苏北四市2011届高三年级第三次调研考试

苏北四市2011届高三年级第三次调研考试

数学Ⅰ

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）。本卷满分160分， 考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置。 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上． ．．

1．复数z?(1?i)i(i为虚数单位)的共轭复数为 ▲ ．

2．在空间直角坐标系O?xyz中，点P(4,?3,7)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为 ▲ ．

?x2?x,x≤0,3．已知函数f(x)??2为奇函数，

ax?bx,x?0? 注 意 事 项 开始 a←1,b←1 N 则a?b? ▲ ．

4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中， 共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面 积等于其他8个小长方形面积和的一组的频数为 ▲ .

5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ▲ ． 6．若cos??1315a≤3 Y b←2b a←a+1 ，则中间

输出b 结束 ，则

cos(2???)?sin(???)sin(?2??)?tan(3???)12的值为 ▲ ． (第5题)

127．数列{an}满足an?an?1?(n?N),a1???,Sn是{an}的前n项和,则S2011＝ ▲ .

988．若m??0则直线(m?2)x?(3?m)y?3?0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于,3?，的概率为 ▲ ．

数学Ⅰ答案第 1 页( 共 14 页)

9．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x?3y?0，则此双曲线的离心率为 ▲ ．

10．已知二次函数f(x)?ax2?x?c(x?R)的值域为[0,??)，则为 ▲ ．

11．已知点P,A,B,C是球O表面上的四个点，且PA,PB,PC两两成60?角，

PA?PB?PC?1cm，则球的表面积为 ▲ cm．

2c?2a?a?2c的最小值

12．如图，过点P(5,4)作直线l与圆O:x2?y2?25交于A,B两点，若PA?2，则直线l的方程为 ▲ ．

y B O A P x A

(第12题)

E

(第13题)

B F

C 13.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA?CB?2，若

????????????????AB?AE?AC?AF?24????????，则EF与BC的夹角等于 ▲ ．

3214.若关于x的方程x?ax?ax?ax?1?0有实数根，则实数a的取值范围为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出．．．．．．．．文字说明、求证过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) 已知函数f(x)?sin2(x??6)?cos(x?2?3)?sinx?cosx，x?R.

(1) 求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值； (2) 求f(x)在[0,?]上的单调增区间.

数学Ⅰ答案第 2 页( 共 14 页)

16. (本小题满分14分)

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB?2BC?4，CD?3，E为AB中点，过E作

EF?CD,垂足为F，如（图一），将此梯形沿EF折成一个直二面角A?EF?C，如

（图二）.

(1)求证：BF∥平面ACD； (2)求多面体ADFCBE的体积. E A

D F

(图一)

17. (本小题满分14分)

A B

E D

C (第16题)

B

C F

(图二)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x?1)2?y2?16与点A(?1,0),P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C． (1) 求曲线C的方程；

（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交

点记为M,N，连接QM,QN,分别交 直线x?t（t为常数，且t?2）于点

E,F，设E,F的纵坐标分别为y1,y2，

y ·P l 求y1?y2的值（用t表示）.

· R · · A O B x (第17题)

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18．(本小题满分16分)

如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD，中间部分

MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y?12(≤x≤)的图象，另外

39x32的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f(t)表示 该地块在直路 l 左下部分的面积． （1）求f(t)的解析式； （2）求面积S?f(t)的最大值．

19．(本小题满分16分)

设函数f(x)?x2?alnx与g(x)?1ax?x的图象分别交直线x?1于点A,B，且曲线

y D M K C N (A) O (第18题)

B x ． y?f(x)在点A处的切线与曲线y?g(x)在点B处的切线平行（斜率相等）（1）求函数f(x),g(x)的表达式；

（2）当a?1时，求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小值；

（3）当a?1时，不等式f(x)≥m?g(x)在x??,?上恒成立，求实数m的取值范围．

?42?

?11?

20. (本小题满分16分)

已知各项均为正数的等比数列?an?的公比为q，且0?q?12.

（1）在数列?an?中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；

(2)若a1?1，且对任意正整数k，ak?(ak?1?ak?2)仍是该数列中的某一项. (i)求公比q；

Sn?b1?b2???bn，Tn?S1?S2???Sn,试用S2011表(ii)若bn??loga(2?1)，

n?1示T2011.

数学Ⅰ答案第 4 页( 共 14 页)

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数学Ⅰ答案及评分标准

一、填空题：

1． 1?i 2．(?4,?3,7) 3．0 4．50 5．16 6． 7．502 8． 9．3312103或10

10．10 11．二、解答题:

3?2 12．y?4或40x?9y?164?0 13.

