福建省八县一中2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

2015-2016学年第一学期八县（市）一中期末联考

高二数学(文科)试题

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )

A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0 C．对任意的x∈R, 2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0 2．2x－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）

A．－

2

1＜x＜3 2B．－

1＜x＜0 2C．－3＜x＜

1 2D．－1＜x＜6

3．抛物线的准线方程是y??1，则抛物线的标准方程是（ ）

A．x=4y B． x=-4y C．y=4x D．y=-4x 4．曲线y＝x＋1在点(－1,0)处的切线方程为( )

A．3x＋y＋3＝0 C．3x－y＝0

B．3x－y＋3＝0 D．3x－y－3＝0

3

2222x2y2??1为椭圆，则mn?0”则原命题、逆命题、否命题、逆否5．已知命题：“若曲线

mn命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

x2y2??1的形状更圆，则C1的离心率的取值范围是（ ） 6．已知椭圆C1比椭圆C2:1216A．0?e?1133?e?1 B．0?e? C．?e?1 D．

22332

7．函数f(x)＝x＋alnx在x＝1处取得极值，则a等于( )

A．2 B．－2 C．4 D．－4

1

8．设p：(3x?ln 3)??6x+的复合命题的真假是( )

212x

，q：函数y＝(3－x)e的单调递增区是(－3,1)，则p与q3

D．“p∨q”真

A．“p∨q”假 B．“p∧q”真 C．“?q”真

x2y23x2y2

9．若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线2－2＝1的渐近线方程为( )

ab2ab1

A．y＝±x

2C．y＝±4x

B．y＝±2x 1

D．y＝±x

4

10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是( )

①f(x)在(3,??)上是增函数； ②x＝1是f(x)的极大值点； ③x＝4是f(x)的极小值点； ④f(x)在(??,-1)上是减函数．

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

x2y2

11．设F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2

4aa的面积是1，则a的值是( )

A．1 B.

5

C．2 2

D.5

x2?y2?1的左右焦点分别为F1、F2，以它的短轴为直径作圆O．若点P是O12．已知椭圆4上的动点，则PF1?PF2的值是 ( )

A． 8

B．6 C．4 D．与点P的位置有关

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

22x2y2??1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，13．椭圆那么点P到另一个焦点的距离169等于 .

2

14．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面3m，水面宽26m，当水面上升1m后，水面宽_______m.

15．函数y?ax?cosx为R上的减函数的a的范围为 ． 16．以下四个命题：

①若函数y?ex?mx (x∈R)有大于零的极值点，则实数m>1；

②若抛物线x2?4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为2； ③方程2x－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④已知函数f(x)?x3?ax2?bx?a2?7a在x?1处取得极大值10，则其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)．

三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2

a2的值为?2或?. b3x2y2??1有相同的焦点，求17. (本题满分10分)已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆

259此双曲线方程及其渐近线方程．

18．(本题满分12分)已知m?0，p:?x?2??x?6??0,q:2?m?x?2?m ． （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m?5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

19. (本题满分12分)过抛物线x＝2y的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线

2

PQ恒过一个定点．

20. (本题满分12分)某公司决定采用技术改造和投放广告两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x(百万元) 技术改造费，增加132

的销售额y1满足y1＝－x＋2x＋5x(百万元)；每投入x(百万元) 广告费用，增加的销售额

3

y2满足y2＝－2x2＋14x(百万元)．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于技术改造投入和

广告投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

3

21．(本题满分12分) 设函数f(x)?2ax?处取得极值. (1)求a、b的值；

b1?1nx a,b?R，满足f(x)在x?1和x?x2 （2）若存在x0?[,2],使得不等式f(x0)?c?0成立，求实数c的最小值。

（参考数据ln2?0.693）

14x2y26

22. (本题满分12分)已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(22，0)．斜

ab3

率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． （1）求椭圆G的方程； （2）求△PAB的面积．

4

2015-2016学年第一学期八县（市）一中期末联考

高二数学(文科)答案

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） DDABA ABDAC AA

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.5 14． 4 15. a??1 16．①②③

三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

x2y2??1的焦点坐标为（－4，0）和（4，0）17. 解：∵ 椭圆，????????2分 259x2y2则可设双曲线方程为2?2?1（a＞0，b＞0），

ab∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即∴ b?c?a＝12． ???6分；

222c?2，∴ a＝2．???????????4分 ax2y2??1． ????8分 故所求双曲线方程为

412渐近线方程为：y??3x????10分 18．（本小题满分12分）

解：（I）p:?2?x?6?p是q的充分条件???2,6?是?2?m,2?m?的子集?????2分

?m?0???2?m??2?m?4?m的取值范围是?4,???????????6分 ?2?m?6?（Ⅱ）由题意可知p,q一真一假，????????8分 当m?5时，q:?3?x?7，

