(新课标)高中数学 3.2.2一元二次不等式的解法的应用(一)教学设计
更新时间:2023-04-10 14:00:01 阅读量: 实用文档 文档下载
- 新课标高中数学有几本书推荐度:
- 相关推荐
3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一)
从容说课 本节课由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法,通过具体例题的分析和求解,在这些例题中设置思考项,让学生探究,层层铺设,在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上,再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)这节课通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题,作为对一元二次不等式的概念、解法以及解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.本节课通过复习引入课题,通过例题的讲解和学生的练习,不断地发现、深入、探究,步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式的概念、解法和解法与二次函数的关系以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系知识的巩固和延伸,更有利于学生的自主学习,充分体现了新课标的理念
整个教学过程,更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质,继续一元二次不等式解法的步骤和过程,及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发学生的学习兴趣
教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型
2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想
3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种
(1))
()(x g x f >0?f(x)·g(x)> (2) )()(x g x f <0?f(x)·g(x)<
(3)
)
()(x g x f ≥0?f(x)·g(x)≥0且 (4)
)()(x g x f ≤0?f(x)·g(x)≤0且
解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)——标根——画线——选解
教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错
教具准备 多媒体及课件
三维目标 一、知识与技能
1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系;
2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组),正确地求出分式不等式的解集;
3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式;
4.会利用一元二次不等式,对给定的与一元二次不等式有关的问题,尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题
二、过程与方法
1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学;
2.发挥学生的主体作用,作好探究性教学;
3.理论联系实际,激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力;
2.培养学生分析问题和解决问题的能力;
3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想
教学过程
导入新课
师 上节课我们已经知道,一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的解和二次函数的图象的关系.如果一个一元二次方程a x 2+b x+c =0有两个根x 1<x 2,则x 1、x 2就把实数(x 轴)分成了三部分,要解a x 2+b x+c >0,就要找这三部分中使a x 2+b x+c 大于0的部分;同样,解a x 2+b x+c <0,就是要找这三部分中使a x 2+b x+c 小于0的部分.解一元二次不等式的程序是什么?
生 (1)将二次项系数化为“+”:y=a x 2+b x+c >0(或<0)(a >
(2)计算判别式Δ,分析不等式的解的情况:
①Δ>0时,求根x 1<x 2,若y >0,则x <x 1或x >x 2
若y <0,则x 1<x <x 2
②Δ=0时,求根x 1=x 2=x 0,若y >0,则x≠x 0的一切实数;
若y <0,则x∈?
若y=0,则x=x 0;
③Δ<0时,方程无解,若y >0,则
若y≤0,则x∈?
(3)写出解集
师 利用这种思想,我们来研究一元二次不等式的应用
【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往
前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系:
21801201x x s +=
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5 m ,那么这辆汽车刹车前的车速至少
为多少?(精确到0.01 km/h )
生 由题设条件应列式为
5.3918012012>x x +,移项、整理、化简得不等式x 2+9x-7 110>
推进新课
师 因此这个问题实际就是解不等式x 2+9x-7 110>0的问题.因为Δ>0,方程
2+9x-7 110=0有两个实数根,即x 1≈-88.94,x 2≈79.94.然后,画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图
象得不等式的解集为{x|x <-88.94或x >79.94}.
在这个实际问题中x >0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为
师 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系:y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上,那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车?
生 设在一星期内大约应该生产x 辆摩托车.根据题意,能得到-2x 2+220x >6 000.移项、整理得x 2-110x+3 000<
[教师精讲]
因为Δ=100>0,所以方程x 2-110x+3 000=0有两个实数根x 1=50,x 2=60,然后,画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50<x <60}.因为只能取整数值,所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时,这家工厂能够获得6 000元以上的收益
[知识拓展]
【例3】 解不等式(x-1)(x+4)<
思路一:利用前节的方法求解
思路二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,
∴原不等式的解集是下面两个不等式组???+-04,01<>x x 与?
??+-0401><x x 的解集的并集,即?
????????+-0401<>x x x {?=??????+-0401><x x x U ∪{x|-4<x <1}={x|-4<x <1}.书写时可按下列格式:
解:∵(x -1)(x+4)<0????+-0401<>x x 或?
