【数学】2010年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线

2010年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线

（2010湖南文数）5. 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

x2y2

（2010浙江理数）（8）设F1、F2分别为双曲线2 2 1(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在

ab

双曲线右支上存在点P，满足PF2 FF且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，12，则该双曲线的渐近线方程为

（A）3x 4y 0 （B）3x 5y 0 （C）4x 3y 0 （D）5x 4y 0

解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题

x2y2（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆C:2 2 1(a＞b＞

0)的离心率为，过右焦

ab2

点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点．若AF 3FB，则k （A）1 （B

（C

（D）2 【答案】B

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B

为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，

，由，

得，

∴

即k=，故选B.

222

（2010陕西文数）9.已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为 [C]

（A）

1 2

2

（B）1 （C）2 （D）4

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x 圆（x－3）＋y＝16相切，所以3

2

2

2

p2

，因为抛物线y＝2px（p>0）的准线与2

p

4,p 2 2

2

2

法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0） 所以

（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该

双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A

（B

（C

p

1,p 2 2

（D

x2y2

解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2 2 1(a 0,b 0)，

ab

则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：

bbbb

，直线FB的斜率为： ， ( ) 1， b2 ac acac

c2 a2 ac

0，解得e

c aP为抛物线上一点，PA l，（2010辽宁文数）（7）设抛物线y 8x的焦点为F，准线为l，

A为垂足，如果直线AF

斜率为PF

（A

）（B） 8 （C）

（D） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证 PAF为正三角形，则|PF|

2

4

8

sin30

（2010辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

1

(D) 2

1

2

(A)

(C)

【答案】D

【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

x2y2

【解析】设双曲线方程为2 2 1(a 0,b 0)，则F（c,0）,B(0,b)

ab

直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=

bbbx垂直，所以 1，即b2=ac aca

所以c2-a2=ac,即e2-e

-1=0,所以e

或e （舍去）

（2010辽宁理数）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂

足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=

(A) (B)8

(C) (D) 16

【答案】B

【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。

【解析】抛物线的焦点F（2，0），

直线AF的方程为y

x 2)，所以点A(

、

P，从而|PF|=6+2=8

x2y2（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C：2 2

1（a>b>0）的离心率为，过右焦

ab2

点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若AF 3FB。则k = （A）1

（B

（C （D）2

【解析】B：

A(x1,y1),B(x2,y2)，∵ AF 3FB，∴ y1 3y2，

∵

e

，设

222x 4y 4t 0，

a 2t,c ，b t，∴ 直线AB方程为x sy。代入消去x

，

t2

y1 y2 y1y2 2222

(s 4)y t

0s 4， ∴ ，∴

1t22

s2

2y2 3y2 2

2，k s 4，解得

x2y2

（2010浙江文数）（10）设O为坐标原点，F1,F2是双曲线2 2 1（a＞0，b＞0）的焦

ab

点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，∣OP∣

,则该双曲线的渐近线方程为

（A）x

（B

±y=0 （C）x

=0 （D

±y=0

解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几

何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题

（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

（2010山东文数）（9）已知抛物线y 2px(p 0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A）x 1 (B)x 1 (C)x 2 (D)x 2 答案：B

2

x2y2

（2010四川理数）（9）椭圆2 2 1(a b )的右焦点F，其右准线与x轴的交点为

ab

A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A

）

1 1

1,1 （D） ,1 （B） 0, （C）

2 2

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等

a2b2

c 而|FA|＝cc

|PF|∈[a－c,a＋c]

b2

于是∈[a－c,a＋c]

c

即ac－c2≤b2≤ac＋c2

222

ac c a c∴ 2 22

a c ac c

c 1 a c 1或c 1 a2 a

又e∈(0,1) 故e∈ ,1 答案：D

1

2

x2y2

（2010天津理数）(5)已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程是

,

ab

它的一个焦点在抛物线y2 24x的准线上，则双曲线的方程为

x2y2x2y2

1 （B） 1 （A）

36108927x2y2x2y2

1 （D） 1 （C）

10836279

【答案】B

【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。

b

a x2y222

a 9,b 27，所以双曲线的方程为 1 依题意知 c 6

927 c2 a2 b2

【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。

（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

A.