??2?x?6?x?? p真q假时，由?x??3或x?7? 5

?x??2或x?6??3?x??2或6?x?7 p假q真时，由???3?x?7所以实数x的取值范围是??3,?2???6,7?????????12分 19.（本小题满分12分）

解：由已知直线OP、OQ斜率存在且不为0..........1分?OP?OQ1可设直线OP、OQ为y?kx和y??x...............2分k?y?kx消y得x2?2kx?0,?2?x?2y解得x?0(舍去）或x?2k?y?2k2即P点坐标为?2k,2k2?......................................6分22同理可得：Q点坐标为(-,2).......................8分kkk2?1?直线PQ方程为:y?x?2....................10分k令x?0,则y恒等于2?直线PQ必过定点（0,2）......................12分

*其他解法，酌情给分 20．（本小题满分12分）

解：设3百万元中技术改造投入为x(百万元)，广告费投入为3－x(百万元)，?????1分

2

则广告收入带来的销售额增加值为－2(3－x)＋14(3－x)(百万元)，

132

技术改造投入带来的销售额增加值为－x＋2x＋5x(百万元)，?????3分

3

1322

所以，投入带来的收益F(x)＝－2(3－x)＋14(3－x)－x＋2x＋5x-3.

3

13

整理上式得F(x)＝－x＋3x＋21，?????6分

32

因为F′(x)＝－x＋3，

令F′(x)＝0，解得x＝3或x＝－3(舍去)，

当x∈[0，3)，F′(x)＞0，当x∈(3，3]时，F′(x)＜0，?????10分 所以，x＝3≈1.73时，F(x)取得最大值．?????11分

所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．?????12分

6

b21.（本小题满分12分）解：（1）（1）?f(x)?2ax?x?1nx， ?f'(x)?2a?bx2?1x。????????????????2分 ?f(x)在x?1,x?12处取得极值，

?f'(1)?0,f'(12)?0???????????????????3分

? 即??2a?b?1?0?a??1?2a?4b?2?0解得??3

???b??13 ?所求a、b的值分别为-113,?3???????????????5分

（2）在[14,2]存在xo,使得不等式f(xo)?c?0成立，只需c?[f(x)]min，?6分 由f'(x)??2112x2?(2x?1)(x?1)3x?3x?13x2?x??3x2??3x2， ?当x?[14,12]时，f'(x)?0,故f(x)在[14,12]是单调递减；

当x?[12,1]时，f'(x)?0，故f(x)在[12,1]是单调递增;

当x?[1,2]时，f'(x)?0，故f(x)在[1,2]是单调递减;

?f(12)是f(x)在[14,2]上的极小值.??????????????8分

f(12)?13?1n12?13?1n2 f(2)??76?1n2，

且f(12)?f(2)?32?2ln2?0???10分

?[f(x)]min?f(2)， ?c???f?x???min??76?ln2 ?c的取值范围为[?76?1n2,??),所以c的最小值为?76?1n2.???12分

22.（本小题满分12分）

解 (1)由已知得c＝22，ca＝

6

3. 解得a＝23，又b2＝a2－c2

＝4.

x2G的方程为12

＋y2

所以椭圆4

＝1. ???????????4分

7

(2)设直线l的方程为y＝x＋m.

y＝x＋m??22由?xy＋＝1??124

2

2

，

得4x＋6mx＋3m－12＝0.①????????6分

设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) (x1

x1＋x23m则x0＝＝－，

24

my0＝x0＋m＝；

4

因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB.

2－4

所以PE的斜率k＝＝－1.

3m－3＋

4

解得m＝2. ??????????10分

2

此时方程①为4x＋12x＝0. 解得x1＝－3，x2＝0. 所以y1＝－1，y2＝2.

|－3－2＋2|

所以AB＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝232

， 2

19

所以△PAB的面积S＝AB2d＝.????????????12分

22

m 8

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