? 14. ???,????2,??? 33???2?1?cos(2x??15. (1)f(x)? ?1?当2x??41223?)1?cos(2x?2223?8??3)?12?4sin2x………………………………2分 )?1，………………………………4分

(sin2x?cos2x)?sin(2x??2k???2，即x?k??,k?Z时，……………………………………6分

f(x)的最大值为22?1.………………………………………………………………8分 ?4≤2k???2(2)由2k???2≤2x?，即k???8≤x≤k??3?8],[??83?8,k?Z，

又因为0≤x≤?，所以所求f(x)的增区间为[0,16.（1）连接EC，交BF于点O，取AC中点P，

连接PO,PD，可得PO∥AE，且PO?而DF∥AE，且DF?1212,π].……………………14分

A AE，

AE，所以DF∥PO，

D

E P O B

且DF?PO，所以四边形DPOF为平行四边形，

F C 所以FO∥PD，即BF∥PD，又PD?平面ACD，

BF?平面ACD，所以BF∥平面ACD.……………………………………………8分 (2)二面角A?EF?C为直二面角，且AE?EF，所以AE?平面BCFE， 又BC?平面BCFE，所以AE?BC，又BC?BE，BE?AE?E， 所以BC?平面AEB，所以BC是三棱锥C?ABE的高，

同理可证CF是四棱锥C?AEFD的高，……………………………………………10分

数学Ⅰ答案第 5 页( 共 14 页)

所以多面体ADFCBE的体积

V?VC?ABE?VC?AEFD?13?12?2?2?2?13?12(1?2)?2?2?103.………………14分

17. (1)连接RA，由题意得，RA?RP，RP?RB?4，

所以RA?RB?4?AB?2，…………………………………………………………2分

由椭圆定义得，点R的轨迹方程是(2)设M(x0,y0)x24?y23?1.……………………………………4分

，则N(?x0,?y0)，QM,QN的斜率分别为kQM,kQN， ，kNQ?y0x0?2则kQM?y0x0?2，………………………………………………………6分

所以直线QM的方程为y?y0x0?2(x?2)，直线QN的方程y?y0x0?2(x?2)，…8分

令x?t(t?2)，则y1?y0x0?2(t?2),y2?2y0x0?22(t?2)，……………………………10分

又因为(x0,y0)在椭圆

y2020x042?y03?1，所以y0?3?3x0)(t?2)2234x0，

2(3?(t?2)?29x2所以y1?y2?18.（1）因为y?x?429x42x0?42??34(t?2)，其中t为常数.……14分

2，所以y???，

??29t2所以过点P的切线方程为y?令x?0，得y?49t29t(x?t)，即y??29t2x?49t，…………2分

，令y?0，得x?2t.

49t).………………………4分

所以切线与x轴交点E(2t,0)，切线与y轴交点F(0,????①当???1??32t≤1,49t≤1,23,49t49即≤t≤9412时，切线左下方的区域为一直角三角形，

≤t≤12所以f(t)??2t??.…………………………………………………………6分

数学Ⅰ答案第 6 页( 共 14 页)

????②当???1??32t?1,49t≤1,23,4t?29t2 即

12?t≤23时，切线左下方的区域为一直角梯形，

≤t≤14f(t)?29t(?)?1?4t?19t2，……………………………………………………8分

????③当???1??32t≤1,49t?1,23,2即≤t?3149时,切线左下方的区域为一直角梯形,

≤t≤14t?9t92所以f(t)?(?2t)?1?2t?t.

2249214?2t?t,≤t?,?439?441?综上f(t)??……………………………………………………10分 ,≤t≤,992?2?4t?11,?t≤.?29t23?(2)当≤t?314923时, f(t)?2t?时, f(t)?942t ????294(t?49)?249?49，……………………………12分

当

12?t≤4t?19t11442(?2)??，………………………………14分 9t99所以Smax?49．…………………………………………………………………………16分

219．（1）由f(x)?x?alnx，得f?(x)?1a2x?ax2，………………………………………2分

由g(x)?x?x，得g'(x)?2x?a2a12x．又由题意可得f?(1)?g?(1)，

即2?a?2?a2a，故a?2，或a?．………………………………………………4分

12x?x；

所以当a?2时，f(x)?x2?2lnx,g(x)?当a?12时，f(x)?x2?12lnx，g(x)?2x?x．…………………………………6分

数学Ⅰ答案第 7 页( 共 14 页)

