2018届高三数学（文理通用）坐标系与参数方程解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学坐标系与参数方程解题方法规律技巧详细总结版

【简介】坐标系与参数方程作为选做题，和不等式以二选一的形式出现，主要考查极坐标方程及应用，直线，圆和椭圆的参数方程的应用，难度一般不大，但是在做题过程有许多细节需要注意，例如审题时注意问的是参数方程还是极坐标方程，在应用上要从极坐标和参数方程中做出适合的选取，应用直线的参数方程解题时要理解参数t的意义，如果理解不准极易出错，总之，对于本章的复习，要对概念要有准确的理解.

【3年高考试题比较】

坐标系与参数方程每年都以解答题的形式，和不等式以二选一的形式出现，在试卷中是最后一道题，但不是压轴题，属于解答题中的容易或比较容易的试题.内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程的关系，求曲线的轨迹、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方程，综合三年的高考题，对于极坐标的考察较多，不仅会极坐标与直角坐标转化，也要掌握极坐标的应用，同时椭圆、圆和直线的参数方程也要应用熟练，尤其是直线的参数方程易错点较多，复习时要引起重视. 【必备基础知识融合】

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???x′＝λ：???y′＝μ

x（λ＞0），y（μ＞0）

的作用下，点P(x，y)对

应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角. 3.极坐标与直角坐标的互化

点M 互化 公式 4.圆的极坐标方程

直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ＝x＋y 222 tan θ＝(x≠0) yx曲线 圆心在极点，半径为r的圆 图形 极坐标方程 ρ＝r(0≤θ＜2π) ρ＝2rcos__θ 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ?－π≤θ≤π? ?2?2??ρ＝2rsin__θ (0≤θ＜π) ?π?圆心为?r，?，半径为r的圆 2??5.直线的极坐标方程 (1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R). (2)直线l过点M(a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos__θ＝a.

?π?(3)直线过M?b，?且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin__θ＝b. 2??

6.曲线的参数方程

??x＝f（t），一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数?并且?y＝g（t）?

对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数. 7.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把

??x＝f（t），

它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么?就是曲线的参数方程.在参数

?y＝g（t）?

方程与普通方程的互化中，必须使用x，y的取值范围保持一致. 8.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹 直线 普通方程 参数方程 (t为参数) y－y0＝tan α(x－x0) 圆 x2＋y2＝r2 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2 (θ为参数) 椭圆 (φ为参数) 提醒 直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离. 【解题方法规律技巧】

典例1：将圆x＋y＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)求曲线C的标准方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

22

典例2：在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离. 解 (1)由C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x－3y－1＝0，表示一条直线. 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ＝2ρcos θ. ∴x＋y＝2x，即(x－1)＋y＝1. 所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x－3y－1＝0上， 所以直线C1过圆C2的圆心.

因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径. 所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.

??x＝acos t，

典例3：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，

?y＝1＋asin t?

2

2

2

22

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解 (1)消去t，得C1的普通方程x＋(y－1)＝a， ∴曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin θ＋1－a＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

??ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，? ?ρ＝4cos θ.?

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若ρ≠0，由方程组得16cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0，由已知tan θ＝2，可得16cosθ－8sin θcos θ＝0，从而1－a＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上. 所以a＝1.

典例4：以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝2

. 1－sin θ

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.

2

222

?π?典例5：在极坐标系中，已知圆C的圆心C?3，?，半径r＝3.

3??

(1)求圆C的极坐标方程；

→→

(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ＝2QP，求动点P的轨迹方程.

解 (1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点. π??在△OCM中，∠COM＝?θ－?，由余弦定理得 3??π??222

|CM|＝|OM|＋|OC|－2|OM|·|OC|cos?θ－?，

3??π??化简得ρ＝6cos?θ－?.

3??(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)， →→→2→

由OQ＝2QP，得OQ＝OP，

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∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，

3代入圆C的方程，得

π?π?2??ρ＝6cos?θ－?，即ρ＝9cos?θ－?. 3?3?3??

?x＝6cos φ，

典例6：已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：?(φ为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为

?y＝2sin φ

极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.

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