概率论第3章习题详解

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222??="

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.

【解】X 和Y 的联合分布律如表：

324C 35= 324C 35= 3224C 35

= 113224C C 12C 35=1324C 2C 35= 213224C C 6C 35= 2324C 3C 35=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=?????≤≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

~

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?

?????

≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463

P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππ

sin sin sin sin sin0sin sin0sin

434636

2

(31).

4

=--+

=-

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=

?

?

?>

>

+

-

.

,0

,0

,0

,)4

3(

其他

y

x

A y

x

e

~

求：（1）常数A；

（2）随机变量（X，Y）的分布函数；

（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1）由-(34)

00

(,)d d e d d1

12

x y

A

f x y x y A x y

+∞+∞+∞+∞

+

-∞-∞

===

????

得A=12

（2）由定义，有

(,)(,)d d

y x

F x y f u v u v

-∞-∞

=??

(34)34

00

12e d d(1e)(1e)0,0,

0,

0,

y x u v

x y

u v y x

-+--

??-->>

?

==

??

?

??

??

其他

(3) {01,02}

P X Y

≤<≤<

12

(34)38

00

{01,02}

12e d d(1e)(1e)0.9499.

x y

P X Y

x y

-+--

=<≤<≤

==--≈

??

》

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

?

?

?<

<

<

<

-

-

.

,0

,4

2,2

),

6(

其他

y

x

y

x

k

（1）确定常数k；

（2）求P{X＜1，Y＜3}；

（3）求P{X<}；

（4）求P{X+Y≤4}.

【解】（1） 由性质有

2402(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==???

? 故 18R = （2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=

??

< 130213(6)d d 88k x y y x =

--=?? (3) 1

1.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

????如图 1.5

402127d (6)d .832x x y y =--=??

(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

????如图b 240212d (6)d .83

x x x y y -=--=??

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=???>-.,

0,0,55其他y y e 求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1,00.2,()0.20,.X x f x ?<

而

55e ,0,()0,

.y Y y f y -?>=??其他 所以

(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立

5515e 25e ,00.20,0.20,0,y y x y --???<<>?==?????

且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x D P Y X f x y x y x y -≤≤=

??

??如图 } 0.20.2-55000-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.

x y x x y x -==-+≈???

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=?

??>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e 求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y -+?>>?==????其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤???

其他 求边缘概率密度.

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=?

x 204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,

y x y x x x ??--≤≤?=??????其他 !

()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞=?

12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ?-?-+≤≤?=??????其他

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=???<<-.,

0,0,其他e y x y 求边缘概率密度.

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=?

e d e ,0,=0,.0,

y x x y x +∞--??>?=??????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=?

（

0e d e ,0,=0,.0,

y y x x y y --??>?=??????其他

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???≤≤.,

0,1,22其他y x y cx （1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度.

【解】（1） (,)d d (,)d d D f x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞????如图 2112-14=

d d 1.21x x cx y y c ==?? 得

214c =. :

(2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=?

212422121(1),

11,d 840,0,

.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞=?

522217d ,01,420,0,

.y y x y x y y -??≤≤??==???????其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<<.,0,10,,

1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=

? ]

1d 2,01,0,

.x x y x x -?=<

111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞?=+-<

???其他 所以

|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x x f x ?<

|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y

?<

其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大

的号码为Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布；

（2） X 与Y 是否相互独立

【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

\

3 4 5 {}i P X x = 1 3511C 10

= 3522C 10= ~ 3533C 10= 610 2 0 35

11C 10= 3522C 10= 310 3 0 0 , 2511C 10

= 110 {}i P Y y =

110 310 610

(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===

?=≠=== 故X 与Y 不独立

!

2 5 8

:（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；

（2） X 与Y 是否相互独立

【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表

2 5 8 P {Y=y i } Y

X X Y X Y

"

…

{}

i

P X x

=

(2) 因{2}{0.4}0.20.8

P X P Y

===?0.160.15(2,0.4),

P X Y

=≠===

故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

f Y（y）=

??

?

?

?

>

-

.

,0

,0

,

2

12/

其他

y

y

e

（1）求X和Y的联合概率密度；

.

（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

【解】（1）因

1,01,

()

0,

X

x

f x

<<

?

==?

?其他;

2

1

e,1,

()2

0,

y

Y

y

f y

-

?

>

?

==?

?

?其他.

故

/2

1

e01,0,

(,),()()2

0,.

y

X Y

x y

f x y X Y f x f y

-

?

<<>

?

=?

??

独立

其他

题14图

(2) 方程220

a Xa Y

++=有实根的条件是

2

(2)40

X Y

?=-≥

故X2≥Y，

从而方程有实根的概率为：

2

2

{}(,)d d

x y

P X Y f x y x y

≥

≥=??

[

2

1/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y

x y π-==-Φ-Φ=??

