材料力学复习题（答案）

工程力学B

第二部分：材料力学

扭转

1、钢制圆轴材料的剪切弹性模量G=80Gpa，[?]=50Mpa,[??]?1om,圆轴直径d=100mm;求(1)做出扭矩图;(2)校核强度;(3)校核刚度;(4)计算A,B两截面的相对扭转角.

解：

?maxTmax6?103???30.57MPa?[?]?50MPa

?Wt3?(0.1)16Tmax18006?1031800?????0.440m?[??]?10m

?GIp??80?109??(0.1)432??max?ABTl(3?6?4)?2?1031800????0.013rad??0.730

GIp80?109???(0.1)4?322、图示阶梯状实心圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN?m， MB=36 kN?m， MC=14 kN?m。 材料的许用切应力[??? = 80MPa ，（１）做出轴的扭矩图；（２）校核该轴的强度是否满足要求。

解：（1）求内力，作出轴的扭矩图

（2）计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 AB段：?1,maxT122?103??πWt1?120?10?316??3?64.8MPa?[?]?80MPa

BC段：?2,maxT214?103???71.3MPa?[?]?80MPa

3πWt2?3??100?10?16综上，该轴满足强度条件。

3、传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知材料的许用切应力[?]=70MPa，单位长度的许可扭转角[?，?]=1o/m，剪切弹性模量G=80GPa。(1)画出扭矩图。(2)试确定AB 段的直径d1和BC段的直径d2；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?为什么？

解：（1）

Me1?9549P1P400160?9549??7639N.m，Me2?95492?9549??3056N.m n500n500P3240?9549??4583N.m，扭矩图如下 n500Me3?9549

（2）AB段， 按强度条件：?max?16?7639TT16T?82.2mm ??[?]，d?3，d1?36???70?10Wt?[?]d316?按刚度条件：?maxT1800???GIp?TG?32?d41800?032T?180?[??]?10m，d?4 2G??032?7639?180d1?4?86.4mm

80?109??2综合强度和刚度条件得到：d1?87mm BC段，

按强度条件：d2?316?4583?69.3mm； 6??70?10032?4583?180按刚度条件：d2?4?76.0mm 9280?10??综合强度和刚度条件得到：d2?76mm

（3）将主动轮放置中央B点，受力合力，此时Tmax?4583N.m

弯曲内力

4、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力Fs

max和弯矩Mmax数值。

Fsmax?qa，Mmax?1.5qa2

5、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力Fsmax和弯矩Mmax数值。

Fsmax?3qa，Mmax?2qa2

应力状态分析

11、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法（即应力圆法）求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：?x?120MPa,?y??50MPa,?xy??30MPa,?yx?30MPa （1） 应力圆，B(120,?30),B?(?50,30)， 选“—”代表30MPa

(2)

?max?x??y????y?2120?502?120?50????x????30?????xy???min222???2?125MPa?35?90.12??55.11MPa

?1?125.12MPa,?2?0,?3??55.12MPa （3）tan2?0??2?xy?x??y??2???30??0.3529,?0?9.720

120?50主单元体如图所示。

12、已知应力状态单元体如下图所示，采用解析法 求：（1）主应力的大小，（2）主平面的方位，（3）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：

?x?0,?y??80MPa,?xy?20Mpa，

?x??y22?max?x??y??()??xy??40?205??4.7MPa ?min?84.722??1?4.7MPa,?2?0,?3??84.7MPa

tan2?0??2?xy?x??y2??0.5，?0??13.30或?0?76.70

?max??max??min?44.7MPa

13、单元体的应力状态如图;（1）求图示??30o斜截面上的正应力、切应力;（2）主应力及主平面所在的方位，并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：?x?100MPa,?y??80MPa,?xy?40MPa （1）计算?300和?300

?30?0?x??y2??x??y2cos2???xysin2?

?100?(?80)100?(?80)?cos600?40sin600?20.36(MPa) 22?30?0?x??y2sin2???xycos2?

?100?(?80)sin600?40cos600?97.64(MPa) 2?min（2）可以采用解析法或图解法中的一种来计算，下面采用解析法计算?max，及主平面方位角

?max?x??y????y??108.5MPa 2???x?????xy?min22??88.5MPa??2主应力分别为：?1?108.5MPa,?2?0,?3??88.5MPa 计算主平面方位：tan2?0??2?xy?x??y??2?40??0.4444

100?(?80)?0??120和?0??120?900?780 主单元体如下：

14、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法(即应力圆法)求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：

