2017年高考数学理科二轮复习测试专题七第1讲坐标系参数方程含解析

专题七 选修4系列 第1讲 坐标系与参数方程

1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数

1

x＝1＋t，

2

?方程为?3

?y＝2t

??x＝cos θ，

(t为参数)，椭圆C的参数方程为?(θ

??y＝2sin θ

为参数)，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长度．

y2

解：椭圆C的普通方程为x＋＝1，

4

2

1x＝1＋t，22y

将直线l的参数方程代入x2＋＝1，

43

y＝t

2

???

?1?2得?1＋2t?＋??

?3?

?t??2?

2

4

＝1，即7t2＋16t＝0， 16， 7

解之得t1＝0，t2＝－

16

∴线段AB的长|AB|＝|t1－t2|＝.

7

?π?

2．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋4?＝1，

???π?

圆C的圆心的极坐标是C?1，4?，圆的半径为1.

??

(1)求圆C的极坐标方程； (2)求直线l被圆C所截得的弦长．

解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一ππ

个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，

44

?π??π?

OA＝ODcos?4－θ?或OA＝ODcos?θ－4?，

?

?

?

?

?π?

∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos?θ－4?.

?

?

?π?2??(2)由ρsinθ＋4＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，

2??

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

?22??又圆心C的直角坐标为，?满足直线l的方程，

2??2

∴直线l过圆C的圆心，

故直线被圆所截得的弦长为直径2.

3

t，2

3．(2016·长沙雅礼中学调研)已知直线l：(t为参

1

y＝3＋t2

???

x＝5＋

数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(导学号 55460152)

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

3t，2

(2)将(t为参数)代入②式，

1

y＝3＋t

2

???

x＝5＋

得t2＋53＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

4．(2016·湖北七市联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参

??x＝sin α＋cos α，数方程为?(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的

??y＝1＋sin 2α?π?

?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋4?＝2，???3π?

?曲线C2的极坐标方程为ρ＝22acosθ－4?(a>0)．(导学号 55460153) ??

(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l与C2相切，求a的值．

解：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－2，2]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，

?y＝x2，?x＝1，?x＝－2，

联立?解得?或?(舍去)，

?x＋y＝2，?y＝1?y＝4

故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为

?π?

?2，?.

4??

(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2

＋(y－a)2＝2a2(a>0)．

|－a＋a－2|

由直线l与C2相切，得＝2a，故a＝1.

2

5．(2016·佛山质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：

??x＝6cos φ，?(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，??y＝2sin φ

建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

(导学号 55460154)

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P，若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．

解：(1)曲线C1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝3，

?π?3

∴ρsin?θ＋6?＝.

2??

x2y2

曲线C2化为＋＝1.(*)

62

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式，

ρ22ρ22

得cosθ＋sinθ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6， 626∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝. 2

1＋2sinθ

2

?31?

(2)∵M(3，0)，N(0，1)，所以P?，?，

2??2

π

∴OP的极坐标方程为θ＝，

6

?π??π?π3

把θ＝代入ρsin?θ＋6?＝得ρ1＝1，P?1，6?.

62????

?π?π62

把θ＝代入ρ＝得ρ2＝2，Q?2，6?. 26??1＋2sinθ

∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.

6．(2016·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．

(导学号 55460155)

(1)求曲线C的直角坐标方程；

??x＝3t＋3，(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：?(t为参

??y＝－3t＋2

数，t∈R)的距离最短，并求出点D的直角坐标．

解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. ∵ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.

?x＝3t＋3，

(2)∵直线l的参数方程为?(t为参数，t∈R)，

?y＝－3t＋2

t得直线l的普通方程为y＝－3x＋5.

∵曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－3x＋5的距离最短，

曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行， 即直线CD与l的斜率的乘积等于－1， y0－1即×(－3)＝－1.①

x0

2

∵x20＋(y0－1)＝1，②

33由①②解得x0＝－或x0＝，

22

?31??33?

∴点D的直角坐标为?－，?或?，?.

22??22??

由于点D到直线y＝－3x＋5的距离最短，

?33?

∴点D的直角坐标为?，?.

2??2

2

∵x20＋(y0－1)＝1，②

33由①②解得x0＝－或x0＝，

22

?31??33?

∴点D的直角坐标为?－，?或?，?.

22??22??

由于点D到直线y＝－3x＋5的距离最短，

?33?

∴点D的直角坐标为?，?.

2??2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/agzw.html