勾股定理分类汇编

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2018中考全国试卷分类汇编--勾股定理

1、<2018?昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点<不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．e4pTVRfJ3Pb5E2RGbCAP 其中正确的结论有< ）

A 5个 B4个 C3个 D2个．．．．考相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定点：理；正方形的性质分依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断析： △APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．解解：∵四边形ABCD是正方形，答： ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵在△APE和△AME中，， ∴△APE≌△AME，故①正确； ∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP． ∵正方形ABCD中AC⊥BD， 1 / 42

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又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF=OE， ∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC， ∴PM+PN=AC，故②正确； ∵四边形PEOF是矩形， ∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2， ∴PE2+PF2=PO2，故③正确． ∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误； ∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形． ∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形， ∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．故选B．点本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认评：识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键． 2、<2018达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE

最小的值是<

）

e4pTVRfJ3Pp1EanqFDPw A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B

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解读：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，

所以，DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，此时OD＝，所以最小值DE＝3e4pTVRfJ3PDXDiTa9E3d 3、<2018?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=△EFC的周长为< ）e4pTVRfJ3PRTCrpUDGiT ，则

A 11 B10 C9 D8 ．．．．考相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．点：分判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长析：度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC答：于点E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2， 3 / 42

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∴△CEF的周长为8．故选D．点本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，评：注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大． 4、<2018?资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是< ）e4pTVRfJ3P5PCzVD7HxA A 48 B60 C76 D80 ．．．．考勾股定理；正方形的性质．点：分由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长析： AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．解解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，答： ∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100， ∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76．故选C．点本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE评：为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解． 5、<2018?泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是< ）e4pTVRfJ3PjLBHrnAILg 4 / 42

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A 24 B16 C4 D2 ．．．．考菱形的性质；勾股定理．点：分由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得析： AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．解解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，答： ∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长是：4AB=4．故选C．点此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握评：数形结合思想的应用． 6、<2018泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为< ）e4pTVRfJ3PxHAQX74J0X

A．2

B．4

C．4 D．8

考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．

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分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．e4pTVRfJ3PLDAYtRyKfE 解答：解：∵AE为∠ADB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵DC∥AB， ∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴AD=FD，又F为DC的中点， ∴DF=CF， ∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=则AF=2AG=2

，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF

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则AE=2AF=4故选B

．

点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．e4pTVRfJ3PZzz6ZB2Ltk 7、<2018?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为<3，

），点C的坐标为<，

0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为< ）e4pTVRfJ3PdvzfvkwMI1 A BCD2 ．．．．考轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．点：分作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作析： DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．解解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过答： D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小， ∵DP=PA， ∴PA+PC=PD+PC=CD， ∵B<3，）， ∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM， ∴AM=， 7 / 42

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∴AD=2×=3， ∵∠AMB=90°，∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵∠BAO=90°， ∴∠OAM=60°， ∵DN⊥OA， ∴∠NDA=30°， ∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=∵C<，0）， ∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=即PA+PC的最小值是故选B．， =，，点本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾评：股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中． 8、<2018?鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=< ）e4pTVRfJ3Prqyn14ZNXI ．试

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A 6 B8 C10 D12 ．．．．考勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之点：间的距离．分MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB析：的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．解解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点答： N，过点N作NM⊥直线a，连接AM， ∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4， ∴AA′=MN=4， ∴四边形AA′NM是平行四边形， ∴AM+NB=A′N+NB=A′B，过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，在Rt△AEB中，BE==，在Rt△A′EB中，A′B=故选B． =8． 9 / 42

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点本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的评：关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．

9、<2018?绥化）已知：如图在△ABC，△ADE中，

∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：e4pTVRfJ3PEmxvxOtOco ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2

A 1 B2 C3 D4 ．．．．考全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．点：专计算题．题：分①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS析：得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确； ②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确； ③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确； ④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．解解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，答： ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中， 10 / 42

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， ∴△BAD≌△CAE

10、<2018?黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为< ） A 5 B．．考勾股定理．点：专分类讨论．题： C． D5或． 11 / 42

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分本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行析：分析．解解：<1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，答： <2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选D．点题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．评： 11、<2018安顺）如图，有两颗树，一颗高10M，另一颗高4M，两树相距8M．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行< ）e4pTVRfJ3PSixE2yXPq5

A．8M B．10M

C．12M

D．14M

考点：勾股定理的应用．专题：应用题．

分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．e4pTVRfJ3P6ewMyirQFL 解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，

∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC=故选B．

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=10m，

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点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

12、<2018年佛山市）如图，若∠A=60°，

AC=20m，则BC大约是(结果精确到

0.1m>( >e4pTVRfJ3PkavU42VRUs C A A．34.64m B．34.6m 第7题图

C．28.3m D．17.3me4pTVRfJ3Py6v3ALoS89 分析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可

解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m， ∴BC=

=20

≈34.6

点评：此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方e4pTVRfJ3PM2ub6vSTnP 13 / 42

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13、<2018台湾、14）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？< ）e4pTVRfJ3P0YujCfmUCw

A．10 B．11 C．12 D．13

考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

分析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长．e4pTVRfJ3PeUts8ZQVRd 解答：解：∵BE⊥AC， ∴△AEB是直角三角形， ∵D为AB中点，DE=10， ∴AB=20， ∵AE=16， ∴BE=故选C．

点评：本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大． e4pTVRfJ3PsQsAEJkW5T =12，

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14、<10-4图形变换综合与创新·2018东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m

与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m<容器厚度忽略不计）. e4pTVRfJ3PGMsIasNXkA

16. 1.3.解读：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点

，连接

，则

与EF的交点就是所求的点P，过B作

中，

，

，所以

于点M，在

，因为

，所以壁虎捉蚊子的最短

距离为1.3m.e4pTVRfJ3PTIrRGchYzg 16题答案图

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15、<2018?滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 2

．

考勾股定理．点：专计算题．题：分根据勾股定理列式计算即可得解．析：解解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，答： ∴AC===2．故答案为：2．点本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直评：观． 16、<2018山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.e4pTVRfJ3P7EqZcWLZNX 第17题

【答案】

【解读】由勾股定理求得：BD=13， DA=Dx，B

=BC=5，∠D

E=∠DAE=90°，设AE=x，则

E=x，BE=12－

=13－5＝8，e4pTVRfJ3Plzq7IGf02E 16 / 42

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在Rt△EB中，，解得：x＝，即AE的长为

17、<2018?黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=

．e4pTVRfJ3PzvpgeqJ1hk 考等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．点：分根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在析： Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．解解：∵△ABC为等边三角形，答： ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC， ∵BD为中线， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠E+∠CDE=∠ACB， ∴∠E=30°=∠DBC， ∴BD=DE， ∵BD是AC中线，CD=1， ∴AD=DC=1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案为：．点本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三评：角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长． 18、<2018四川宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延

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长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为 20 ．e4pTVRfJ3PNrpoJac3v1

考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．e4pTVRfJ3P1nowfTG4KI 解答：解：∵AG∥BD，BD=FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG，

又∵点D是AC中点， ∴BD=DF=AC，

∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，

在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即<13﹣x）2+62=<2x）2，解得：x=5，

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故四边形BDFG的周长=4GF=20．故答案为：20．

点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．e4pTVRfJ3PfjnFLDa5Zo 19、<2018?荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ．e4pTVRfJ3PtfnNhnE6e5 考解直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理．点：分在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由析： △ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．解解：∵BC=6，sinA=，答： ∴AB=10， ∴AC==8， ∵D是AB的中点， ∴AD=AB=5， ∵△ADE∽△ACB， ∴=，即=，解得：DE=．故答案为：．点本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握评：三角函数的定义及勾股定理的表达式． 19 / 42

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20、<2018?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=

；再

；又过P2作P2P3⊥OP2且

P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2018=

．e4pTVRfJ3PHbmVN777sL 考勾股定理．点：专规律型．题：分首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到析：规律进而求出OP2018的长．解解：由勾股定理得：OP4==，答： ∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OPn=， ∴OP2018=，故答案为：．点本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规评：律． 21、<2018?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 135 度．e4pTVRfJ3PV7l4jRB8Hs

考勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．点： 20 / 42

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分首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，析： AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，进而得出答案．解解：连接EE′，答： ∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1， ∴EE′=2，∠BE′E=45°， ∵E′E2+E′C2=8+1=9， EC2=9， ∴E′E2+E′C2=EC2， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90°， ∴∠BE′C=135°．故答案为：135．点此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C评：是直角三角形是解题关键． 22、<2018?巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足

