北京邮电大学版_线性代数_课后题答案2

1

习题四（A类）

1.用消元法解下列方程组.

x1+4x2 2x3+3x4=6, 2x+2x+4x=2, 124

3x1+2x2+2x3 3x4=1, x+2x2+3x3 3x4=8;(1) 1

【解】(1)

(2)

x1+2x2+2x3=2,

2x1+5x2+2x3=4, x+2x+4x=6; 123

6

r4 r1

1 r2 r1 →r3 3r2 1 8

1 2

(A b)=

3 1

4 2320422 323 3

6 1

11

r2 2 2 →

31

8 1

4 23

10222 323 3

14 236 0 32 1 5

( 1) r2 r3

→ 0 12 9 2 0 25 62 14 236 1 01 292 0

r+3r32 → r4+2r2

0 32 1 5 0 0 25 62 0 1 0 0 0

得

4 231 290 4260112

4 236 1

01 292 r+4r43 → 001126

0 4261 0

4

100

6 2 r4 r3 →1 6

236 292 ,1126

07425

x1+4x2 2x3+3x4=6 x 2x+9x=2 234

x3+12x4=6 74x4=25

所以

1

187 x= , 1

74

x=211, 274

x=144, 374 25 x4=.

74

(2)

x1+2x2+2x3=2

2x1+5x2+2x3=4 x+2x+4x=6 123

解② ①×2得

③ ①得得同解方程组

①②③

x2 2x3=02x3=4

x1+2x2+2x3=2

x2 2x3=0 2x=4 3

由⑥得x3=2,

由⑤得x2=2x3=4,由④得x1=2 2x3 2x2= 10,得(x1,x2,x3)T=( 10,4,2)T.2.求下列齐次线性方程组的基础解系.

④⑤⑥

(1)

x1+3x2+2x3=0,

x1+5x2+ x3=0, 3x+5x+8x=0; 123

x1+ x2+2x3+2x4+7x5=0,

2x1+3x2+4x3+5x4 =0, 3x+5x+6x+8x =0; 1234

(3)

【解】(1)

x1 x2+5x3 x4=0, x+ x 2x+3x=0, 1234

3x1 x2+8x3+ x4=0, x+3x2 9x3+7x4=0;(2) 1

x1+2x2 2x3+2x4 x5=0,

x1+2x2 x3+3x4 2x5=0, 2x+4x 7x+ x+ x=0. 12345

(4)

x1+3x2+2x3=0,

x1+5x2+x3=0, 3x+5x+8x=0. 123

132 132 132

r2 r1r3+2r2 02 1 02 1 A= 151 →→

r3 3r1 358 0 42 000

得同解方程组

1

7

x= 2x 3x= x3,32 1

2

x1+3x2+2x3=0

1 x=x3,2 2x2 x3=0 2

x3=x3,

得基础解系为

7

2

1 1 2 .

T

(2)系数矩阵为

1 15 1 1 15 1 11 23 02 74

r3 r2r2 r1

A= → →r3 3r1r4 2r2

3 181 r4 r1 02 74 13 9704 148 1 15 1 02 74 r(A)=2. 0000 0000

∴其基础解系含有4 R(A)=2个解向量. x1 3x3 x 2

2

x1 x2+5x3 x4=0 7

= x3 2 2x2 7x3+4x4=0

x3 x3

x 4

基础解系为

3

x4 2 1

2 7 2x4=x3+x4 2 0 1 1

x4 0

3

2 7 , 2 1 0

(3)

1

2 . 0 1

1

1122A= 2345

3568

112r3 2r2 → 010

000

得同解方程组

7 11227

r2 2r1 0101 14 →0 r 3r 31

0 0202 21

27 1 14 07

x1+x2+2x3+2x4+7x5=0,

x2+x4 14x5=0, 7x5=0 x5=0.

x3 1 0 x = 0 , 1

取 4 得基础解系为

( 2，0，1，0，0)T,( 1， 1，0，1，0).

