张量分析1

第一章 张量的概念

§ 1.1 引言

什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。

有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。

在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有

??xx? ??ij????yx???zx?xy?yy?zy?xz???yz? ?zz??这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时，

应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。

把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。可以看出，张量是矢量概念的推广。关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。

由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。

张量这个名词是沃伊特（Voigt）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。张量分析在力学领域中有广泛的应用，是力学工作者的重要数学工具。

§ 1.2 符号与求和约定

一、指标

在张量分析中广泛运用指标。几个变量的集合 x1,x2,...,xn 可表示为

1

xi,i?1,2,3,...,n。几个变量的集合y1,y2,y3,...,yn 可表示为yj,j?1,2,3,...,n。必须指出，y1,y2,...,yn是n个独立变量，而不是变量y的1到n次幂。写在字符右下角的指标，例如 xi中的 i称为下标。写在字符右上角的指标，例如 yj中的j 称为上标。在以后的讨论中将说明使用上标或下标的涵义是不同的。

用作上标和下标的拉丁字母或希腊字母，除非作特别的说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。本书采用下述关于范围的规定来表明三维空间和二维空间的量的区别：所有拉丁字母指标i、j、k、l、m、?的范围是1、2、3；所有希腊字母指标α、β、γ、δ…的范围是1、2。例如坐标 xi，指

2的二维空间的坐标。 标 i?1,2,3的三维空间的坐标，坐标x?是??1，为了区别上标与系数乘幂，如?xj?表示xj的二次方。

2

二、求和约定

若在一项中，同一指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…,n求和。这是一约定，称为求和约定。例如三维空间的平面方程为

?1z1??2z2??3z3?? （1.2-1）

式中?i,?是常数。这方程可写成

??zi?1i3i?? （1.2-2）

应用求和约定，则这个方程可写成如下形式

?izi?? (1.2-3)

遍历指标范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。由于哑指标只是表示求和，因此无论用哪个字母作哑指标都是一样的。例如?izi可以写成?jzj等。相对于哑指标（求和指标）而言，不求和的指标称自由指标。

为了避免混淆，在一项中，同一个指标字母的使用不能超过两次。例如不能

i把 ????ix??写成?ixi?ixi，而应写成?i?jxixj。

?i?1?

n2三、克罗内克（Kronecker）符号?kj

克罗内克符号?kj的定义是

2

?1j?k (1.2-4) ?j?? j?k0?k这样

?1??2??3?11232?12??12??3??3??13??13?02 (1.2-5)

克罗内克符号也可写成?kj或?kj。

下面举例说明克罗内克符号的应用。例如空间直角坐标系中，分量为

dz1,dz2,dz3的线元长度的平方为

ds?(dz)?(dz)?(dz) (1.2-6)

2122232应用克罗内克符号，上式可写成

ds2??ijdzidzj (1.2-7)

应当注意，上式中有二重求和，一个是遍历指标i的范围，另一个是遍历指标j

的范围。

kkjk?x克罗内克符号有一些明显的性质，如?jA?A;j??kj;?ij?kj??ik等。

?x

四、置换符号

置换符号eijk?eijk定义为

2，3的偶置换偶123，231，312）?1当i,j,k是1，?eijk?eijk???1 当i,j,k是1，2，3的奇置换奇213，132，321） （1.2-8）

?0当i,j,k的的任意二个指标的?i,j,k的这些排列分别叫做循环排、逆循环排列和非循环排列。

置换符号也称为里奇（Ricci）符号，它只是一个指标符号，可用来展开三阶行列式。令

?11???12?13?12?22?32?132222?3??1?2?3??12?3?13??13?12?3??1?3?3??12?12?3??13?2?13 1232122?33若以?ij表示行列式中的普遍项，以?ij表示行列式，则上述行列式可写成

???ij?erst?1r?s2?3t (1.2-9a)

rt若将上式中各项的下标作一置换，例如置换为?2?1s?3erst这就相当于把行列式的两

3

列互相交换，因而行列式改变符号，等于??,再置换一次，又改变一次符号，回到??。这种性质可表示成如下的形式：

t (1.2-9b) ?elmn?erst?lr?sm?n将（1.2-9a）与（1.2-9）式结合，则

?e?e??? (1.2-9c)

irstjlmnrstlmn同理可以得到

?ijelmn?erst?lr?sm?n (1.2-9d) t

五、克罗内克符号与置换符号的关系

克罗内克符号与置换符号之间存在一定的关系。今讨论如下： 9个量?ij作为单位矩阵的元素，它们的行列式等于1。

?11?12?22?32?rm?smt?m?132?3?1 ?33 ?21?13?lr若用更普遍的形式表示上面的行列式，则有

?rn?sn t?n A??sl?lt上式中若r,s,t?l,m,n?1,2,3,则A?1。由于这些排列中的任一置换都改变行列式的符号，所以行列式A为

?lr?rm?smt?m?rn?sn?erstelmn t?n A??sl?lt展开上述行列式，得

tttt （1.2-10） erstelmn??lr?sm?m??lr?sn?m??rn?sl?m??rn?sm?lt??rm?sn?lt??rm?sl?n使上式中的一下标和一个上标相等，并利用关系式?ij?kj??ik，可从上式导出下面的关系式，称为e??等，

tttterstermn??rr(?sm?n??sn?m)??rn(?sr?m??sm?rt)??rm(?sn?rt??sr?n)??m?n??n?mstst (1.2-11)

tt (1.2-12) erstersn?3?n??sn?st?2?n 4

ersterst?2?tt?6 (1.2-13)

利用这些结果，可以将行列式的展开公式（1.2-9b）化成另一个很有用的形式。 以elmn乘(1.2-9b)式两边，得

t?elmnelmn?6???lr?sm?nerstelmn (1.2-14)

六、求和约定可以推广到微分公式

xn的函数，则它的微分可写成 设f?x1,x2,...,xn?为n个独立变量x1,x2,...,df??fdxi (1.2-15) i?x在偏微商

?f中，i被认为是下标。 ?xi§ 1.3 曲线坐标

设zk?k?1,2,3?是点p(z)的直角坐标。若三个函数

xk?xk(z1,z2,z3) ( k=1,2,3) (1.3-1)

在区域R中有唯一的逆函数

z?z(x,x,x) ( k=1,2,3) (1.3-2)

kk123则点p有曲线坐标xk

一般来说，从几何关系能写出(1.3-2)式。若zk单值、连续，有连续的一阶偏

?zk导数。且雅可比（jacobi）行列式j?在区域R内不等于0， l?x即

?z11?x?zk?z2j??l?x?x31?z?x1?z1?x22?z?x32?z?x2?z1?x23?z?0(在区域R) （1.3-3） 3?x3?z?x3则（1.3-2）式有惟一的逆函数（1.3-1）式。对应于x1(z1,z2,z3)?常数；

x2(z1,z2,z3)?常数 ；x3(z1,z2,z3)?常数，方程式（1.3-1）分别给出三个曲面，它们相交于P点。这三个曲面称为坐标曲面。任意两个坐标曲面的交线定义一坐

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