，则该直角三角形的斜边长为 5 ．

考勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方点：根．分根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得析：该直角三角形的斜边长．解解：∵，答： ∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，解得a=3，b=4， ∵直角三角形的两直角边长为a、b， ∴该直角三角形的斜边长==点=5．故答案是：5．本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方21 / 42

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评：根．任意一个数的绝对值<二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 23、<2018?雅安）在平面直角坐标系中，已知点A<﹣B<

，0），

，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点

C的坐标 <0，2），<0，﹣2），<﹣3，0），<3，0）．e4pTVRfJ3P83lcPA59W9 考勾股定理；坐标与图形性质．点：专分类讨论．题：分需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关析：系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．解解：如图，①当点C位于y轴上时，设C<0，b）．答：则+=6，解得，b=2或b=﹣2，此时C<0，2），或C<0，﹣2）．如图，②当点C位于x轴上时，设C

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24、<2018?眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：e4pTVRfJ3PmZkklkzaaP ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有< ）个．

A 1 B2 C3 D4 ．．．．考相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定点：理．分根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证析：明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．解解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，答： ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，， 23 / 42

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∴△AED≌△AEF

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25、<2018哈尔滨）在△ABC中，AB=

，BC=1，∠ ABC=450，以

AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．e4pTVRfJ3PAVktR43bpw 考点：解直角三角形，钝角三角形的高

分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，分两种情

况，点D与C在AB同侧，D与C在AB异侧，考虑要全面；e4pTVRfJ3PORjBnOwcEd 解答：当点D与C在AB同侧，BD=AB=E,CD=BD=ED=

,由勾股定理CD=

当点D与C在AB异侧，

,作CE⊥BD于

BD=AB=股定理CD=故填

或

,∠BDC=1350，作DE⊥BC于E,BE=ED=2,EC=3，由勾

e4pTVRfJ3P2MiJTy0dTT 26、<2018哈尔滨）如图.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．e4pTVRfJ3PgIiSpiue7A 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质.解直角三角形

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分析：本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理及解直角三角形．注意数形结合思想的应用，此题综合性较强，难度较大，e4pTVRfJ3PuEh0U1Yfmh 解答：由△AOE的面积为5，找此三角形的高，作OH⊥AE于E,得OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位线∵BC=4 ∴OH=2，从而AE=5，连接CE,e4pTVRfJ3PIAg9qLsgBX 由AO=OC, OE⊥AC得EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在直角三角形EBC中，BC=4,AE=5, 勾股定理得EB=3，AB=8，在直角三角形ABC中，勾股定理得AC=,BO=AC=

e4pTVRfJ3PWwghWvVhPE ,作EM⊥BO于M,在直角三角形

,从而

EBM中,EM=BEsin∠ABD=3×=OM=

，BM= BEcos∠ABD=3×

,在直角三角形E0M中，勾股定理得

OE=,sin∠BOE=e4pTVRfJ3Pasfpsfpi4k 27、<2018?呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A<4，0）、B<﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 <0，12）或<0，﹣12）．e4pTVRfJ3PooeyYZTjj1 考圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．点：分如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交26 / 42

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析：点即为所求的点C．注意点C有两个．解解：设线段BA的中点为E，答： ∵点A<4，0）、B<﹣6，0），∴AB=10，E<﹣1，0）． <1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；以点P为圆心，PA<或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， ∵∠BCA为⊙P的圆周角， ∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点C坐标为<0，12）； <2）如答图2所示，在第3象限可以参照<1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为<0，﹣12）．综上所述，点C坐标为<0，12）或<0，﹣12）．故答案为：<0，12）或<0，﹣12）． 27 / 42

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点本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的评：突破口，也是本题的难点所在． 28、<2018哈尔滨）

如图.在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．e4pTVRfJ3PBkeGuInkxI (1>在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上>，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；e4pTVRfJ3PPgdO0sRlMo (2>请直接写出四边形ABCD的周长．考点：轴对称图形；勾股定理；网格作图；

分析：<1）根据轴对称图形的性质，利用轴对称的作图方法来作

图，<2）利用勾股定理求出AB 、BC、CD、AD四条线段的长度，然后求和即可最e4pTVRfJ3P3cdXwckm15 解答：(1>正确画图(2>

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<2018?湘西

州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，

CD=3．e4pTVRfJ3Ph8c52WOngM <1）求DE的长； <2）求△ADB的面积．

考角平分线的性质；勾股定理点：分<1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；析： <2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解解：<1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，答： ∴CD=DE， ∵CD=3， ∴DE=3； <2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10， ∴△ADB的面积为S△ADB=AB?DE=×10×3=15．点本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线评：上的点到角两边的距离相等． 29、<13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，

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折痕EF不经过A点

时，四边形A，CDF为正方形时，四边形BA，CD为等腰梯形；

<4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=

其中正确的是 <把所有正确结论序号都填在横线上）.