?x?0,?xy?20Mpa,?y??80MPa,?yx??20Mpa， 得到两点：D1(0，20)，D2(-80，-20) 以D1D2为直径做应力圆

量得主应力为??1?4.7MPa,?2?0,?3??84.7MPa 量得?0??13.30

主单元体如下：

组合变形

15、图示手摇铰车的轴的直径d?30mm，材料为Q235钢，????80MPa。试按第三强度理论求铰车的最大起吊重量P。

解：轴的受力分析图如下

FA?FB?0.5P，弯矩图和扭矩图为

弯扭组合变形，横截面为圆形，危险截面为C截面

Mc?0.5P?0.4?0.2P，Tc?0.18P

按第三强度理论?r3?Tc2?Mc2W（计算过程略）可得P?788N ????，

绞车的最大起吊重量为788N。

16、图示起重架的最大起吊重量（包括走小车等）为P=40kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力????120MPa。试校核梁的强度。（附：18号槽钢的横截面面积、惯性矩、抗弯截面系数分别为A?29.30cm2，

Iy?1370cm4，Wy?152cm3） 解：对梁AC受力分析，

梁AC的变形为压弯组合变形，当集中力P作用在跨度中点时梁的跨度中点弯矩为最大值，危险截面为梁跨度中点截面。危险点为该危险截面的顶边上 静力学平衡方程为：

?MC?0,RA?3.5?sin30o?P?3.5?0.5

RA?P?40kN，RCx?RAcos30o?34.6kN，RCy?P?RAsin30o?20kN

梁的轴力为：FN??RCx??34.6kN

梁跨度中点的最大弯矩为：M?RCy?3.5?0.5?35kN.m 危险点的最大正应力为：

?maxFNM34.6?10335?103???????120MPa（压应力） ?4?6AWy2?29.3?102?152?10最大应力等于许用应力，梁满足强度要求。

??17、图示钢制悬臂梁，承受水平平面力F1和铅垂平面力F2作用，两力均垂直于AC杆，已知F1=800N，F2=1600N，l = 1m，h=60mm，b=30mm，许用应力[σ]=160MPa，试校对强度。

解：画出弯矩图（斜弯曲）

固定端截面为危险截面

Mymax?1600N.mMzmax?1600N.m

11W1??0.06?0.032,W2??0.03?0.062

66?max?MymaxW1?Mzmax1600?61600?6???266.67MPa????，不符合强度W20.06?0.0320.03?0.062要求。

18、如图所示，用直径d=80mm的实心圆杆制成水平放置的T形结构ABCD，A端固定，CD⊥AB，在C、D两处分别作用竖向力2F、F，已知［σ］＝100MPa，试用第三强度理论确定许用载荷［F］。

解：危险截面在A处。

MA?4F?2F?6F，TA＝1.5F，

?r3?22MA?TA32?WZ0.083?(6F)2?(1.5F)2?[?]

解得：F?0.812kN

压杆稳定

19、一根直径为160mm的圆形截面压杆，杆长为9m，两端为固定端约束。已知材料的弹性模量E=206Gpa，?P =100 ，a=577Mpa，b=3.74Mpa，计算该压杆的临界载荷。

d?l0.5?9解：??0.5，i??40mm，????112.5??p，细长杆

4i0.04?2E?2?206?109??0.162Pcr??crA?2?A???3.225MPa

?112.52420、实心圆截面压杆的直径D＝40mm，长L＝600mm，两端铰支，材料为Q235

钢，σp=200MPa，σs = 240 MPa，E=200Gpa，a＝304MPa，b＝1.12MPa，压杆受到的最大工作压力为Pmax＝40kN，许用的安全系数为nst＝10，试校核杆的稳定性。

?2E304?240?100,?2??57.1 解：????60 ?1??p1.12i40/4?L1?600?2????1（属于中长杆）

?cr?a?b??304?1.12?60?236.8MPa

n??cr?APmax236.8???402/4??7.44?nst 340?10 ∴不安全

21、圆截面压杆直径为d=160mm，长度为L1=5m，两端铰支，材料为Q235钢，σp=200MPa，σs=240MPa，E=200GPa， a＝304MPa，b＝1.12MPa，许用的安全系数为nst＝10，试确定压杆的最大工作压力。

?2E304?240?100,?2??57.1，??1,i?40(mm) 解： ?1??p1.12??

?Li?125??1，所以该杆为大柔度杆

?2EPcr?2?A?2540(kN)

?n?Pcr2540??nst?10 PPp?254(kN)

22、已知压杆BD为20号槽钢，最小惯性半径为i＝20.9mm，A＝32.837cm2，材

料为A3钢，λ1＝100，λ2＝62，a＝304Mpa，b=1.12，P＝40kN，稳定安全系数

为nst=5，试校核BD杆的稳定性。 解：（1）研究杆AC的受力情况 01.5m0.5mM?0:1.5Fsin30?2P?0?A

C8 Ao?F?P?106.7kNB30P3

（2）研究BD杆的稳定性 μ＝1，L=1500/cos300=1732mm D ???L?82.9,属于中长杆

XA 30oB YP AF

i?cr?a?b??211.1MPa Pcr??crA?693.2(kN) PcrF?693.2106.7?6.5?nst，安全

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