(4)方程的系数矩阵为

12 2A= 12 1

24 7

12r3+3r2 → 00

002 1 12 22 1

r2 r1 0011 1 →3 2 r 2r 31

11 00 3 33

22 1

R(A)=2,11 1

000

x2 0 1 0

x = 0 , 0 , 1 , 4 1 0 0 x5 3 2 4 0 1 0 1 , 0 , 1 . 0 0 1 1 0 0

∴基础解系所含解向量为n R(A)=5 2=3个

x2

x 4 x

取 5 为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.

x1+x2+2x3=1, 2x x+2x=4, 123

x1 2x2=3, 4x+x2+4x3=2;(1) 1

(2)

2x1+x2 x3+x4=1,

4x1+2x2 2x3+x4=2, 2x+x x x=1; 1234

1

(3)【解】

（1）方程组的增广矩阵为

x1 2x2+x3+x4=1,

x1 2x2+x3 x4= 1, x 2x+x+x=5; 1234

x1+x2+x3+x4+x5=7,

3x+2x+x+x 3x= 2, 12345

x2+2x3+2x4+6x5=23, 5x+4x2+3x3+3x4 x5=12.(4) 1

11 2 1

(A b)=

1 2

41

2204

112 0 3 2

000

00 2

得同解方程组

1 11

0 34 r 2r21 → r3 r1

3 r4 4r1 0 3 2 0 31 1

01

r4 r32 2 →

00

4 021

22 r3 r2

→r4 r2

22

4 2 121 3 22 012

000

x3=2,

x1+x2+2x3=1

2+2x3

3x 2x=2 x== 2, 223

3 x=2 3

x1=1 x2 2x3= 1.

(2)方程组的增广矩阵为

21 111 21 111

r3 r1 000 10 (A b)= 42 212 →

r2 2r1 21 1 11 000 20

得同解方程组

2x1+x2 x3+x4=1,

x4=0, x4=0 2x4=0,

即

2x1+x2 x3=1,

x4=0.

x=x3=0得非齐次线性方程组的特解令1

xT=(0，1，0，0)T.

又分别取

x2 1 0 x = 0 , 1 3

得其导出组的基础解系为

1

1 ξ1= ,1,0,0 ; 2

∴方程组的解为

T

1 ξ2= ,0,1,0 ,

2

T

1 1

0 2 2

1 1x=+k1 +k2 0 .k1,k2∈R 0 0 1 0 0 0

1 2111 1 2111 1 21 1 1 r2 r1 000 2 2 →r r 31 1 2115 00004 (3)

R(A)≠R()∴方程组无解.

(4)方程组的增广矩阵为

1

3

(A b)=

0 5 1 0r3+r2

→ r4 r2

0 0

分别令

1214

117 7 11111

0 1 2 2 6 23 1 3 2 r 3r31 → r4 5r1

0122623 2623

3 112 0 1 2 2 6 23 11117 1 2 2 6 23 ,00000

00000

1123

得其导出组

x3 0 1 0 x = 0 , 0 , 1 4 1 0 0 x5

x1+x2+x3+x4+x5=0

x2 2x3 2x4 6x5=0

的解为

5 1 1 6 2 2 k1 0 +k2 1 +k3 0 00 1 1 0 0 x=x4=x5=0,令3

k1,k2,k3∈R.

得非齐次线性方程组的特解为：xT=( 16,23,0,0,0)T,∴方程组的解为

1

16 5 1 1 23 6 2 2 x= 0 +k1 0 +k2 1 +k3 0 000 1 0 1 0 0 k,k,k其中123为任意常数.

4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

车

间出厂产量总产量

123

消耗系数（万元）（万元）

车间

10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：根据表中数据列方程组有

x1 0.1x1 0.2x2 0.45x3=22,

x2 0.2x1 0.2x2 0.3x3=0, x3 0.5x1 0.12x3=55.6,

0.9x1 0.2x2 0.45x3=22,

0.2x1 0.8x2+0.3x3=0, 0.5x 0.88x= 55.6, 13

x1=100,

x2=70, x=120; 3

即

解之

5.λ取何值时，方程组

λx1+x2+x3=1,

x1+λx2+x3=λ, x+x+λx=λ2, 123

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

λ11 A= 1λ1 ;

11λ

2

λλ|A|=( 1)(+2).

λ111

B= 1λ1λ ,

2

11λλ

(1)当λ≠1且λ≠ 2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.

1

∴方程组有惟一解

λ 11(λ+1)2

x1=,x2=,x3=.

λ+2λ+2(λ+2)（2）当λ= 2时， 2B= 1

1 1 0 0

111 1 21 2

r2 r1r3 r1 → 2111 → 21 2 r2+2r1

1 24 11 24

21 2 1 21 2

0 33 3 ,→ 33 3

3 36 0003

R(A)≠R(B),∴方程组无解.

(3)当λ=1时

1111 1111

r2 r1 0000 B= 1111 →

r3 r1 1111 0000

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.得同解方程组

x1= x2 x3+1,

x2=x2, x3=x3.

∴得通解为

x1 1 1 1

x =k 1 +k 0 + 0 , k,k∈R.

12 2 1 2

0 1 0 x3

6.齐次方程组

λx+y+z=0,

x+λy z=0, 2x y+z=0

当λ取何值时，才可能有非零解?并求解.

