它有（ ）个字母； ⑵ 一个周期中A有（ ）个，余数中A有（ ）； ⑶ 共有（ ）×（ ）＋（ ） = （ ）个A； ⑷ 最后一个字母是（ ）。

加减巧算

［知识要点］

１．加法的交换律与结合律，用字母表示则有：

α＋b = b ＋α, α＋(b＋c) = (α＋b)＋c ２．减法的性质，用字母表示则有：

α－(b＋c) = α－b－c

反之， α－b－c = α－(b＋c)

［范例解析］

例1 简便计算下列各题。

⑴ 129＋84＋71 ⑵ 83＋135＋65 ⑶ 34＋75＋66 ⑷ 128＋73＋27＋17 解 ⑴ 129＋84＋71 ⑵ 83＋135＋65

= （129＋71）＋84 = 200＋84 = 284

⑶ 34＋75＋66 =（34＋66）＋75 = 100＋75 = 175

例2 你能巧算297＋65的和吗？

分析 我们发现，第一个加数只要加上数3就凑成整数300，这样计算就方便多了。 解法一 297＋65 解法二 297＋65

= 297＋65＋3－3

= （297＋3）＋（65－3）

= 297＋62＋3

= （297＋3）＋62

= 83＋（135＋65） = 83＋200

= 283

⑷ 128＋73＋27＋17

= （128＋17）＋（73＋27）

= 145＋100 = 245

= 300＋62 = 300＋62 = 362 = 362

说明 “凑整”是速算中最常见、简单易行的方法，计算时，若凑成10、100、1000、……计算自然方便。但“凑整”不是任意凑，而是有目的地进行，才能起到速算的效果。再看例3。

例3 速算下面两题。

⑴ 3471＋5899 ⑵ 3891－1992

解 ⑴ 3471＋5899

= 3471＋（5899＋101）－101

= 3471＋6000－101 = 9471－101 = 9370

例4 速算下面两题。

⑴ 280－（80＋92） ⑵ 297－173－27

解 ⑴ 280－（80＋92）

= 280－80－92 = 200－92 = 108

⑵ 297－173－27

= 297－（173＋27） = 297－200 = 97

⑵ 3891－1992

= （3891－2000）＋8

= 1891＋8 = 1899

［思路技巧］

“凑整”是速算中最常见的方法，有目的地把数凑成10、100、1000、……，可以使问题简化。

［习题精选］

１．简便计算下面各题。

⑴ 74＋29＋26 ⑵ 153＋29＋171 ⑶ 58＋47＋42＋13 ⑷ 149＋32＋151＋68 ⑸ 2608＋529＋392＋27

２．看谁算的快。

⑴ 36－12－6 ⑵ 75－36－19 ⑶ 129－（29＋40） ⑷ 1995－（1001＋895） ３．速算。

⑴ 5789＋2011 ⑵ 1832－997 ⑶ 6801＋345＋3199 ⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看谁算的快。

⑴ 57＋78＋43＋42 ⑵ 249＋132＋151＋68 ⑶ 405＋997 ⑷ 298＋87 ５． 下面有这样几排数。

1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25

⑴ 第一竖行各个数的和是15，请你很快算出其余四个竖行各个数的和； ⑵ 第一横行各个数的和是55，请你很快算出其余四个竖行各个数的和。

乘法巧算

［知识要点］

１．用乘法口诀计算减法；

２．乘法的交换律、结合律。用字母表示为：

α×b = b×α， α×(b×c) = (α×b)×c； ３．乘法对加法的分配律，用字母表示为：

α×(b＋c) = α×b＋α×c； α×b＋α×c = α×(b＋c)

［范例解析］

例1 下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？

21－12 = 9 31－13 = 18 41－14 = 27 51－15 = 36

春天来了，学校里需要种56棵树，______________，每个小队种几棵？ ⑴ 平均分给7个小组种 ⑵ 平均分给7个中队种

⑶ 平均分给7个少先队员种 ⑷ 平均分给7个小队种

３．把下面两步计算应用题变成两个有联系的简单应用题：

商店里有35筐苹果，62筐梨，卖出74筐水果，还剩多少筐水果？ ４．把下面两个有联系的简单应用题变成一道两步计算的应用题：

⑴ 生产队有小鸡316只，小鸭比小鸡少138只，小鸭有多少只？

⑵ 生产队有小鸡316只，小鸭178只，小鸡和小鸭一共有多少只？ ５．看线段图编题。

６．看图编应用题并回答。

７．爸爸带10元钱买一双鞋子、一双袜子，还多一元钱。妈妈带10元钱买同样的一双鞋子，两双袜子还差一元钱，有双鞋子多少元？

８．一杯果汁，小明先喝了半杯，往杯里加满了凉开水，再喝去半杯，又加满了凉开水，最后小明将它全部喝完，他一共喝了多少杯果汁？多少杯水？

９．一条凳子坐9人还多4个座位。现在8条凳子，全坐满共坐多少人？ 10．根据题中的数量关系改编应用题：

小朋友大扫除，4 个人扫地，5个人拖地板，一共有多少人大扫除？

11．动物园里有6只大猴，小猴比大猴多8只（或大猴比小猴少8只），小猴有几只？ 12．小英看一本60页的故事书，第一天看了15页，第二天看了10页，这时还剩几页没有看？