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30、<2018鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．e4pTVRfJ3PJ0bm4qMpJ9

考点：三角形中位线定理；勾股定理．

分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．e4pTVRfJ3PXVauA9grYP 解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∴BC=

=5，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，

∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，

∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． e4pTVRfJ3PbR9C6TJscw 31 / 42

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31、<2018?十堰）如图，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=1 ．e4pTVRfJ3PpN9LBDdtrd ，则AB的长是

考平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定点：理．分根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形析： ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．解解：∵四边形ABCD是平行四边形，答： ∴AB∥DC，AB=CD， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE=CD，即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵AB∥CD， ∴∠DCF=∠ABC=60°， ∴∠CEF=30°， ∵EF=， ∴CE=2， ∴AB=1，故答案为1．点本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定评：理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目． 32、<2018凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为<10，0），<0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标

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为．e4pTVRfJ3PDJ8T7nHuGT

考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．

专题：动点型．

分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．

解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：<1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．e4pTVRfJ3PQF81D7bvUA

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2， ∴此时点P坐标为<2，4）；

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==3，

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<2）如答图②所示，OP=OD=5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=∴此时点P坐标为<3，4）；

<3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．

=3，

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为<8，4）．

综上所述，点P的坐标为：<2，4）或<3，4）或<8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．

33、<2018年广州市）如图8，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.e4pTVRfJ3P4B7a9QFw9h 34 / 42

==3，

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分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，即可得出答案

解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，

∴AC⊥BD，DO=BO， ∵AB=5，AO=4， ∴BO=

=3，

∴BD=2BO=2×3=6．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键

34、<2018甘肃兰州26）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．e4pTVRfJ3Pix6iFA8xoX <1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

<2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换<折叠问题）．

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分析：<1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；e4pTVRfJ3Pwt6qbkCyDE <2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．e4pTVRfJ3PKp5zH46zRk 解答：<1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点， ∴DO=DA，

∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°， ∴∠AEO=60°，

又∵△OBC为等边三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60°， ∴BC∥AE，

∵∠BAO=∠COA=90°， ∴CO∥AB，

∴四边形ABCE是平行四边形；

<2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，在Rt△ABO中，

∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8， ∴AO=BO?cos30°=8×

，

在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2， x2+<4

）2=<8﹣x）2，

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解得：x=1， ∴OG=1．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理． e4pTVRfJ3PYl4HdOAA61 35、<2018?遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．e4pTVRfJ3Pch4PJx4BlI <1）求证：CM=CN；

<2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．

考矩形的性质；勾股定理；翻折变换<折叠问题）．点：分<1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩析：形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN； <2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．解<1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，答： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM=∠CMN， ∴∠CMN=∠CNM， ∴CM=CN； <2）解：过点N作NH⊥BC于点H， 37 / 42

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则四边形NHCD是矩形， ∴HC=DN，NH=DC， ∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1， ∴===3， ∴MC=3ND=3HC， ∴MH=2HC，设DN=x，则HC=x，MH=2x， ∴CM=3x=CN，在Rt△CDN中，DC==2∴HN=2x，在Rt△MNH中，MN=∴==2． =2x， x，点此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的评：面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 36、<2018?鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150M，CD=10M，∠A=30°，∠B=45°，

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<2）若每层楼按3M计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．<参考数据：

≈1.73，

≈1.41，

≈2.24）

e4pTVRfJ3PE836L11DO5

考勾股定理的应用．点：专应用题．题：分<1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用析： x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可； <2）根据<1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．解解：<1）设楼高为xM，则CF=DE=xM，答： ∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°， ∴AC=xM，BD=xM， ∴x+x=150﹣10，解得x==70<﹣1）

37、<2018达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.e4pTVRfJ3PS42ehLvE3M 39 / 42

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原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，

∠EAF=45°，连接

EF，则EF=BE+DF，试说明理

由.e4pTVRfJ3P501nNvZFis <1

）

∵AB=CD

思

路

梳

理，