【解】方程组的系数矩阵为

λ11 A= 1λ 1

2 11 |A|=(λ 4)(λ+1)

当|A|=0即λ=4或λ= 1时，方程组有非零解.(i)当λ=4时,

1

411 14 1 14 1

r2 r1r2 4r1 0 155 A= 14 1 → 411 →r 2r 31

2 11 2 11 0 93

14 1 14 1 1

r2

r3 r2 0 31 0 31 5

→1 r3

3

0 31 000

得同解方程组

1 3 x1

x1+4x2 x3=0

x=k 1 .k∈R 3x+x=0 2

23 x 3

3

1

(ii)当λ= 1时,

111 1 1 1 1 1 1

r2 r1r2+r1 000 A= 1 1 1 → 111 →

r3 2r1 2 11 2 11 013

得

x1= 2x3, x1 x2 x3=0

x2= 3x3,

x2+3x3=0 x=x

33

x,x,x∴(123)T=k·( 2, 3,1)T.k∈R

7.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.

x1+2x2+3x3 x4=1

x+x+2x+3x=1 1234

3x1 x2 x3 2x4=a 2x+3x2 x3+bx4= 6（1） 1

【解】方程组的增广矩阵为(1)

x1+x2+x3+x4=0 x+2x+2x=1 234

x2 (a 3)x3 2x4=b 3x+2x2+x3+ax4= 1(2) 1

23 11 1 140 r3 7r2

→

7 101a 3 r4 r2

1 7b+2 8 23 11 1 140 .0 3 27a 3

00b+52 2a 2

123 11 1 11231 r2 r1 0

r3 3r1

(A b)= → r4 2r1

3 1 1 2a 0 23 1b 6 0

11 123 1

0 1 1 040 → 00 3 27a 3 0 00 6b 2 8 0

1

(i)当b≠ 52时,方程组有惟一解

a4(a+1)a 326(a+1) ,x2= ,3b+523b+52a 318(a+1)2(a+1)x3= +,x4= .

3b+52b+52x1=

(ii)当b= 52,a≠ 1时，方程组无解.

(iii)当b= 52，a= 1时，方程组有无穷解.得同解方程组

x1+2x2+3x3 x4=1

x2 x3+4x4=0 3x 27x= 4 34

x1+2x2+3x3 x4=0

x2 x3+4x4=0 3x 27x=0 34

(*)

其导出组的解为

x1=2x4,

x=13x 24

x3= 9x4, x4=x4. x1 2

x 13 2 =k .k∈R x3 9

1 x4

5

3 x1 x 35 2 = 3 . x3 23 x4 3

1

非齐次线性方程组（*）的特解为

取x4=1,

∴原方程组的解为

5 3

2

13 35

x= 3 +k .

9

23

1 3

1

(2)

k∈R

1

110 11

01 221r3+r2

(A b)= →

0 1(a 3) 2b r4 3r1

1a 1 32

110 11

01 221r4+r2 → 00a 10b+1 0 1 2a 3 1

110 11

01 221 . 00a 10b+1 000a 10

(i)当a 1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.

b a+2 a 1 x1 x a 2b 3 2 = a 1 . x3 b+1 x4 a 1

0

(ii)当a 1=0时,b≠ 1时，方程组R(A)=2<R()=3,

∴此时方程组无解.

(iii)当a=1，b= 1时，方程组有无穷解.得同解方程组

x1+x2+x3+x4=0,

x2+2x3+2x4=1.

取

x1=x3+x4 1, x= 2x 2x+1, 234

x3=x3, x4=x4,

∴得方程组的解为

x1 1 1 1 x 2 2 1 2 =k1 +k2 + . x3 1 0 0 x0 1 0 4

k1,k2∈R

1

112 A= 224

336 ，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.8.设

【解】设B=(b1b2b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量,

由

AB=0 A(b1b2b3)=0 Abi=0(i=1,2,3) b1b2b3

为Ax=0的解.

112 x1 224 x 2 336 x3 =0的解.由求

112 112

r2 2r1 000 A= 224 →r 3r 31

336 000

得同解方程组

x1= x2 2x3,

x2=x2, x=x, 33

∴其解为

x1 1 2 x =k 1 +k 0 . 2 1 2 0 1 x3

取

k1,k2∈R

1 2 0 b1= 1 ;b2= 0 ;b3= 0 ,

0 1 0

则

1 20 B= 100

010 η,η,η9.已知123是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及 1 1 1 η1+η2= 0 ,η2+η3= 1 ,η1+η3= 1 ,

0 0 1

求方程组Ax=b的通解.