4321

B. C. D. 5555

x2y2

1的中心和左焦点，点P为椭圆（2010福建文数）11．若点O和点F分别为椭圆43

上的任意一点，则OPFP的最大值为 A．2 【答案】C

B．3 C．6

D．8

x02y02x022

1,解得y0 3(1 )， 【解析】由题意，F（-1，0），设点P(x0,y0)，则有434

因为FP (x0 1,y0)，OP (x0,y0)，所以OP FP x0(x0 1) y02

x02x02

)= x0 3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为=OP FP x0(x0 1) 3(1 44

22

x0 2，因为 2 x0 2，所以当x0 2时，OP FP取得最大值 2 3 6，选C。

4

【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

（2010全国卷1文数）（8）已知F1、F2为双曲线C:x y 1的左、右焦点，点P在C

2

2

PF2=600，则 上，∠F1

|PF1||PF2|

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得

|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2

cos∠F 1PF2=

2|PF1||PF2|

cos60

PF

1

PF2

2

2PF1PF2 F1F2

2

2PF1PF2

12 2PF1PF2 22PF1PF2

2

2

|PF1||PF

2| 4

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

S F1PF2

60011 bcot 1cot PF1PF2sin600 PF1PF22222

2

|PF1||PF2| 4

（2010全国卷1理数）(9)已知F右焦点，点P在C上，1、F2为双曲线C:x y 1的左、∠F1PF2=60，则P到x轴的距离为

22

(A)

(B)2

2

x2y2（2010四川文数）（10）椭圆2 2 1 a＞b＞0 的右焦点为F，其右准线与x轴的

ab

交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围

是

（A）（0，

1

1] （B）（0，] （C）1，1） （D）[，1）

222

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等

a2b2

c 而|FA|＝cc

|PF|∈[a－c,a＋c]

b2

于是∈[a－c,a＋c]

c

即ac－c2≤b2≤ac＋c2

222

ac c a c∴ 2 22

a c ac c

c 1 a

cc1 1或 a2 a

又e∈(0,1) 故e∈ ,1 答案：D

（2010四川文数）(3)抛物线y2 8x的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 解析：由y2＝2px＝8x知p＝4

又交点到准线的距离就是p 答案：C

（2010湖北文数）9.若直线y x

b与曲线y 3有公共点，则b的取值范围是

A.[1

1 C.[-1,1

B.[1

D.[1

1

2

（2010山东理数）(7)由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（A）

2

3

(D)

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

7 12

【答案】A

23

【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 1（0x-x)dx=

111

1- 1=,故选A。 3412

【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

（2010安徽理数）5、双曲线方程为x2 2y2 1，则它的右焦点坐标为 A

、5.C

B

、

C

、

D

、

132

【解析】双曲线的a 1,b ，c

，c

，所以右焦点为 . 222

2

2

【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用

c2 a2 b2求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2 1或b2 2，从而得出错误结论.

（2010湖北理数）9.若直线y=x+b

与曲线y 3有公共点，则b的取值范围是

A. 1,1

B. 1

C. 1

D. 1

9．【答案】C

【解析】曲线方程可化简为(x 2)2 (y 3)2 4(1 y 3)，即表示圆心为（2，3）半径为

2的半圆，依据数形结合，当直线y x b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2

，解得b 1

b 1 b 1 ，当直线过（0，3）时，解得b=3,

故1 b 3,所以C正确.

（2010福建理数）

A． ①④ B． ②③ C．②④ D．③④ 【答案】C

【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。

【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。

x22

（2010福建理数）7．若点O和点F( 2,0)分别是双曲线2 y 1(a>0)的中心和左焦点,

a

点P为双曲线右支上的任意一点,则OP FP的取值范围为 ( ) A

． ) B

．[3 ) C．[-【答案】B

【解析】因为F( 2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 1 4，即a 3，所以双曲线方

2

77

, ) D．[, ) 44

2

x02x22

y 1，设点P(x0,y0)，则

有 y02 1(x0 ，解

得程为33x02

y0 1(x0 3

2

，因为

FP (x0 2,y0)，OP (x0,y0)，所以

x024x02

1 2x0 1，此二次函数对应的抛物OP FP x0(x0 2) y0=x0(x0 2) 33

2

线的对称轴为x0

3

，因

为x0，所以

当x0时，OP FP取得最小

值4

4

3

1 3 OP

FP的取值范围是[3 )，选B。 3

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

（2010福建理数）2．以抛物线y2 4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2-x=0

D．x2+y2-2x=0

【答案】D

【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，选D。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

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