概率论第3章习题详解
更新时间:2023-04-12 08:55:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222??="
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.
【解】X 和Y 的联合分布律如表:
324C 35= 324C 35= 3224C 35
= 113224C C 12C 35=1324C 2C 35= 213224C C 6C 35= 2324C 3C 35=
3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F (x ,y )=?????≤≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
~
求二维随机变量(X ,Y )在长方形域?
?????
≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463
P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636
F F F F --+
ππππππ
sin sin sin sin sin0sin sin0sin
434636
2
(31).
4
=--+
=-
题3图
说明:也可先求出密度函数,再求概率。
4.设随机变量(X,Y)的分布密度
f(x,y)=
?
?
?>
>
+
-
.
,0
,0
,0
,)4
3(
其他
y
x
A y
x
e
~
求:(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}.
【解】(1)由-(34)
00
(,)d d e d d1
12
x y
A
f x y x y A x y
+∞+∞+∞+∞
+
-∞-∞
===
????
得A=12
(2)由定义,有
(,)(,)d d
y x
F x y f u v u v
-∞-∞
=??
(34)34
00
12e d d(1e)(1e)0,0,
0,
0,
y x u v
x y
u v y x
-+--
??-->>
?
==
??
?
??
??
其他
(3) {01,02}
P X Y
≤<≤<
12
(34)38
00
{01,02}
12e d d(1e)(1e)0.9499.
x y
P X Y
x y
-+--
=<≤<≤
==--≈
??
》
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
?
?
?<
<
<
<
-
-
.
,0
,4
2,2
),
6(
其他
y
x
y
x
k
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X<};
(4)求P{X+Y≤4}.
【解】(1) 由性质有
2402(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==???
? 故 18R = (2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=
??
< 130213(6)d d 88k x y y x =
--=?? (3) 1
1.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=
????如图 1.5
402127d (6)d .832x x y y =--=??
(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=
????如图b 240212d (6)d .83
x x x y y -=--=??
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,)上服从均匀分布,Y 的密度函数为
f Y (y )=???>-.,
0,0,55其他y y e 求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) P {Y ≤X }.
.
题6图
【解】(1) 因X 在(0,)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为
1,00.2,()0.20,.X x f x ?<=???其他
而
55e ,0,()0,
.y Y y f y -?>=??其他 所以
(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立
5515e 25e ,00.20,0.20,0,y y x y --???<<>?==?????
且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x D P Y X f x y x y x y -≤≤=
??
??如图 } 0.20.2-55000-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.
x y x x y x -==-+≈???
7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F (x ,y )=?
??>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e 求(X ,Y )的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+?>>?==????其他. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
f (x ,y )= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤???
其他 求边缘概率密度.
【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞=?
x 204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,
y x y x x x ??--≤≤?=??????其他 !
()(,)d Y f y f x y x +∞
-∞=?
12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ?-?-+≤≤?=??????其他
题8图 题9图
9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 f (x ,y )=???<<-.,
0,0,其他e y x y 求边缘概率密度.
【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞=?
e d e ,0,=0,.0,
y x x y x +∞--??>?=??????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=?
(
0e d e ,0,=0,.0,
y y x x y y --??>?=??????其他
题10图
10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
f (x ,y )=???≤≤.,
0,1,22其他y x y cx (1) 试确定常数c ;
(2) 求边缘概率密度.
【解】(1) (,)d d (,)d d D f x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞????如图 2112-14=
d d 1.21x x cx y y c ==?? 得
214c =. :
(2) ()(,)d X f x f x y y +∞
-∞=?
212422121(1),
11,d 840,0,
.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞
-∞=?
522217d ,01,420,0,
.y y x y x y y -??≤≤??==???????其他 11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为
f (x ,y )=???<<<.,0,10,,
1其他x x y
求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ).
题11图
【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=
? ]
1d 2,01,0,
.x x y x x -?=<=????其他
111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞?=+-<??===-≤????
???其他 所以
|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x x f x ?<==???其他
|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y
?<-??==-<+????
其他 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大
的号码为Y .
(1) 求X 与Y 的联合概率分布;
(2) X 与Y 是否相互独立
【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表
\
3 4 5 {}i P X x = 1 3511C 10
= 3522C 10= ~ 3533C 10= 610 2 0 35
11C 10= 3522C 10= 310 3 0 0 , 2511C 10
= 110 {}i P Y y =
110 310 610
(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===
?=≠=== 故X 与Y 不独立
!
2 5 8
:(1)求关于X 和关于Y 的边缘分布;
(2) X 与Y 是否相互独立
【解】(1)X 和Y 的边缘分布如下表
2 5 8 P {Y=y i } Y
X X Y X Y
"
…
{}
i
P X x
=
(2) 因{2}{0.4}0.20.8
P X P Y
===?0.160.15(2,0.4),
P X Y
=≠===
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
f Y(y)=
??
?
?
?
>
-
.
,0
,0
,
2
12/
其他
y
y
e
(1)求X和Y的联合概率密度;
.
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
【解】(1)因
1,01,
()
0,
X
x
f x
<<
?
==?
?其他;
2
1
e,1,
()2
0,
y
Y
y
f y
-
?
>
?
==?
?
?其他.
故
/2
1
e01,0,
(,),()()2
0,.
y
X Y
x y
f x y X Y f x f y
-
?
<<>
?
=?
??
独立
其他
题14图
(2) 方程220
a Xa Y
++=有实根的条件是
2
(2)40
X Y
?=-≥
故X2≥Y,
从而方程有实根的概率为:
2
2
{}(,)d d
x y
P X Y f x y x y
≥
≥=??