【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

1

R(A)=1 Ax=0的基础解系中含有3 R(A)=3 1=2个解向量.

1 1 0

η1 η3=(η1+η2) (η2+η3)= 0 1 = 1 ,

0 0 1 1 0

η1 η2=(η1+η3) (η2+η3)= 1 1 = 0 ,

1 0 1

由且

又

η1,η2,η3为Ax=b的解 η1 η3,η1 η2为Ax=0的解,

(η1 η3),(η1 η2)线性无关 η1 η3,η1 η2为Ax=0的基础解系.1

[(η1+η2) (η2+η3)+(η1+η3)]2

1

1 1 1 2 1 1 1 = 0 1 + 1 = 0 , 222

001 1

2

η1=

∴方程组Ax=b的解为

x=η1+k1(η1 η3)+k2(η1 η2) 1 2 0 0

= 0 +k1 1 +k2 0 .

1 0 1 2

k1,k2∈R

10.求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

2 3 ξ1= 1 ,ξ2= 0 ;

0 1 (1)

1 2 1 2 3 2 ξ1= 0 ,ξ2= 2 ,ξ3= 1 .

35 2 1 3 2 (2)

【解】

2 3

ξ1= 1 ξ2= 0

0 1 设齐次线性方程组为Ax=0(1)

1

由

ξ1,ξ2

为Ax=0的基础解系，可知

2 3 x1 x1 2k1+3k2

+k 0 = x x = x=k1 1k2221 k2 0 1 x3 x3

令

Ax=0即为x1+2x2 3x3=0.

k1=x2,k2=x3

121

2 3 2

(x1x2x3x4x5) 021 =0

352 ξξξ 1 3 2 (2)A(123)=0 A的行向量为方程组为的解.

x1 2x2+3x4 x5=0

2x1 3x2+2x3+5x4 3x5=0 x 2x+x+2x 2x=0 12345

即

的解为

1 203 1 1 203 1

r3 r1 2 325 3 012 1 1 →r 2r 21

1 212 2 001 1 1

ηη2=( 1 1101)T

得基础解系为1=( 5 1110)T 5 1110 1 1101

A=

方程为

11.证明：线性方程组

【解】

5x1 x2+x3+x4=0,

x1 x2+x3+x5=0.

x1 x2=a1 x x=a232

x3 x4=a3 x x=a

4

45 x5 x1=a5

有解的充要条件是

∑a

i=1

5

i

=0

.

1

1 1000 01 100

= 001 10

0001 1 10001a1

a2

r2+r1

a3 → a4 a5

a1 1 1000

01 100 a2

r5+r2

001 10a3 → 0001 1a4 0 1001a1+a5 a1 1 1000 01 100 a2 001 10 a3→ 0001 1a4 00 101a1+a2+a5 1 1000 01 100

001 10

0001 1

00001 ∑ai=0

i=15

5 ai ∑i=1

a1a2a3a4

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)

得证.

*

ξ,ξ, ,ξn r是对应的齐次线性方程组的一个基η12.设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，12

础解系.证明

*

η,ξ1, ,ξn r线性无关；（1）

η*,η*+ξ1, ,η*+ξn r

（2）线性无关.

【证明】

*η,ξ1, ,ξn r线性无关 (1)

kη*+k1ξ1+ +kn rξn r=0成立,

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n r),k=0

A(kη*+k1ξ1+ +kn rξn r)=0ξ1+ +kn rAξn r=0 kAη*+k1AAξ

ξ,ξ, ,ξn r为Ax=0的基础解系∵12

1

Aξi=0(i=1,2, ,n r) kAη*=0由于Aη*=b≠0 k b=0 k=0..

ξ,ξ, ,ξn r为线性无关由于12

k1ξ1+ξ2 k2+ +kn r ξn r=0 ki=0

*η,ξ1,ξ2, ,ξn 1线性无关.∴

(i=1,2, ,n r)

η*,η*+ξ1, ,η*+ξn r

(2)证线性无关.

kη*+k1(η*+ξ1)+ +kn r(η*+ξn r)=0成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n r),且k=0

kη*+k1(η*+ξ1)+ +kn r(η*+ξn r)=0

即

(k+k1+ +kn r)η*+k1ξ1+ +kn rξn r=0

*η,ξ1, ,ξn 1线性无关.

由(1)可知，

即有ki=0(i=1,2,…,n r),且

k+k1+kn r=0 k=0

***ηηη,+ξ, ,+ξn r线性无关.1∴

（B类）

1.B2.C3.D4.C5.t= 3

6.R(A)=2；2；2

7.设η1,η2,…,ηs是非齐次线性方程组Ax=b的一组解向量，如果c1η1+c2η2+…+csηs也是该方程组的一个解向量，则c1+c2+…+cs.

