数字信号处理习题解答1

第一章

3.判断下面的序列是否周期的(1).x(n)?Acos(3?n??),A是常数78j(1n??)(2).x(n)?e85.试判断系统是否为线性时不变的（5）y(n)=x2(n)(7) y(n)=x(n)sin(?n)6.试判断系统是否为因果稳定系统（4）y(n)=x(n-n) 0x(n)(5)y(n)?e第二章

1.求下列序列的傅里叶变换（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=?x(2n)e-j?nn=-??令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-?，m为偶数??x(m)e-j?m/2mm=-???[x(m)?(?1)-j?m/2m=-??x(m)]e-j?m/2?[?x(m)e?12[X(ej1?2?m=-?j(1???)2?e?)]?jmx(m)e-j?m/2]

)?X(e14.求出下列序列的z变换及收敛域 (1) 2-nu(n)X(z)???n??????2z?n?nu(n)z?n

n????2???n1?1,|(2z)|?1?11?(2z)z?,|z|?121z?2-3z-117.已知X(z)=,分别求：-1-22-5z+2z（1）收敛域0.5< | z | < 2对应的原序列x(n)(2) 收敛域 | z | > 2对应的原序列x(n) 解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收敛域0.5< | z | < 2时：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收敛域 | z | > 2时：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知线性因果网络用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求网络的系统函数及单位脉冲响应h(n)(2)写出网络频率响应函数H(ej?)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z当n?1时，有极点z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=2?0.9n因为系统是因果系统，所以有h(n)=0,n<0当n=0时，有极点z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1?h(n)=2?0.9nu(n-1)+?(n)ej?+0.9(2)H(e)=j?e-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j?=?h(m)x(n-m)m=0?0n-m）=?h(m)ej?（?m=0?

=?h(m)ej?0ne-j?0mm=0=ej?0nH(ej?0)=ej?0nej?0+0.9ej?0-0.9

第三章

6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT

(1)x(n)??(n) (2)x(n)??(n?n0)0?n0?N?1 (3)x(n)?an(5)x(6)

(4)x(n)?ej?0nRN?n?

?n??cos??0n??RN?n?

x?n??sin??0n??RN?n? (7)x?n??n?RN?n?

?1?00?k?N?1

其他0?k?N?1

其他解：(1)X(k)???kn0??j2N?e (2)X(k)????0?kn0?N?1?j2N1?aN???e2??jk (3)X(k)??n?0N1?ae?0?0?k?N?1其他2?knNj(?0?2?k)nN

(4)X(k)??x(n)Wn?0N?1nkN??en?0N?1j?0ne?j?e

(5)x(n)?cos(?0n)?RN(n)?1j?0n(e?e?j?0n)RN(n) 21?1?ej?0N1?e?j?0N?X(k)???j?0kk?2?1?eWN1?e?j?0WN?

kk??1?e?j?0N1?ej?0WN1?1?ej?0N1?e?j?0WN??? j?0?j?0kk2?1?eWN1?eWN?k1?cos?0N??cos?0?N?1??cos?0?WN?k2k1?2cos?0WN?WN???????????? (6)

1x(n)?sin(?0n)?RN(n)?(ej?0n?e?j?0n)RN(n)

21?1?ej?0N1?e?j?0N?X(k)???j?0kk?2j?1?eWN1?e?j?0WN?j?N?j?kk??1?e?j?0N1?ej?0WN1?1?e01?e0WN? ?? kk2j?1?ej?0WN1?e?j?0WN??sin?0?N?1??sin?0?WNk?sin?0N?k2k1?2co?s0WN?WN????????????1?z?N (7)设x1(n)?RN(n)，则X1(z)?

1?z?1d?1?z?N? x(n)?n?x1(n)，则X(z)??z?1dz?1?z???? ? X(z)??zNz?N?11?z?1?z?21?z?NX(k)?X(z)z?W?kN?1?z?NW?1?W??W???1?W??12kNNkN???kNk2N???Nz?1?z??z?1?z?