??+-0401><x x ?x∈?或-4<x <1?-4<x <1, ∴原不等式的解集是{x|-4<x <
思路三:由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集
解:①求根:令(x-1)(x+4)=0,解得x (从小到大排列)分别为-4,1,这两根将x 轴分为三部分:(-∞,-4),(-4,1),(1,+∞)
②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号:
③由上表可知,原不等式的解集是{x|-4<x<
点评:此法叫区间法,解题步骤是:
①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-x n)>0(<0)的形式(各项x的符号化“+”),令(x-x
1)(x-x2)…(x-x n)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,两个分界点把数轴分成三部分
②按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的
因式开始依次自上而下排列);
③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;
④看下面积的符号写出不等式的解集(你会发现符号的规律吗)
练习1:解不等式:(1)x 2-5x-6>0;(2)(x-1)(x+2)(x-3)>0;(3)x(x-3)(2-x)(x+1)>
答案:(1){x|x<2或x>3};(2){x|-2<x<1或x>3};(3){x|-1<x<0或2<x<
教师书写示范:如第(2)题:解不等式(x-1)(x+2)(x-3)>
解:①检查各因式中x的符号均正;
②求得相应方程的根为-2,1,3;
③列表如下:
④由上表可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3
思路四:上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y<0或y>0的x的部分数值化列成表了,我们试想若能画出图象(此时我们只注意y值的正负不注意其他方面),那么它相对于x轴的位置应是什么呢?可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示,由图即可写出不等式的解集
由此看出,如果不像上面那样列表,就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗?
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)的形式,并将各因式x的系数化“+”;
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间
这种方法叫数轴标根法
练习2:用数轴标根法解上述练习1中不等式(1)~(3)
教师书写示范:如第(2)题:解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)>
解:①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)<0;
②求得相应方程的根为-1,0,2,3;
③在数轴上表示各根并穿线(自右上方开始),如右图:
④原不等式的解集为{x|-1<x<0或2<x<
[合作探究]
师【例4】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<
解:①检查各因式中x的符号均正;
②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根);
③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图:
④原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<
说明:∵3是三重根,∴在C处穿三次,2是二重根
∴在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n,n为奇数
时,曲线在x 1点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x 1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿
【练习3】解不等式:(x-3)(x+1)(x 2
解:①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0;
②求得相应方程的根为-2(二重),-1,3;
③在数轴上表示各根并穿线,如右图:
④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-
点评:注意不等式若带“=”,点画为实心,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉
[教师精讲]
师 由分式方程的定义不难联想到:分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如073<+-x x ,03
22322≤--+-x x x x 等都是分式不等式
师 分式不等式的解法 由不等式的性质易知:不等式两边同乘以正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以负数,不等号方向要变;分母中有未知数x ,不等式两边同乘以一个含x 的式子,它的正负不知,不等号方向无法确定,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以,但太复杂.因此,解分式不等式,切忌去分母
解法是:移项、通分,右边化为0,左边化为f(x)[]g(x)的形式
【例5】 解不等式:073<+-x x
解法一:化为两个不等式组来解
∵073<+-x x ????+-0703<>x x 0或????+-0
703><x x x∈?或-7<x <3-7<x <3,∴原不等式的解集是{x|-7<x <
解法二:化为二次不等式来解 ∵073<+-x x ?
???≠++-0
70)7)(3(x x x <?-7<x <3,∴原不等式的解集是{x|-7<x < 点评:若本题带“=”,即(x-3)(x+7)≤0,则不等式解集中应注意x≠-7的条件,解集应是{x|-7<
【例6】 解不等式:0322322≤--+-x x x x
解法一:化为不等式组来解(
较繁
解法二:∵0322322≤--+-x x x x ???????≠--≤--+-0
320)32)(23(222x x x x x x ?