13．教室里有21个女同学和15个男同学在排练节目，又来了7个男同学和7个女同学。教室里的男同学比女同学少几人？

14．爷爷比爸爸大36岁，比妈妈大38岁。爸爸妈妈年龄的和刚好等于爷爷的年龄。爷爷有多少岁？

15．刘明比李老师小37岁，比王老师小28岁，刘明的年龄刚好等于李老师与王老师年龄的差，刘明有多少岁？

倍数问题

［知识要点］

１．已知甲数是乙数的几倍和乙数，求甲数。

甲数 = 乙数×倍数

２．已知甲数是乙数的几倍和甲数，求乙数。 乙数 = 甲数÷倍数

［范例解析］

例1 给下面给题补充问题：

⑴ 有黄花37朵，红花是黄花的2倍。___________?

⑵ 新华书店下午卖出小人书340本,是上午卖出的4倍。___________? 分析 我们用线段图来观察。

从线段图6-4观察，有两种填法： ① 红花有多少朵？

② 黄花和红花一共有多少朵？

由图6-5知，有两种填法： ① 上午卖出小人书多少本？

② 上午和下午一共卖出小人书多少本？

说明 用线段图表示倍数的问题，非常直观易懂，它是解决问题的一种非常有效的方法，我们称之为“图解法”。 例2 绿化小组种松树200棵，种的杨树是松树的3倍。种了杨树多少棵？松树和杨树一共种了多少棵？

分析 把少数当作一份画线段图（图6-6）

可看出求杨树的棵树要用乘法，有了两树的棵树即可求和。

解 杨树的棵树是 200×3 = 600（棵）

松树和杨树一共是

600＋200 = 800（棵）

例3 学校图书室原来有图书1350本，现在的图书是原来的3倍，现在比原来多多少本？ 分析 首先求出现有图书的本数，再减去原来的本数，就是多的本数。 解 1350×3－1350

= 4050－1350

= 2700（本）

答：现在比原来多2700本。

例4 六角亭小学有羽毛球112个，羽毛球的个数是小足球个数的4倍，羽毛球和小足球共

有多少个？

分析 先求出小足球的个数，两球相加即可。 解 112÷4＋112

= 28＋112 = 140（个）

答：羽毛球和小足球共有140个。

例5 学校食堂买回鲜鱼10千克，买回的羊肉是鲜鱼的2倍，买回的胡萝卜是羊肉的4倍，食堂买回胡萝卜多少千克？ 分析 这是一个连乘的问题。 解 10×2×4 = 80（千克） 答：买回胡萝卜80千克。

