广东省2016年高考数学适应性考试试题 理（全国卷，含解析）

广东省2016年高考数学适应性考试试题 理（全国卷，含解析）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A?{xx?4x?3?0}，B?{x2?1}，则A?B?（ ） A．[?3,?1] B．(??,?3]?[?1,0) C．(??,?3)?(?1,0] D．(??,0) 【答案】B

【解析】A?(??,?3]?[?1,??)，B?(??,0)， ∴A?B?(??,?3]?[?1,0)．

2xa?i7?（ ） 2．若z?(a?2)?ai为纯虚数，其中a?R，则

1?aiA．i B．1 C．?i D．?1 【答案】C

【解析】∵z为纯虚数，∴a?2，

a?i72?i(2?i)(1?2i)?3i∴?????i． 1?ai1?2i(1?2i)(1?2i)33．设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn?n3(an?1)(n?N*)，则an?（ ） 2nn?1nnA．3(3?2) B．3?2 C．3 D．3?2

【答案】C

3?a?S?(a1?1)1??a1?3?12【解析】?，?，

a?93?a?a?(a?1)?2

122??2经代入选项检验，只有C符合．

4．执行如图的程序框图，如果输入的N?100，

则输出的x?（ ）

A．0.95 B．0.98 C．0.99 D．1.00 【答案】C 【解析】x?开始输入Nn=1,x=0n=n+1n

2233499100100结束 1

5．三角函数f(x)?sin(A．3,【答案】B 【解析】f(x)?sin?6?2x)?cos2x的振幅和最小正周期分别是（ ）

C．2,?2

B．3,?

?2

D．2,?

?6cos2x?cos?6sin2x?cos2x

3331?cos2x?sin2x?3(cos2x?sin2x) 2222??3cos(2x?)，故选B．

66．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．12 B．6 C．4 D．2 2【答案】D

11【解析】V正四棱锥=?2??(2+1)?2?2．

327．设p、q是两个命题，若?(p?q)是真命题， 那么（ ）

A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题

C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题

21112【答案】D

8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A．

1346 B． C． D． 7777【答案】A

【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率P?31?． C7279．已知平面向量a、b满足|a|?|b|?1，a?(a?2b)，则|a?b|?（ ）

A．0 B．2 C．2 D．3 【答案】D

【解析】∵a?(a?2b)，∴a?(a?2b)?0， ∴a?b?∴|a?b|?121a?， 22(a?b)2?a2?2a?b?b2 2

1?12?2??12?3．

2162)的展开式中，常数项是（ ） 10．(x?2x551515A．? B． C．? D．

416416【答案】D

r【解析】Tr?1?C6(x2)6?r(?1r1r12?3r， )?(?)rC6x2x2令12?3r?0，解得r?4．

4∴常数项为(?)4C6?1215． 162y2?1长轴的端点，且双曲线的离心11．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆x?2率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）

A．x2?y2?1 B．y2?x2?1 C．x2?y2?2 D．y2?x2?2 【答案】D

【解析】∵椭圆的端点为(0,?2)，离心率为

2，∴双曲线的离心率为2， 2依题意双曲线的实半轴a?2，∴c?2，b?2，故选D．

12．如果定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x1?x2，都有x1f(x1)?x2f(x2)

?x1f(x2)?x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y??x3?x?1；

?ln|x|x?0②y?3x?2(sinx?cosx)；③y?e?1；④y??，其中“H函数”的

x?0?0x个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C

【解析】∵x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1)， ∴(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0，∴f(x)在R上单调递增． ①y???3x?1， x?(??,23)，y??0，不符合条件； 3②y??3?2(cosx+sinx)=3?22sin(x??4)?0，符合条件；

3

③y??ex?0，符合条件；

④f?x?在(??,0)单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H函数”是②③．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

?2x?y?2?13．已知实数x，y满足约束条件?x?y??1，若目标函数z?2x?ay仅在点(3,4)取

?x?y?1?得最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】(??,?2)

【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为A(1,0),B(0,1),C(3,4), ∴zA?2，zB?a，zC?6?4a． ∴??6?4a?2，解得a??2．

6?4a?a?x216y214．已知双曲线?2?1的左焦点在抛物线y2?2px的准线上，则p? ．

3p【答案】4

p2p?()2，∴p?4． 【解析】3?162215．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n?N，均有an、Sn、an*成等差数列，则an? ． 【答案】n

22【解析】∵an，Sn，an成等差数列，∴2Sn?an?an

2当n?1时，2a1?2S1?a1?a1 又a1?0 ∴a1?1

当n?2时，2an?2(Sn?Sn?1)?an?an?an?1?an?1， ∴(an?an?1)?(an?an?1)?0，

∴(an?an?1)(an?an?1)?(an?an?1)?0， 又an?an?1?0，∴an?an?1?1，

2222 4

∴{an}是等差数列，其公差为1， ∵a1?1，∴an?n(n?N*)．

16．已知函数f(x)的定义域R，直线x?1和x?2是曲线y?f(x)的对称轴，且

f(0)?1，则f(4)?f(10)? ．

【答案】2

【解析】直线x?1和x?2是曲线y?f(x)的对称轴， ∴f(2?x)?f(x)，f(4?x)?f(x)，

∴f(2?x)?f(4?x)，∴y?f(x)的周期T?2． ∴f(4)?f(10)?f(0)?f(0)?2．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 2acosA?ccosB?bcosC． （1）cosA的值； （2）若b2?c2?4，求?ABC的面积． 【解析】（1）∵2acosA?ccosB?bcosC，