（2）当a?1时，h(x)?f(x)?g(x)?x2?2lnx?2x1212xx?12x?x，得

h'(x)?2x????2(x?1)(x?1)xx?x?1)?2x?x?12x ?4(x?(x?1)??x??，………………………………………8分 ??0，

由x?0，得

4(xx?x?x?1)?2xx故当x?(0,1)时，h?(x)?0,h(x)递减， 当x?(1,??)时，h?(x)?0,h(x)递增, 所以函数h(x)的最小值为h(1)?1?2ln1?（3）a?1212?1?32．…………………10分

，f(x)?x2?12lnx,g(x)?2x?x，

111当x?[,)时, f(x)?x2?lnx,

242f'(x)?2x?12x?4x?12x2?0，

111?11?f(x)在?，?上为减函数，f(x)≥f()??ln2?0，………………………12分

242?42?11当x?[,)时，g(x)?2x?42x,g'(x)?2?12x?4x?12x?0，

112?11?，且g(x)≥g()?0．……14分 g(x)在?，?上为增函数， g(x)≤g()?1?422?42??11?要使不等式f(x)≥m?g(x)在x??,?上恒成立，当x?时，m为任意实数；

4?42?1f()2?(2?2)ln(4e). ?14g()21当x?(,]时，m≤4211f(x)g(x)，而??f(x)???g(x)?min所以m≤(2?42)ln(4e).……………………………………………………………16分

数学Ⅰ答案第 8 页( 共 14 页)

20.⑴由条件知：an?a1qn?1，0?q?12，a1?0，

所以数列?an?是递减数列，若有ak，am，an (k?m?n)成等差数列，

则中项不可能是ak（最大），也不可能是an（最小），………………………………2分 若 2am?ak?an?2qm?k?1?qn?k，（*）

由2qm?k≤2q?1, 1?qh?k?1，知(* )式不成立，

故ak，am，an不可能成等差数列. ………………………………………………4分 ⑵(i)方法一： ak?ak?1?ak?2?a1q由?(q?122k?1(1?q?q)?a1q2k?1125???(q?)??，……6分 ?24??)?54?(14,1)知， ak?ak?1?ak?2?ak?ak?1??，

且ak?ak?1?ak?2?ak?2?ak?3?… ，………………………………………………8分 所以ak?ak?1?ak?2?ak?1，即q?2q?1?0 ， 所以q?2?1，………………………………………………………………………10分

2方法二：设ak?ak?1?ak?2?am，则1?q?q2?qm?k，…………………………………6分 由1?q?q2??,1?知m?k?1，即m?k?1， ……………………………………8分

?4??1?以下同方法一. …………………………………………………………………………10分 (ii) bn?1n，………………………………………………………………………………12分

12?1312?13???)?(1?n?231n12方法一：Sn?1?，

?13)???(1?n?(n?1)12n233412?13???1n)

Tn?1?(1? ?n?n?1212???1n

???n?1n)

?n(1?????)?(??数学Ⅰ答案第 9 页( 共 14 页)

?nSn?[(1?12)?(1?12??131 ?nSn?[(n?1)?( ?nSn?[n?(1??nSn?n?Sn

?(n?1)Sn?n，

31)?(1????1n141n)???(1?)]

1n)]

312???)]

所以T2011?2012S2011?2011.…………………………………………………16分

方法二：Sn?1?1?12?13???1n?1n?1?Sn?1n?1

所以 (n?1)Sn?1?(n?1)Sn?1，所以(n?1)Sn?1?nSn?Sn?1， 2S2?S1?S1?1， 3S3?2S2?S2?1， … … (n?1)Sn?1?nSn?Sn?1，

累加得(n?1)Sn?1?S1?Tn?n，

所以Tn?(n?1)Sn?1?1?n?(n?1)Sn?n?(n?1)(Sn?bn)?1?n

?(n?1)(Sn?1n?1)?1?n ?(n?1)Sn?n，

所以T2011?2012S2011?2011. ……………………………………………………16分

数学Ⅰ答案第 10 页( 共 14 页)

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数学Ⅱ（附加题）

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~ 第23题）。本卷满分40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 21．【选做题】在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A．选修4－1：几何证明选讲

如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，

FG切圆O于点G．

C E ． O B D F (第21—A题)

G A （1）求证：△DFE∽△EFA； （2）如果FG?1，求EF的长．

B．选修4—2 矩阵与变换

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸压变换． （1）求直线4x?10y?1在M作用下的方程； （2）求M的特征值与特征向量．

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C．选修4－4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的