[
2
1/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y
x y π-==-Φ-Φ=??
15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从
同一分布,其概率密度为 f (x )=?????>.,
0,1000,10002其他x x
求Z =X /Y 的概率密度.
【解】如图,Z 的分布函数(){}{
}Z X F z P Z z P z Y
=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =
(2) 当0 x y z F z x y y x x y x y +∞≥==?? ?? 33610231010=d 2z z y y zy +∞ ??-= ???? ) 题15图 (3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b ) 336622 2210101010()d d d d zy Z x y z F z x y y x x y x y +∞≥==?? ?? 336231010101=d 12y y zy z +∞??-=- ???? 即 11,1, 2(),01,2 0,. Z z z z f z z ?-≥?? ?=<???? 其他 故 21 ,1, 21 (),01,20,. Z z z f z z ?≥?? ?=<???? 其他 16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4),则X i ~N (160,202), 从而 123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立 ' 34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-< 4 4 144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063. P X ?-? ??=-<=-Φ ???????=-Φ== 17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P {X =k }=p (k ),k =0,1,2,…, P {Y =r }=q (r ),r =0,1,2,…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为 P {Z =i }=∑=-i k k i q k p 0 )()(,i =0,1,2,…. 【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数, 所以 … {}{}Z i X Y i ==+= {0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-== 于是 {}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}i k P X k P Y i k ===-∑ ()()i k p k q i k ==-∑ 18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参 数为2n ,p 的二项分布. 【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n . 0{}{,}k i P X Y k P X i Y k i =+====-∑ 0202(){} 2k i k i n i k i n k i i k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-????= ? ?-????????= ???-???? ??= ??? ∑∑∑ 方法二:设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…,μn ′均服从两点分布(参数为p ),则 … X =μ1+μ2+…+μn ,Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′, 所以,X +Y 服从参数为(2n ,p )的二项分布. (1) 求P {X =2|Y =2},P {Y =3|X =0}; (2) 求V =max (X ,Y )的分布律; (3) 求U =min (X ,Y )的分布律; ` (4) 求W =X +Y 的分布律. 【解】(1){2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ====== 5 {2,2} 0.051 ,0.252 {,2} i P X Y P X i Y ==== = ===∑ {3,0} {3|0}{0}P Y X P Y X P X ===== = 3 {0,3} 0.011 ;0.033 {0,} j P X Y P X Y j ==== = ===∑ (2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10 {,}{,},i i k k P X i Y k P X k Y i -=== ==+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i = (3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 3 5 1 {,}{,} {,}{,} k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i = =+==≥+>====+ ==∑∑ 0,1,2,3,i = 20.雷达的圆形屏幕半径为R ,设目标出现点(X ,Y )在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P {Y >0|Y >X }; (2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}. < 题20图 【解】因(X ,Y )的联合概率密度为 22221,,(,)π0,.x y R f x y R ?+≤?=???其他 (1){0,}{0|}{} P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y x y x f x y f x y σ σ >>>=???? π2π/405π42π/401d d π1d d πR R r r R r r R θθ=???? 3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤ 00131{0,0}1(,)d 1.44 x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=- =-=?? : 21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少 题21图 【解】区域D 的面积为 22 e e 0111d ln 2.S x x x ===?(X ,Y )的联合密度函数为 211,1e ,0,(,)20,. x y f x y x ?≤≤<≤?=???其他 (X ,Y )关于X 的边缘密度函数为 1/2011d ,1e ,()220, .x X y x f x x ?=≤≤?=????其他 所以1(2).4 X f = 22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和 【解】因21 {}{,}j j i j i P Y y P P X x Y y ======∑, 故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824 P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立,故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====, 从而11111{}{,}.624 P X x P X x Y y =? ==== 即:1111{}/.2464P X x === — 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 即1,3111{},4248 P X x Y y =++== 从而131{,}.12 P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y === 又 3 1 {}1j j P Y y ===∑,故3 111 {}1623P Y y ==--=. 同理23 {}.4 P X x == 从而 23313111 {,}{}{,}.3124 P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 故 - 23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率 为p (0 【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2, m m n m n P Y m X n p p m n n -===-≤≤=. (2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ====== e C (1) ,,0,1,2,.! m m n m n n p p n m n n n λλ--=-≤≤= ! 24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~??? ? ??7.03.021 ,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ). 【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为 (){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤= 0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-= 由于X 和Y 独立,可见 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤- 0.3(1)0.7(2).F u F u =-+- 由此,得U 的概率密度为 ()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+- 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+- < 25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}. 解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有 1, 03,()30, 0,3;x f x x x ?≤≤?=??<>? 1, 03,()30, 0, 3. y f y y y ?≤≤?=??<>? 因为X ,Y 相互独立,所以 1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3. x y f x y x y x y ?≤≤≤≤?=??<<>>? 推得 1{max{,}1}9 P X Y ≤= . 26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为 1 0 1 1 1 a 0 b 0 0.1 c 其中a ,(1) a ,b ,c 的值; (2) Z 的概率分布; (3) P {X =Z }. 解 (1) 由概率分布的性质知, a+b+c +=1 即 a+b+c = . 由()0.2E X =-,可得 0.1a c -+=-. X Y 再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++, 得 0.3a b +=. 解以上关于a ,b ,c 的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为2,1,0,1,2, {2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=, {1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=, {0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=, {1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===, {2}{1,1}0.1P Z P X Y =====, 即Z 的概率分布为 Z 2 1 0 1 2 P (3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=. ;
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