∴2sinA?cosA?sinCcosB?sinBcosC， ∴2sinA?cosA?sin(B?C)，

∵A?B?C??，∴sin(B?C)?sinA， ∴2sinA?cosA?sinA．

∵0?A??，∴sinA?0， ∴2cosA?1，∴cosA?12． （2）由cosA?12，得sinA?32， 由

asinA?2，得a?2sinA?3． ∵a2?b2?c2?2bccosA，

5

∴bc?b?c?a?4?3?1， ∴S?ABC?2221133． bcsinA???2224

18．（本小题满分12分）

某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 年薪（万元） 1 3 2 3．5 3 4 4 5 5 6 7 7 8 7．5 9 8 10 50 5．5 6．5 （1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为?，求?的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.5万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

?x?a??b?中系数计算公式分别为： 附：线性回归方程y?? b?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n?x，其中x、y为样本均值． ??y?b，a2【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；

?取值为0，1，2．

1122C4C6C6C4281 P(??0)?2?，P(??1)?，， ?P(??2)??22153C1015C10C10∴?的分布列为

? P ∴E(?)?0?0 1 2 2 152816?1??2??． 1515358 151 3（3）设xi,yi(i?1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则x?2.5,y?5，

6

?(x?x)ii?14in2?2.25?0.25?0.25?2.25?5，

?(x?x)(y?y)??1.5?(?2)?(?0.5)?(?0.8)?0.5?0.6?1.5?2.2?7，

ii?1??b?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n?27?x?5?1.4?2.5?1.5， ??y?b?1.4，a5由线性回归方程为y?1.4x?1.5．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元． 19．（本小题满分12分）

AB?2，?ABC如图，在直二面角E?AB?C中，四边形ABEF是矩形，AF?23，

是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF?3．

F（1）证明：FB?面PAC；

（2）求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

E

P

A

B

【解析】（1）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,23)． ∵BF?CAB2?AF2?4，PF?3，

????33∴P(,0,)，FB?(2,0,?23)，

22????3????3AC?(0,2,0)，AP?(,0,)．

22????????????????∵FB?AC?0，∴FB?AC． ????????????????∵FB?AP?0，∴FB?AP．

∵FB?AC，FB?AP，AC?AP?A， ∴FB?平面APC．

7

????????（2）∵AB?(2,0,0)，PC?(?32,2,?32)，

记???AB?与???PC?夹角为?，则

???????? cos?=AB???AB??PC???PC???327?3714．

2】（1）FB?4,cos?PFA?cos?BFA?32， PA?PF2?FA2?2PF?FA?cos?PFA ?9?12?2?3?23?3/2?3．

∵PA2?PF2?3?9?12?AF2，

∴PA?BF．

∵平面ABEF?平面ABC，

平面ABEF?平面ABC?AB，

AB?AC，AC?平面ABC， ∴AC?平面ABEF．

∵BF?平面ABEF，∴AC?BF． ∵PAIAC?A，∴BF?平面PAC．

（2）过P作PM//AB,PN//AF，分别交BE,BA于点M,N，

?MPC的补角为PC与AB所成的角．连接MC，NC．

PN?MB?32，AN?32，

NC?AN2?AC2?52，BC?22， PC?PN2?NC2?7，

MC?MB2?BC2?352， 8

【方法

135?7?4??3??37． cos?MPC?4114272??72∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2?4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点P1P2、P1、P2和点P4，线段P3、P3P4的中点分别为M1、M2．

（1）求?FM1M2面积的最小值； （2）求线段M1M2的中点P满足的方程． 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为F(1,0)，

设直线PP12的方程为y?k(x?1)，k?0． 联立?37． 14?y?k(x?1)2?y?4x??[?2(2?k2)]2?4k2k2?16(1?k2)?0．

，得k2x2?2(2?k2)x?k2?0．（*）

2(2?k2) 设P． 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则x1?x2?2k?x1?x22?k2x???2?M12k 设M1(xM1,yM1)，则?． ?y?k(x?1)?2MM1?k?1 9

1?2?2?2k?xM2?1?2k?1? 类似地，设M2(xM2,yM2)，则?． k2?2??2k?yM2?1??k?2?k22222 ∴|FM1|?(1?)?()?21?k2， 2kkk(2k2)2?(?2k)2?2|k|1?k2， 11 因此S?FM1M2?|FM1|?|FM2|?2(?|k|)．