?1?z??1?W??N

?N?1?1?N?12kNNkWN?1kNkN 因为WN?1，WN?1?0

N?1n?0X(k)k?0??n?1?2?3???(N?1)?N(N?1) 221.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。 (2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？

10240Hz?10Hz 10241?s?97.66?s （2）抽样点的间隔 ?T?10.24?103整个1024点的时宽 T?97.66?1024ms?100ms

解：（1）频率间隔 ?F?第四章

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。 解：

(1)512点直接DFT计算的时间： 复数乘法：N=512x512x50us=13.1072s

复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s

512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s (2)用FFT计算的时间：

复数乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=复数加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s

用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s (3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间： 假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：

用FFT进行快速卷积对信号处理时间=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 实时处理时，信号采样的最高采样频率：

210.302512=1695.36Hz

信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz 7.某运算流图如图所示，问：

（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？ （2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。 解：

（1） 分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT

x(0) x(2)

-1

x(1)

-1 x(3)

-1

（2） 第五章

6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数Ha?s??X(0) X (1)

W04

WW04

X (2)

W14

-1 04

X (3)

3?s?1??s?3?转变为数字传递函数H(z)，采样周期

T?0.5。

解：Ha(s)?3113(?);ha(s)?(e?t?e?3t)u(t)2s?1s?323h(n)?T(e?nT?e?3nT)u(n),代入T?0.523?(e?n2?e?3n2)u(n)43113(1?e?32z?1)?(1?e?12z?1)H(z)?(?)??12?1?32?141?ez4(1?e?12z?1)(1?e?32z?1)1?ez3(e?12?e?32)z?10.2876z?1????12?32?1?2?241?(e?e)z?ez1?0.829z?1?0.135z?2(2)双线性变换H（z）?Ha(s)?T1?z?121?z?1?s?3s2?4s?3s?41?z?11?z?131?z?121?z?116()?16?3?1?11?z1?z3(1?2z?1?z?2)3?6z?1?3z?2??16?32z?1?16z?2?16?16z?2?3?6z?1?3z?235?26z?1?3z?20.0875?0.1714z?1?0.0857z?2?1?0.7429z?1?0.0857z?2MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b?[003];a?[143];3(1?z?1)2?16(1?z?1)2?16(1?z?1)(1?z?1)?3(1?z?1)2

[bz1az1]?impinvar(b,a,2)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]?bilinear(b,a,2)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；结果：

bz1=0 0.2876 0

az1=1.0000 -0.8297 0.1353 bz2=0.0857 0.1714 0.0857 az2=1.0000 -0.7429 0.0857

7. 用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数Ha?s??3转变为数字传递函数H(z)，采样周期2s?s?1T?2。

解：（1）脉冲响应不变法Ha(s)??111??s2?s?1(s?12)2?34(s?12)2?(32)2A1s?12?j(32)1s?12?j(32)*s??12?j(32)?A2s?12?j(32)??1j3?1j3T?(12?j(32)T?1A1??j3??j3)将T?2代入A2?A1H(z)?1s?12?j(32)j31?e(T?(12?j(32)Ts??12?j(32)1?ez?2?2e?1sin3z?10.8386z?1????1?2?1?1?2?2?3?1?2ecos3z?ez?1?0.1181z?0..135z其中：sin3?sin3?180.?/??0.987cos3?cos3?180.?/???0.1606(2)双线性变换H（z）?Ha(s)?11?z?11?z?1z?1??s?1s2?s?1s?1?z?11?z?11?z?121?z?1()??1?1?11?z1?z(1?2z?1?z?2)1?2z?1?z?2???122?121?2z?z?1?z?1?2z?z3?z20.3333?0.6667z?1?0.3333z?2?1?0.3333z2(1?z?1)2?(1?z?1)2?(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)2

MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b?[001];a?[111];[bz1az1]?impinvar(b,a,0.5)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]?bilinear(b,a,0.5)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；

结果：

bz1=0 0.8386 0

az1=1.0000 0.1181 0.1353 ba2=0.3333 0.6667 0.3333

az2=1.0000 0 0.3333 10.设有一模拟滤波器Ha(s)?

1，采样周期T?2，用双线性变换法将其转换为数字系统函数H(z)。

s2?s?1解

由变化公式

1?z?1 s?c? ?11?z及c?2,T?2,可得 T1?z?1 s?