??≠+-≤+---,0)1)(3(,0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1<x≤1或
2≤x<
练习:解不等式25
3>+-x
x 答案:{x|-13<x <-
[方法引导] 讲练结合法
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,
使学生能灵活有效地进行等价变形
上述过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用,新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣,勇于探索的精神
课堂小结
1.关于一元二次不等式的实际应用题,要注意其实际意义
2.求解一般的高次不等式的解法 特殊的高次不等式即右边化为0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用区间法解,注意:①左边各因式中x 的系数化为“+”,若有因式为二次的(不能再分解了)二次项系数也化为“+”,再按我们总结的规律做;②注意边界点(数轴上表示时是“。”还是“ .”)
3.分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为0)()(>x g x f (或0)
()(<x g x f 的形式,转化为???≠0)(,0)()(x g x g x f >,(或?
??≠0)(,0)()(x g x g x f <,即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 布置作业
完成第90页习题
组第5、6题, 习题组第4
题
板书设计
备课资料 备用例题
【例1】 已知关于x 的方程2x 2+4mx+3m-1=0有两个负数根,求实数m 的取值范围
探路:列出方程有两个负根的等价条件(不等式组),然后解不等式组
解:已知方程有两个负根的等价条件是 ????
????-=-=+≥-?-=?02130
20)13(24)421212><(m x x m x x m m ????????≥+-31001322>>m m m m ???????
?≥≤31121>或m m m 31<m≤21或
∴m 的取值范围是(31,21]∪ [1,+∞)
点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故Δ≥0,因此列成Δ>0是错误的.又若只列成Δ≥0也是错误的,Δ≥0只能保证方程有实根,而不能保证有两个负根,所以还要联立x 1x 2>0,x 1+x 2<0的条件 2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用
【例2】 已知A ={x|x 2-3x+2≤0},B ={x|x 2-(a +1)x+a ≤0}.
(1)若B ?A ,求a
的取值范围;
(2)若A ∩B 是单元素集合,求a 的取值范围
探路:先解不等式化简集合A 和
B ,再利用数轴表示两个集合的关系,求a 的取值范围
解:解不等式x 2-3x+2≤0得A = [1,2];而B ={x|(x-1)(x-
a
(1)若B ?A ,如图(1),得a 的取值范围是1≤a <
(1)
(2)若A ∩B 是单元素集合,如图(2),A ∩B 只能是集合{1},
(2)
∴a的取值范围是a
点评:集合B的最简表示只能是B={x|(x-1)(x-a)≤0},这是因为不知道a与1的大小,不能表示为最简洁的区间;此外,当a=1时,集合B是单元素集合,即B={1},也不该表示为区间
正在阅读:
(新课标)高中数学 3.2.2一元二次不等式的解法的应用(一)教学设计04-10
Hibernate复习题1含答案12-24
初中历史与社会人教版七年级下册第八单元第4课《过去是怎样被记04-23
宇文泰 苏蹉 杂谈04-15
食品化学学习大纲06-13
合同通用条款范本中英文04-26
2017-2018年湖北省恩施州利川市八年级上学期期末物理试卷及解析03-02
电除尘技术协议910-20
最新小学部编人教版语文二年级上册公开课教学设计秋天的图画601-22
电脑快捷键(500个)06-16
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 不等式
- 解法
- 教学设计
- 一元
- 高中
- 数学
- 应用
- 3.2
- 幼儿园教育评价练习题及答案
- 人教版九年级物理上册同步学习-第16章 第3节 电阻
- 09年技师述职Microsoft Word 文档
- 人教版2022版七年级上学期11月月考数学试题D卷
- 三星一体机清零大全
- 2014年安徽省公务员考试行测真题及答案解析
- 设备接入标准方案整理
- 2014山东临沂市中考数学试题及答案
- 苏教版数学四年级下学期期末试卷12
- (完整版)高农田施工组织设计(最新整理)
- 三七粉灭菌工艺处理参数确认方案
- 信息技术选修4数据管理技术会考复习材料汇编
- ST天马2022年决策水平分析报告
- 2022-2022年玻璃清洁剂行业“一带一路”市场研究及投资建议分析
- 2022年人教版三年级语文下册第二次月考试卷强化练习
- ISO31000-2009风险管理原则与实施指南
- 四川大学考博英语模拟题1(考卷附答案)
- 2022下半年山东省济南市平阴县城投集团招聘试题及解析
- 5.4 分式方程 第2课时 教案
- 发展我国第三方物流配送的对策思考