不等式第二讲--一元二次不等式

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是方程f(x)?0的根。

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解一元二次不等式的步骤：1、把不等式的二次系数化为正； 2、求不等式对应的方程的根；

3、大于取方程的两根之外，小于取两根之间。 例1、解下列不等式。

⑴x2??2x?1； ⑵?3x2?2x?1?0；

⑶x4?3x2?10?0 ⑷x?x?6

⑸

x2?2x?3?0

例2、⑴解关于x的不等式56x2?ax?a2?0

⑵不等式

(a2?1)x2??a?1?x?1?0的解是全体实数，求a的取值范围。

1例3、⑴已知不等式ax2?bx?2?0的解为?2?x?13，解不等式2x2?bx?a?0的解。

⑵若不等式ax2?bx?c?0的解集为

?x??x???0?，求不等式cx2?bx?a?0的解集；

二、一元二次方程根的分布问题及二次函数与x轴交点分布问题

例4、⑴若方程8x2??m?1?x?m?7?0的两根都大于1，求实数m的取值范围；

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2⑵不等式x?2mx?1?0对一切1?x?3都成立，求实数m的取值范围；

22⑶若二次函数y?x?2?m?2?x?m?1与x轴的两个交点分别在0,1之间和在1的右边，

求实数m的取值范围；

三、恒成立问题

22例5、⑴已知函数y??k?4k?5?x?4?1?k?x?3的图像都在x轴上方，求k的范围。

2x2?2mx?m?124x?6x?3⑵如果不等式，对一切实数x均成立，求实数m的取值范围。

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