1?z?1所以

H(z)?Ha(s)1?z?11?z?1

s? =

11?z?121?z?1()?()?1?1?11?z1?z

(1?z?1)2 =

3?z?218.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为3dB，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为18dB。

解：已知?p?0.8rad,?s?0.5rad,?p?3dB,?s?18dB

（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器Ha(s)的边界频率。（令T=2） ?ph?tan?p2?tan?0.80.5?0.006981,?sh?tans?tan?0.004363 222（2）将Ha(s)的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标

?p?1,?p?3dB;?s??ph?sh1.6,?s?18dB

设计程序：

% 调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);

[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);

[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6); [Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);

% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数； 运行结果： N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165] Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为0.25?rad???0.45?rad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为0???0.15?rad和0.55?rad????rad，阻带最小衰减为15dB。 解：(1)确定数字带通滤波器性能

，?1?0.25?rad，?s2?0.55?rad，?s1?0.15?rad ?u?0.45?rad通带内最大衰减?p?3dB，阻带内最小衰减?s?15dB (2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s ?u??2tanu?tan0.22?5?0.854r1ad/s T2 ?1??2tan1?tan0.12?5?0.414r2ad/s T2 ?s2??2tans2?tan0.27?5?1.170r8ad/s T2 ?s1??2tans1?tan0.075??0.2401rad/s T2?u?1?0.5948rad/s，

通带心频率?0?带宽B??u??1?0.4399将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率： ?u??u???1.941，6?1?1?0.9416，?s2?s2?2.6615， BBB?s1?0.5458，?0??u?1?1.3521 B ?s1?(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能

?s22??02 归一化阻带截频率为?s??1.9746

?s2 归一化通带截频率为?p?1,?p?3dB,?s?18dB (4) 设计模拟归一化低通G(p)

?s10p?1100.3?1 ksp?，???1.9746 ??0.1266sp0.1?s1.8?p10?110?1 N?? 取N=3. 查表得，G(p)?0.1?lgksplg?sp??lg0.1266?3.04

lg1.97461p3?2p2?2p?1

(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)

Ha?s??G(p)p?s2??02?

sBB3s3?s22??0?322?2s2??0sB?2s2??0s2B2?s3B33??2??

?0.08s55432s6?0.879s8?1.448s4?0.707s6?0.512s4?0.110s1?0.0443(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)

H(z)?Ha?s?s?2?1?z?1T1?z?1?[0.0181?1.7764?10?15z?1?0.0543z?2?4.4409z?3?0.0543z?4?2.7756?10?15z?5?0.0181z?6]?[1?2.272z?1?3.515z?2?3.2685z?3?2.3129z?4?0.9628z?5?0.278z?6]?1 第七章

7.画出下面系统函数的直接型结构图

2.5?2z?1?0.6z?2 H(z)?

1?0.5z?1?0.6z?2?0.5z?3解：

8.用级联方式画出下面系统的结构图

2(z?1)(z2?1.414z?1) H(z)?

(z?0.3)(z2?0.9z?0.81)21?z?11?1.414z?1?z?2解：H?z??

1?0.3z?11?0.9z?1?0.81z?2????????

6.已知FIR的系统函数为

H(z)?1(1?0.9z?1?2.1z?2?0.3z?3?2.2z?4?0.3z?5?2.1z?6?0.9z?7?z?8) 15 画出该系统的直接型结构。 解：

9.已知FIR系统的16个频率采样值为：

H(0)?12，H(1)??3?j3，H(2)?1?j ，H(3)?H(4)?......?H(13)?0，H(2)?1?j,H(1)??3?j3 ，

试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。

1?z?N解：H?z??NH?k?,??k?1k?01?WNzN?1N?16

取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得

1?r16z?16H?z??16?H?k?1?16?1?0.4401z??k?116k?01?rW16z15?H?0????1?0.95z??1?H?1????1?0.95W?1z?116?

????H?15?H?2?H?14???? ???15?1??2?1?14?1???1?0.95W16z??1?0.95W16z1?0.95W16z??11?0.4401z?16 ?16??????12?6?6.5254z?12?2.6870z?1??其结构图如????1?1?2?1?2???1?1.3435z?0.9025z???1?1.7554z?0.9025z?1?0.95z下图：

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