??x?22cos?,方程为ρ=8ρsinθ?15，曲线 C2的方程为?（?为参数）．

??y?2sin?2（1）将C1的方程化为直角坐标方程； （2）若C2上的点Q对应的参数为??D．选修4—5：不等式选讲

设函数f(x)?x?1?x?1，若不等式a?b?2a?b≤a?f(x)对任意a,b?R且

a?0恒成立，求实数x的范围．

3?4，P为C1上的动点，求PQ的最小值．

22．（本小题满分10分）

如图， 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3,BC?4，AB?5，AA1?4． (1)设AD??AB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为 (2)若点D是AB的中点，求二面角

D?CB1?B的余弦值． ????????925，求?的值；

B1

C1 A1

23．（本小题满分10分）

C A D (第22题)

B

在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？

（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设?为三个数字中相邻自然数的组数（例

如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时?的值是2），求随机变量?的分布列及其数学期望E?．

数学Ⅰ答案第 12 页( 共 14 页)

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数学Ⅱ（附加题）答案及评分标准

21．【选做题】

A．选修4－1：几何证明选讲

(1)因为EF∥CB，所以?BCE??FED，又?BAD??BCD，所以?BAD??FED，

又?EFD??EFD，所以△DEF∽△EFA．……………………………………6分 （2）由（1）得，

EFFA?FDEF，EF2?FA?FD．

因为FG是切线，所以FG2?FD?FA，所以EF?FG?1．…………………10分

B．选修4—2：矩阵与变换 （1）M???00??．………………………………………………………………………2分 5??10??x??x??设(x?,y?)是所求曲线上的任一点，????????，

?05??y??y??x?x?,?x??x,?所以?所以?代入4x?10y?1得，4x??2y??1， 1??y?5y,y?y,??5??1所以所求曲线的方程为4x?2y?1．……………………………………………4分 （2）矩阵M的特征多项式f(?)???100?(??1)(??5)?0，

??5所以M的特征值为?1?1,?2?5．………………………………………………6分 当?1?1时，由M?1??1?1，得特征向量?1???；

?0?当?2?5时，由M?2??2?2，得特征向量?2???．………………………10分

?1?C．选修4－4：坐标系与参数方程

（1）x2?y2?8y?15?0．…………………………………………………………4分 （2）当??时，得Q(?2,1)，点Q到C1的圆心的距离为13， 4所以PQ的最小值为13?1．………………………………………………10分

3??1??0?D．选修4—5：不等式选讲 由f(x)≥而

a?b?2a?ba≤，对任意的a,b?R，且a?0恒成立，

?3，f(x)≥3，即x?1?x?1≥3，

a?b?2a?baa?b?2a?ba数学Ⅰ答案第 13 页( 共 14 页)

解得x≤?32，或x≥32，所以x的范围为?xx≤?,或x≥?2?33??． …………10分 2?22．(1)以CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标， 因为AC?3,BC?4，AA1?4，所以A(3，0，0)，

B(0,4,0)，C(0，0，0)，C1?(0,0,4)， A1 ?????????????所以AC1?(?3,0,4)，因为AD??AB，

????所以点D(?3??3,4?,0)，所以CD?(?3??3,4?,0)， z C1 B1 因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为

?????????所以 |cos?AC1,CD?|?|9??9|5(3?3?)?16?29252，

925A x ，解得??3C 12D B y ?．……………4分

20)， 44)，因为 D是AB的中点，所以D(，，(2)由（1）得B1(0，，2????????320)，CB1?(0，所以CD?(，，4，4)，平面CBB1C1的法向量 n1?(1,0,0)， 2设平面DB1C的一个法向量n2?(x0,y0,z0)，

则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D?CB1?B的大小,

?????3?n?CD?0,?2?x?2y0?0,由?得?20令x0?4，则y0??3，z0?3， ??????4y?4z?0,?n2?CB1?0,00?n1?n24234所以n2 ?(4,?3,3)， cos?n1，n2??， ??|n1|?|n2|1734所以二面角D?B1C?B的余弦值为23417． …………………………………10分

9这十个自然数中分为三组：23.（1）要想组成的三位数能被3整除，把0,1,2,3，…，0,3,6,9；

1,4,7；2,5,8．

112若每组中各取一个数，含0，共有C1C3C2A2?36种； 3113若每组中各取一个数不含0，共有C1C3C3A3=162种； 3222若从每组中各取三个数，共有3A3+C3A2A2=30种. 3所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种.………………………6分 （2）随机变量?的取值为0,1,2，?的分布列为： ? 0 1 P 7152 35115 715715 所以?的数学期望为E??0?

715?1??2?115?.……………………………10分

数学Ⅰ答案第 14 页( 共 14 页)

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