15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从

同一分布，其概率密度为 f （x ）=?????>.,

0,1000,10002其他x x

求Z =X /Y 的概率密度.

【解】如图,Z 的分布函数(){}{

}Z X F z P Z z P z Y

=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =

（2） 当0

x

y z F z x y y x x y x y +∞≥==??

?? 33610231010=d 2z z y y zy +∞

??-= ????

） 题15图

(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）

336622

2210101010()d d d d zy Z x

y z F z x y y x x y x y +∞≥==??

?? 336231010101=d 12y y zy z +∞??-=- ????

即 11,1,

2(),01,2

0,.

Z z z z

f z z ?-≥??

?=<

其他

故 21

,1,

21

(),01,20,.

Z z z f z z ?≥??

?=<

其他

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4

只，求其中没有一只寿命小于180的概率.

【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），

从而

123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立 '

34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<

4

4

144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.

P X ?-?

??=-<=-Φ ???????=-Φ==

17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…，

P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….

证明随机变量Z =X +Y 的分布律为

P {Z =i }=∑=-i

k k i q k p 0

)()(，i =0，1，2，….

【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，

所以

…

{}{}Z i X Y i ==+=

{0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==

于是

{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}i

k P X k P Y i k ===-∑

()()i k p k q i k ==-∑

18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参

数为2n ，p 的二项分布.

【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .

0{}{,}k

i P X Y k P X i Y k i =+====-∑

0202(){}

2k i k i n i k i n k i i k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q

i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-????= ? ?-????????= ???-????

??= ???

∑∑∑ 方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则

…

X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,

X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,

所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.

(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；

（2） 求V =max （X ，Y ）的分布律；

（3） 求U =min （X ，Y ）的分布律；

`

（4） 求W =X +Y 的分布律.

【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======

5

{2,2}

0.051

,0.252

{,2}

i P X Y P X i Y ====

=

===∑ {3,0}

{3|0}{0}P Y X P Y X P X =====

=

3

{0,3}

0.011

;0.033

{0,}

j P X Y P X Y j ====

=

===∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=

10

{,}{,},i i

k k P X i Y k P X k Y i -===

==+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =

(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===

3

5

1

{,}{,}

{,}{,}

k i

k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i =

=+==≥+>====+

==∑∑ 0,1,2,3,i =

20.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；

（2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.

<

题20图

【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为

22221,,(,)π0,.x

y R f x y R ?+≤?=???其他 （1）{0,}{0|}{}

P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y x y x f x y f x y σ

σ

>>>=???? π2π/405π42π/401d d π1d d πR

R r r R r r

R θθ=???? 3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤

00131{0,0}1(,)d 1.44

x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-

=-=?? : 21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少

题21图

【解】区域D 的面积为 22

e e 0111d ln 2.S x x x ===?（X ,Y ）的联合密度函数为

211,1e ,0,(,)20,.

x y f x y x ?≤≤<≤?=???其他

（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为

1/2011d ,1e ,()220,

.x X y x f x x ?=≤≤?=????其他 所以1(2).4

X f = 22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和

【解】因21

{}{,}j j i j

i P Y y P P X x Y y ======∑, 故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==

从而11111{,}.6824

P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,

从而11111{}{,}.624

P X x P X x Y y =?

==== 即：1111{}/.2464P X x === —

又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==

即1,3111{},4248

P X x Y y =++== 从而131{,}.12

P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===

又

3

1

{}1j j P Y y ===∑,故3

111

{}1623P Y y ==--=. 同理23

{}.4

P X x == 从而

23313111

{,}{}{,}.3124

P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=

故

-

23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p （0

【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,

m m n m

n P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.

(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======

e C (1)

,,0,1,2,.!

m m

n m

n

n

p p n m n n n λλ--=-≤≤=

！

24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~???

?

??7.03.021

，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).

【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为

(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=

0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=

由于X 和Y 独立，可见

()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-

0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-

由此，得U 的概率密度为

()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-

0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-

<

25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 1, 03,()30, 0,3;x f x x x ?≤≤?=??<>? 1, 03,()30, 0, 3.

y f y y y ?≤≤?=??<>? 因为X ，Y 相互独立，所以

1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.

x y f x y x y x y ?≤≤≤≤?=??<<>>? 推得 1{max{,}1}9

P X Y ≤=

. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为

1 0 1 1

1 a 0 b 0 0.1 c 其中a ,（1） a ,b ,c 的值；

（2） Z 的概率分布；

（3） P {X =Z }.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c +=1 即 a+b+c = .

由()0.2E X =-，可得

0.1a c -+=-. X

Y

再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++, 得 0.3a b +=.

解以上关于a ，b ，c 的三个方程得

0.2,0.1,0.1a b c ===.

(2) Z 的可能取值为2，1，0，1，2，

{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，

{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，

{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，

{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，

{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，

即Z 的概率分布为

Z

2 1 0 1 2 P

(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.

;

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ah7l.html