解：因为η1,η2,…,ηs是Ax=b的一组解向量，则Aη1=b,Aη2=b,…,Aηs=b,又

C1η1+C2η2+…+Csηs也是Ax=b的一解向量，所以A(C1η1+…+Csηs)=b，即C1Aη1+CAη2+…+CsAηs=b,即C1b+C2b+…+Csb=b,(C1+…+Cs)b=b,所以C1+…+Cs=1.8.设向量组

α1=（1，0，2，3）ααα，2=（1，1，3，5），3=（1， 1，a+2，1），4=（1，2，4，

α1，α2，α3，α4线性表出？

a+8），β=（1，1，b+3，5）

问：（1）a，b为何值时，β不能由（2）a，b为何值时，β可由表出式.

【解】

β

α1，α2，α3，α4惟一地线性表出？并写出该表出式.αααα（3）a，b为何值时，β可由1，2，3，4线性表出，且该表出不惟一？并写出该β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4

(*)

1

1 0

=(A b)=

2 3

1 0 0 0α1

(1)β不能由

，

1111 1 121 r3 2r1

→r4 3r1 3a+24b+3

51a+85 1111 1

01 121 r3 r2

→ r4 2r2

01a2b+1

2 2a+52 0α2α3α4

，

，

线性表出

111

1 120a+1000a+1

1

1 b 0

方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a= 1,且b≠0.

αααα(2)β可由1，2，3，4惟一地线性表出 方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠ 1.

(*)等价于方程组

x1+x2+x3+x4=1 x x+2x=1 234

(a+1)x3=b (a+1)x4=0

bba+b+1

x4=0x3=x2=x3+1=+1=

a+1a+1a+1

b2b b

x1=1 0= +1

a+1 a+1 a+1

2ba+b+1bα1+α2+α3∴β=

a+1a+1a+1αααα(3)β可由1，2，3，4线性表出，且表出不惟一 方程组（*）有无数解，即有

a+1=0,b=0 a= 1,b=0.

x1=k2 2k1

x1+x2+x3+x4=1 x2=k1 2k2+1

x x+2x=1x3=k1 234

x4=k2 方程组（*）

k1,k2,k3,k4为常数.

∴

β=(k2 2k1)α1+(k1 2k2+1)α2+k1α3+k2α4

9.设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ）(Ⅱ)

(1)求方程组（Ⅰ）的通解；

(2)当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？

x1+x2 2x4= 6

4x1 x2 x3 x4=1 3x x x=3 123 x1+mx2 x3 x4= 5

nx2 x3 2x4= 11 x3 2x4=1 t

1

解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换

110 2 6 1 4 1 1 11 ～ 0 3 3 1 10 0

1

～ 0

0 x1 x4=0

x2 x4=0 x 2x=0 34

得方程组（*）的基础解系

10 2 6 110 2 6

00 125 5 1725 ～

4 1621 010 1 4 00 1 2 10 1 4 01 2 5

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组

（*）

1

1 ξ1=

2 1

2 4 η=

5 0

x4=0，得方程组（Ⅰ）的特解

于是方程组（Ⅰ）的通解为x=η+kξ，k为任意常数。

令

(2)方程组（Ⅱ）的增广矩阵为

1m 1 1 5 44m 3n0012 t 0n 1 2 11 ～ 0 n0 4 10 t 01 21 t 001 21 t 0

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

4x1+(4m 3n)x2=0

nx2 4x4=0 x3 2x4=0

方程组（**）的基础解系为

(**)

当n≠0时，

3m

4 n 4

ξ1= n

2 1

m

1 ξ2=

0 0 ，当n=0时，

1

方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则n≠0，故有

3m =1 m=2 4n

4 n=4 =1 n

1 t= 5，即t=6.把m，n代入方程组，同时有

也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.

x1+x2=0,

x x4=0,

10.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为 2又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)

′+k2(-1,2,2,1)′.

(1)求齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系;

(2)问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.

1 1 ξ1=

0 x1+x2=0 x1= x2

x x=0x4=x2 24 1 ，解：（1）由，所以，以x,x为自由未知数可得基础解系

2

3

0

0 ξ2=

1 0 .

0 1 1 0 1 2 1 0 k1 +k2 =k3 +k4 1 2 0 1 0 1 1 0 ，则可得：（2）令

k2= k3

k+2k=k

k3=k2 123

k+2k=k k1= k224 1

k=k 2 k2=k3，即 4

0 1 1 1 2 1

k1 +k2 =k (k=k2= k1) 1 2 1 0 1 1 所以有公共解

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