例6 校园里有杨树20棵，杨树比柳数少5棵，松树的棵树是杨树的2倍，柳数有多少棵？松树有多少棵？三种数一共有多少棵？

分析 将杨树作为一份画出线段图，如图6-7。

由线段图6-7可求出柳树、松树的棵数以及它们的和。 解 柳树的棵树：20＋5 = 25（棵）

松树的棵树：20×2 = 40（棵）

三种树的总棵数：20＋25＋40 = 85（棵）

答：有柳树25棵，松树40棵，三种树一共85棵。

［思路技巧］

倍数问题要弄清谁是谁的倍数。可利用图解法帮助理解题意。

［习题精选］

1．看图6-8回答问题。

⑴ 白珠有几个？

⑵ 白珠的个数是黑珠的几倍？ ⑶ 白珠有几个（用算式列出）？

２．光明农机厂原来每天生产零件352个，经过技术革新，现在的产量是原来的3倍，现在每天生产零件多少个？原来比现在少多少个？

３．一辆汽车可装运面粉286袋，一节火车车厢装运的面粉等于8辆汽车装运面粉的总和，一节火车车厢可以装运面粉多少袋？

４．一只大象的体重是一只河马体重的4倍，一只大象的体重是4900千克，一只河马的体重是多少千克？

５．红旗机器厂有女工405人，男工人数是女工的3倍。男工有多少人？男工、女工一共有

多少人？

６．大新香皂厂用汽车运送香皂，每辆汽车可以运送150箱，5 辆同样的汽车运送多少箱？如果用这些汽车运送3次，一共可以运送多少箱？

７．养鸡场养公鸡308只，养的母鸡是公鸡的5倍，养母鸡多少只？养的小鸡又是母鸡的4倍，养小鸡多少只？

８．⑴ 3的2倍乘3的2倍，得数是3的几倍？

⑵ 甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，甲数是丙数的几倍？

９．小兰今年8岁，阿姨的年龄是小兰的3倍。阿姨今年多少岁？小兰的年龄是小江的2倍，小江今年多少岁？

10．⑴ 六角亭小学有足球18个，羽毛球的个数是足球的5倍，羽毛球有多少个？

⑵ 六角亭小学有足球18个，平均份给高年级6个班，每班可以份到多少个足球？ 11．果园里有1250棵桃树，梨树棵树是桃树的3倍，梨树有多少棵？桃树和梨树一共有多少棵？

12．食堂买来西红柿17千克，萝卜24千克，黄瓜是萝卜的3倍，茄子是西红柿的2倍，黄瓜、茄子各买了多少千克？

13．修路工人第一天修路125米，第二天修的路是第一天的2倍，第三天比第二天多修20米，第三天修了多少米路？

14．移动右表中的数字，使第二排的三位数是第一排三位数的2倍，第三排的三位数是第一排三位数的3倍，有几种移法？

有关平均分的问题

［知识要点］

１．“平均分”就是每份分得同样多； ２．“平均分”的条件，即分东西时一定要知道分多少东西和分成几份； ３．“平均分”的方法，用除法计算。

［范例解析］

例1 看图6-9写出两个除法算式：

分析 这是一个平均分的问题，根据题意和我们学过的除法有两种分法。

第一种方法是把24个乒乓球平均分成4份，求每份的个数；

第二种方法是把24个乒乓球按6个为一堆，，求它的堆数。

解 24÷4 = 6（个） 24÷6 = 4（堆）

说明 这两种方法的相同点是，都用除法计算，且算式中的被除数都是24；不同点是，第一种分法是知道要分的数和平均的份数，求每份是多少；而第二种分法是知道要分的

份数和每份是多少，去平均分的份数。

例2 学校买来15个皮球，平均分给3个班，每班分几个？

分析 此题要分的数是15，要分的份数是3份，可用除法计算。 解 15÷3 = 5（个） 答：每班可分5个皮球。

例3 小东买了10颗糖，小方买了8颗糖，把这些糖平均分给小东、小方和小红，后来小红按价拿出1角2分钱，这些钱怎样分给小东和小方？

分析 要求这些钱怎样分给小方、小东，就必须先求出每人平均分得几颗糖和平均每颗糖的价钱。 解 ⑴ 平均每人分糖多少颗？

（10＋8）÷3 = 6（颗） ⑵ 每颗糖价是多少？

12÷6 = 2（分）

⑶ 小东付给小东的钱是几分？

2×（8－6） = 4（分）

例4 爸爸买了500克梨，500克苹果，500克梨是4个梨，500克苹果比500克梨多1个，平均每个苹果重几克？1500克苹果和1500克梨共多少个水果？ 分析 要求平均每个苹果重几克，必须先求出苹果的个数。 解 苹果有多少个？

4＋1 = 5（个） 每个苹果重多少克？

500÷5 = 100（克）

1500克苹果和1500克梨共多少个？ 5×3＋4×3 = 15＋12 = 27（个）

例5 四年级同学在校园里种了9棵小松树，平均分成3行，每行4棵，他们是怎样种的？ 分析 假设横、竖排列，每行3棵，4行共要12棵树，而现在只有9棵，缺3棵，因此不能横竖排列。要复合题意，必定有3棵树在行中要重复两次，也就是两行必有一个公共点，那只有排列成三角形状。三角形的三个顶点就是三个公共点。

解 本题有许多种种法。如下图6-10、图6-11和图6-12分别各是一种解法。

说明 此题种法的关键是掌握9棵树中必有3棵树在所在的行中各要重复2次才行。

［思路技巧］

正确理解平均分的意义，解平均分的问题，用除法计算。

［习题精选］

１．填空：

七合一线段：（1，2，3，4，5，6，7）、（2，3，4，5，6，7，8）、（3，4，5，6，7，8，9）一共有3条； 八合一线段：（1，2，3，4，5，6，7，8）、（2，3，4，5，6，7，8，9）一共有2条； 九合一线段：（1，2，3，4，5、6，7，8，9）只1条。 所有线段的总和也正好是：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = 45（条）

说明 从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏掉。

运用这种方法，我们还可数其他的图形的个数。

例2 数一数，图5-5中一共有多少个三角形？ 解 将图中单独三角形1~5编号，一共有三角形是： 1＋2＋3＋4＋5 = 15（个）。 例3 图5-6中有多少个角，你会数吗？