2|k|1?|k|?2，∴S?FM1M2?4， ∵|k|1?|k|，即k??1时，S?FM1M2取到最小值4． 当且仅当|k|（2）设线段M1M2的中点P(x,y)，由（1）得

|FM2|?1121?22x?(x?x)?(2??2k)?1?k?M1M2??22k2k2 ?，

?y?1(y?y)?1(2?2k)??k?1M1M2?22kk?消去k后得y2?x?3．

2∴线段M1M2的中点P满足的方程为y?x?3．

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)?12x?lnx?mx（m?0）． 2（1）求f(x)的单调区间； （2）求f(x)的零点个数；

（3）证明：曲线y?f(x)没有经过原点的切线．

1x2?mx?1【解析】（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?x??m?．

xx2令f?(x)?0，得x?mx?1?0．

2当??m?4?0，即0?m?2时，f?(x)?0，∴f(x)在(0,??)内单调递增．

当??m?4?0，即m?2时，由x?mx?1?0解得

22m?m2?4m?m2?4，x2?，且0?x1?x2， x1?22在区间(0,x1)及(x2,??)内,f?(x)?0，在(x1,x2)内，f?(x)?0， ∴f(x)在区间(0,x1)及(x2,??)内单调递增，在(x1,x2)内单调递减．

（2）由（1）可知，当0?m?2时，f(x)在(0,??)内单调递增，∴f(x) 最多只有一

个零点．

又∵f(x)?

1x(x?2m)?lnx，∴当0?x?2m且x?1时，f(x)?0； 210

当x?2m且x?1时，f(x)?0，故f(x)有且仅有一个零点．

当m?2时，∵f(x)在(0,x1)及(x2,??)内单调递增，在(x1,x2)内单调递减，

1m?m2?42m?m2?4m(m?m2?4)且f(x1)?( )?ln?2222?m2?mm2?4?2m?m2?4，??ln42?m2?mm2?4?2?m2?m2?2??0，

44m?m2?4440????1（∵m?2），

222(m?m?4)4∴f(x1)?0，由此知f(x2)?f(x1)?0，

而

又∵当x?2m且x?1时，f(x)?0，故f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点． 综上所述，当m?0时，f(x)有且仅有一个零点．

（3）假设曲线y?f(x)在点(x,f(x))（x?0）处的切线经过原点，

12x?lnx?mxf(x)12?f?(x)，即?x??m， 则有

xxx12化简得：x?lnx?1?0（x?0）．（*）

2121x2?1记g(x)?x?lnx?1（x?0），则g?(x)?x??，

2xx令g?(x)?0，解得x?1．

当0?x?1时，g?(x)?0，当x?1时，g?(x)?0，

3123∴g(1)?是g(x)的最小值，即当x?0时，x?lnx?1≥．

222由此说明方程（*）无解，∴曲线y?f(x)没有经过原点的切线．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC是半圆O的直径，AD?BC，垂足为D，?AB??AF，BF与AD、AO分别交于点E、G．

（1）证明：?DAO??FBC； （2）证明：AE?BE．

【解析】（1）连接FC，OF， ∵?AB??AF，OB?OF，

AGEBDOFCAGEBDOF11

C

∴点G是BF的中点，OG?BF． ∵BC是?O的直径，∴CF?BF． ∴OG//CF．∴?AOB??FCB，

∴?DAO?90???AOB,?FBC?90???FCB， ∴?DAO??FBC．

（2）在Rt?OAD与Rt?OBG中， 由（1）知?DAO??GBO， 又OA?OB，

∴?OAD??OBG，于是OD?OG． ∴AG?OA?OG?OB?OD?BD． 在Rt?AGE与Rt?BDE中， 由于?DAO??FBC，AG?BD，

∴?AGE??BDE，∴AE?BE． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，过点P(1,?2)的直线l的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?sin的交点为A,B．

（1）求直线l的参数方程； （2）求PA?PB．

【解析】（1）∵直线l过点P(1,?2)，且倾斜角为45?．

2???2cos?,直线l和曲线C 12

?x?1?tcos45??∴直线l的参数方程为??y??2?tsin45（t为参数）， ????x?1?2t即直线l的参数方程为??2（t为参数）．

???y??2?22t （2）∵?sin2??2cos?，∴(?sin?)2?2?cos?， ∵?cos??x，?sin??y，

∴曲线C的直角坐标方程为y2?2x，

?? ∵?x?1?2?2t，∴?(?2?2t)2?2(1?2y??2?222t)，

??2t ∴t2?62t?4?0，∴t1t2?4，∴PA?PB?4．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?5x．

（1）当a??1时，求不等式f(x)?5x?3的解集； （2）若x??1时有f(x)?0，求a的取值范围． 【解析】（1）当a??1时，不等式f(x)?5x?3， ∴x?1?5x?5x?3， ∴x?1?3，∴?4?x?2．

∴不等式f(x)?5x?3的解集为[?4,2]． （2）若x??1时，有f(x)?0， ∴x?a?5x?0，即x?a??5x，

∴x?a??5x，或x?a?5x，∴a?6x，或a??4x，

∵x??1，∴6x??6，?4x?4，∴a??6，或a?4． ∴a的取值范围是(??,?6]?[4,??)．

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