解 将单独的角按1~7编号，可计算出共有角是： 1＋2＋3＋4＋5 ＋6＋7= 28（个）。 例4 数出图5-7中长方形的个数。

解 将图5-7中独立的长方形按1~12编号，可计算出长方形的个数是： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋＋7＋8＋9＋10＋11＋12 = 78（个）。 例5 数出图5-8中长方形的个数。

解 我们将原图分类，一类一类的数，最后求总数。（每一类用阴影表示）

总共是：6×3 = 18（个）。

说明 我们也可以这样数，长方形的长和宽可看成是两条线段，长有3太哦独立线段，宽有2条独立线段，总数是：

（1＋2＋3）×（1＋2） = 18（个）。 例6 数出图5-10中长方体的个数。

分析 此题虽是数长方体的个数，但它可转化成数长方形的个数来解决，因为长方体的表面就是一个长方形，这种转化的可能的。仿例5，同样可将问题分成三类来数。

第一类有：4＋3＋2＋1 = 10（个）， 第二类有：4＋3＋2＋1 = 10（个），

第三类有：4＋3＋2＋1 = 10（个）， 总 共 有：10×3 = 30（个）。

例7 请你数出图5-11中三角形的个数。

解 很明显，我们可将问题分成如图5-12的三类来研究：

其中每一类都是：1＋2＋3 = 6（个）。 总共是：6×3 = 18（个）。

［思路技巧］

数线段的重要规律是“单条线上线段的总数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个林许数）。这个规律，可以扩展到数图形的数。

［习题精选］

１．数出图5-13中各线上线段的条数：

⑴ └─┴─┴─┴─┴─┘

⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘

图5-13

２．数一数图5-14交叉线上的线段共有几条？

３．在图5-15的扇子中的角共有多少个？

４．请你数一数图5-16中有多少个角？ ６．数一数图5-18中三角形的个数。 ７．数出图5-19中长方形的个数。

５．如图5-17，地上有六根木桩，每两根之间牵一线，一共要牵多少根？

８．数一数，图5-20中有多少个长方体？

９．数一数，图5-21中有多少个正方形？多少个长方形？多少个三角形？

图形的识别与划分

［知识要点］

１．将正方形划分成小正方形块或直角三角形块； ２．将规则图形划分成正方形或长方形与三角形块； ３．识别图形的形状和大小。

［范例解析］

例1 在图5-22中哪个图形占的方格数最多？

分析 图中共有五个图形，可分成两类：

第一类是（1）和（5）图，它们占全是小方格，且都是6个小方格；

第二类是图中（2）、（3）、（4），我们可将每个图形分解开来看。如（2）图，我们可分解成下面三块（如图5-23）：左右两块一样，都是四小方格，阴影占一半，即2小方格，中间一块是三小方格，阴影占2小方格，故阴影一共占6小方格，即原图（2）占6小方格。用同样的方法，可数出（3）和（4）做占小方格数。 解 图5-23中五个图形所占方格数都是一样多。

例2 图5-24中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？

分析 回答这个问题，主要的方法是将图形划分，看它能划分成多少个阴影三角形。 解 如图5-25所示。

例3 图5-26中每个图形都由5个小正方形组成，把这五个图形拼成一个大正方形，并标

出每个图形的位置。

分析 已知的五个图形，每个由五个小正方形组成，它们一共有：

5×5 =25个小正方形。

我们要是把每个图形都剪成5个小正方形，这25个小正方形可拼成如图5-27所示的一个大正方形，并且它的每边都占五个小正方形。我们了解这一点，就可拼出一个大正方形来。

解 图5-28是它的拼法。

例4 在图5-29这三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？

分析 要看出这三个图形中的阴影部分的面积是否相等，这是比较困难的。由于这三个图形都是在相同的正方形中，故可将其分别划分成一样多的小正方形，就可看出它们的结果。

解 首先进行如图5-30的划分，这三个图形都可分成16个小正方形，我们看出，各图的阴影部分都是一个大正方形面积减去四个小正方形面积，所以它们的面积相等。

［思路技巧］

解决这类问题，关键是将正方形正确的划分成小正方形块或直角三角形；将规则图形划分成正方形块或长方形块与三角形块。 ［习题精选］

１．在图5-31中哪些是长方形？

２．比较图5-32中每个图形的周长，哪一个图形的周长小些？

３．学校运动场上有5个排球，如图5-33所示，请你画一个正方形，把这

5个排球分开。

４．将图5-34的五个图形拼成一个大正方形。

５．图5-35的三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？

６．在下面的点子方格图中，画出三个占6个小方格的三角形（形状要不同）。

７．图5-36中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？

怎样剪拼图形

［知识要点］

剪拼图形，可培养读者动脑、动手的能力，以及识别图形和思维想象能力，这是一种有趣的游戏。这里只介绍较简单的一刀剪图和剪拼图形的一些方法与技巧。

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